夜雨聆风2026年福建省中考数学试卷真题与全解析
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一、选择题（1-10题）
二、填空题（11-16题）
三、解答题（17-25题）
参考答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 福建省首届"闽超"足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为0:1，丙队与丁队的比赛结果为2:0。若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作-1，则丙队的净胜球数应记作
A. -2
B. -1
C. +1
D. +2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就。飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒。数据7900用科学记数法表示为
A.
B.
C.
D.
4. 福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期。土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循"天人合一"的东方哲学理念。图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼。图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是
A. 主视图和左视图相同
B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同
D. 三种视图都相同
5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
6. 下列各点中，在函数图像上的点是
A.
B.
C.
D.
7. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶。如图是古算诗词题"争荡秋千"所描绘的示意图。已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺。当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为
A.
B.
C.
D.
8. 为庆祝"中俄教育年"正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示。这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9. 如图，是的直径，是的切线，交于点。若，则的值是
A.
B.
C.
D.
10. 已知抛物线经过点，。若a<b，且ab<0，则n的取值可以是
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 一组数据9，8，5，2，1，1的众数是______。
12. 如图，，两点被池塘隔开，在外选择一点，连接和，分别取和中点，，测得米，则，两点间的距离是______米。
13. 因式分解：______。
14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形恰好为矩形，点，分别在，上，则等于______度。
15. 已知实数，满足，则______。
16. 由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和。一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金______克。
三、解答题：本题共9小题，共86分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17（本小题满分8分）
计算：
18（本小题满分8分）
如图，是等边三角形，，，。
求证：。
19（本小题满分8分）
解不等式组：
20（本小题满分8分）
如图，四边形是矩形，AB<BC，点E在AD的延长线上。
（1）求作点，使点在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求的长。
21（本小题满分8分）
一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球，2个标号分别为1，2的红球，，1个标号为3的白球，这些球除颜色和标号外无其他差别。
（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球。求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率。
22（本小题满分10分）
如图，在四边形中，是上的一点，，。四边形由四边形沿翻折得到，点，，的对应点分别为，，。F是AD延长线上的一点，且。
（1）求证：；
（2）若，，求的长。
23（本小题满分10分）
阅读下列材料，回答问题。
主题：探究形如的数的整数部分与小数部分的特征
提出问题：
学过"二次根式"，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中m为整数，0<n<1。如，。那么形如的数，其整数部分m与小数部分n各有什么特征呢？
探究发现：
小华对此展开研究，其探究过程如下：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）②；
（5）；
（6）；
据此，小华提出并证明了以下命题。
命题： 若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且。
命题证明：
证明：因为，
所以。
又因为，且0<n<1，
所以。
又根据，可得。
因此，③，④。
又因为，均为整数，所以为偶数，
故必为奇数，且。
拓展延伸：
问题1： 若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论；
问题2： 若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明。
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2。
24（本小题满分12分）
如图，四边形内接于，是延长线上的一点，的延长线交于点，，。
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）设交于点，且，求的值。
25（本小题满分14分）
已知抛物线。
（1）若，，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点；
（3）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点。若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明。
参考答案与解析
一、选择题
1. 正负数的意义
考点：正负数的意义、净胜球数的计算 公式：净胜球数 = 进球数 - 失球数 思路：先明确净胜球数的计算方法，结合甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数 解析：净胜球数的计算规则为净胜球数 = 进球数 - 失球数。甲队与乙队的比赛结果为0:1，即甲队进球数为0，失球数为1，甲队的净胜球数为0-1=-1，记作-1。丙队与丁队的比赛结果为2:0，即丙队进球数为2，失球数为0，丙队净胜球数为2-0=2，即丙队的净胜球数应记作+2。
2. 轴对称图形与中心对称图形
考点：轴对称图形、中心对称图形的概念 公式：轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，能和原图形完全重合 思路：逐个分析选项判断是否符合这两个概念 解析：选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B是轴对称图形，不是中心对称图形；选项C既是轴对称图形又是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形。
3. 科学记数法
考点：科学记数法的表示方法 公式：，其中，为整数 思路：对7900进行改写，满足 解析：
4. 三视图
考点：主视图、左视图、俯视图的定义 公式：主视图（从物体的正面向后方投影）、左视图（从物体的左侧方向右方投影）、俯视图（从物体的上方向下方投影） 思路：分析从三面看的几何特征，对比即可 解析：主视图和左视图是相同的图形（都是矩形），俯视图是两个同心圆即圆环。A正确。
5. 数轴与实数
考点：数轴上点的位置与实数的关系 公式：数轴上右边的数总比左边的数大 思路：先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断 解析：由数轴可得a<-1<0<b<1，所以a+b<0（A错误），a-b<0（B不一定），ab<0（C错误，D正确）。
6. 反比例函数图象
考点：反比例函数图象上点的坐标特征 公式：反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式 思路：将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比 解析：对于函数，当x=1时，y=1/1=1，所以点(1,1)在函数图象上。
7. 解直角三角形的应用
考点：直角三角形的性质、三角函数 公式：余弦函数定义 思路：过点C作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段长度，再结合余弦函数值求角度 解析：过点C作CE⊥OA于E，由题意OA⊥BD，四边形ABDC是矩形。OA=6尺，AB=1尺，所以OE=OA-AE=OA-CD=6-4=2尺（此处需重新计算）。在Rt△OCE中，OC=OA=6尺，OE=6-(6-1+4-3)=3尺，cos∠AOC=OE/OC=3/6=1/2，所以∠AOC=60°。
8. 中位数与平均数
考点：中位数、平均数的计算 公式：中位数为排序后中间位置的数，平均数 = 总数 ÷ 个数 思路：根据条形统计图的数据分析，按照中位数和平均数的定义求解 解析：8个班级宣传图片数从小到大排列后，第4、5个班级的图片数为6，8，所以中位数为(6+8)/2=7。平均数为总数/8 = 60/8 = 7.5。
9. 切线的性质与三角函数
考点：切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角函数 公式：切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；等角对等边 思路：连接BD，由直径所对圆周角为直角得BD⊥AC，结合AD=CD得BD垂直平分AC，故AB=BC，再由切线性质得∠ABC=90°，从而求出tanA 解析：连接BD。
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ADB = 90°，即BD⊥AC。
∵ AD = CD，∴ BD垂直平分AC，∴ AB = BC。
∵ BC是⊙O的切线，∴ AB⊥BC，即∠ABC = 90°。
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠A = 45°。
∴ tanA = tan45° = 1。（注：根据题意选项C为，若BD为高，则需结合图形重新分析。由射影定理得BC² = CD·CA，设AD=CD=1，则CA=2，BC²=1×2=2，BC=，AB=，tanA=BC/AB=。）
10. 抛物线的性质
考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征 公式：二次函数，对称轴，开口向上时，离对称轴越远函数值越大 思路：先求出a、b关于n的表达式，再根据a<b和ab<0两个条件分别求出n的范围，最后结合选项判断 解析：
∵ 抛物线经过点A(3, a)，B(5, b)，
∴ ，
。
由，得：
由，得a、b异号：
当时，，，，不符合；
当时，，，，不符合；
当时，，，，符合；
当时，，，，不符合。
∴ n的取值可以是2。
二、填空题
11. 众数
考点：众数的定义 公式：众数是一组数据中出现次数最多的数 思路：找出出现次数最多的数 解析：在数据9，8，5，2，1，1中，1出现了2次，出现次数最多，因此众数是1。
12. 三角形中位线定理
考点：三角形中位线定理 公式：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 思路：根据三角形中位线定理得到AB=2MN 解析：点M，N分别是AC和BC的中点，所以MN是△ABC的中位线。因为MN=100米，所以AB=2MN=200米。
13. 因式分解
考点：公式法分解因式 公式：平方差公式 思路：直接用平方差公式分解 解析：
14. 三角板与矩形
考点：矩形的性质、三角形内角和 公式：矩形的四个角都是直角；三角形内角和为180° 思路：根据矩形性质求出相关角度，再根据三角形内角和计算 解析：因为∠B=90°，四边形ABCD为矩形，所以∠BAD=∠ADC=90°。又因为∠BAE=30°，∠CDF=45°，所以∠DAE=60°，∠ADF=45°，所以∠AFD=180°-60°-45°=75°。
15. 代数式求值
考点：分式的运算、代数式变形 公式： 思路：对已知条件进行变形，代入计算 解析：因为，所以，即。所以。
16. 一元一次方程的应用
考点：一元一次方程的应用 公式：弹簧测力计示数 = 原重 × 比例 思路：设含金x克，则含银(80-x)克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数与银的示数之和，列方程求解 解析：设这件金银饰品中含金x克，则含银(80-x)克。根据题意列方程：，化简得：，移项合并同类项得：，解得x=60。
三、解答题
17. 【答案】
考点：实数的混合运算、算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂
公式：，，，
思路：先计算算术平方根、绝对值、乘方
解析：
18. 【答案】 证明见解析
考点：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
公式：等边三角形三边相等，三角相等；SAS全等判定
思路：利用等边三角形的性质，证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等证明
解析：
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ AB = AC，∠ABC = ∠ACB = 60°
∵ BD⊥BC，CE⊥BC
∴ ∠DBC = ∠ECB = 90°
∴ ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC = 60° + 90° = 150°
∠ACE = ∠ACB + ∠ECB = 60° + 90° = 150°
∴ ∠ABD = ∠ACE
在△ABD和△ACE中
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）
∴ AD = AE
19. 【答案】 3<x<7
考点：一元一次不等式组的解法
公式：解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
思路：分别解两个不等式，再求公共解集
解析：
解：解不等式①，得 x > 3
解不等式②，得 x < 7
所以原不等式组的解集为 3 < x < 7
20. 【答案】（1）作图见解析 （2）
考点：尺规作图、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质
公式：矩形对边平行且相等，四个角都是直角；等角对等边
思路：
（1）利用尺规作图作角等于2倍角，与AD的交点即为所求
（2）由矩形的性质和平行线的性质，结合等腰三角形判定，利用勾股定理求解
解析：
（1）作∠AFB = 2∠EBC，AF的边与AD边的交点即为所求作的点F
（2）解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AD = BC = 6，∠A = 90°，AD // BC
∴ ∠AFB = ∠FBC
∵ ∠AFB = 2∠EBC
∴ ∠FBC = 2∠EBC
∴ ∠FBE = ∠EBC
∵ AD // BC
∴ ∠E = ∠EBC
∴ ∠FBE = ∠E
∴ FB = FE
设AF = x，则FD = AD - AF = 6 - x
FE = FD + DE = 6 - x + 2 = 8 - x
∴ FB = 8 - x
在Rt△ABF中，∠A = 90°，由勾股定理得：
即AF = 3
21. 【答案】（1） （2）
考点：概率的计算、列表法求概率
公式：
思路：
（1）根据概率公式直接求解
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，依据概率计算公式求解
解析：
（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球的结果有1种，所以
（2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4的结果共有6种：(1,0)，(2,0)，(3,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，所以
22. 【答案】（1）证明见解析 （2）
考点：轴对称的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形
思路：
（1）利用平行线的性质和翻折的性质证明角相等，进而证明线段相等
（2）过点作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解
解析：
（1）证明：∵ FE' // AB
∴ ∠A + ∠F = 180°
∵ 四边形A'B'C'D由四边形ABCD沿CD翻折得到，点E的对应点为E'
∴ ∠A = ∠DA'E'
∵ ∠DA'E' + ∠FA'E' = 180°
∴ ∠F = ∠FA'E'
∴ E'A' = E'F（等角对等边）
（2）解：过点E'作E'G ⊥ A'F，垂足为G。
∵ CE = DE，∠CED = 90°
∴ ∠EDC = ∠ECD = 45°
∵ ∠ADC = 90°
∴ ∠ADE = 45°
∵ 四边形A'B'C'D由四边形ABCD沿CD翻折得到，点E的对应点为E'
∴ ∠A'DE' = ∠ADE = 45°，A'D = AD = ，DE' = DE = 4
在Rt△DE'G中，DG = DE'·cos∠E'DG = 4·cos45° = 4×/2 = 2
∴ A'G = DG - A'D = 2 - =
∵ E'A' = E'F，E'G ⊥ A'F
∴ A'F = 2A'G = 2
23. 【答案】（1）① ；② ；③ ；④ （2）m不是奇数，证明见解析 （3）当k为偶数时，m为奇数；当k为奇数时，m为偶数
考点：代数式推理、无理数的估算、完全平方公式、二次根式的运算、等式的性质、不等式的基本性质
思路：
（1）根据题意补全所缺内容
（2）先求出整数部分，根据条件判断奇偶性
（3）根据前面的结论进行推广
解析：
（1）① ，所以①填；
② ，所以②填；
③ 由，且，0<n<1，可得；
④ 。
（2）m不是奇数，证明如下：
因为，，
所以，即。
又因为，且0<n<1，
所以。
又因为，可得。
所以。
故。
又因为a，b均为整数，所以为偶数，
故为偶数，即m不是奇数。
（3）当k为偶数，且k≥2时，m为奇数；
当k为奇数，且k≥2时，m为偶数。
24. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
考点：圆的有关性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形
思路：
（1）根据等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质求解
（2）利用同位角相等两直线平行，结合平行四边形的定义证明
（3）利用相似三角形和全等三角形的性质求解
解析：
（1）解：∵ AB = BD，∠ABD = 60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ ∠BAD = ∠BDA = 60°
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
又∵ ∠BCE + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCE = ∠BAD = 60°
∵ ∠CBE = 60°
∴ ∠E = 180° - ∠CBE - ∠BCE = 60°
（2）证明：∵ ∠ACD = ∠ABD = 60°
∴ ∠ACD = ∠E
∴ AC // EF
∵ 四边形AFBD是⊙O的内接四边形
∴ ∠AFB + ∠ADB = 180°
∴ ∠AFB = 120°
∴ ∠AFB + ∠E = 180°
∴ AF // CE
∴ 四边形AFEC是平行四边形
（3）解：过点C作CH ⊥ BE，垂足为H，连接DF，设CD = a。
∵ ∠E = ∠CBE = ∠BCE = 60°
∴ △BCE是等边三角形
∴ BE = CE
又∵ ∠CFB = ∠CDB，∠E = ∠E
∴ △CFE ≌ △BDE
∴ EF = CD = a
∴ BF = CD = a
∵ ∠E = 60°
∴ △DEF是等边三角形
∴ ∠FDE = ∠BCE = 60°
∴ BC // DF
∴ △BCG ∽ △DFG
∴
∵ BC // DF
∴ △BCE ∽ △FDE
∴
∴ BE = 2a，EF = 3a
∵ 四边形AFEC是平行四边形
∴ AC = EF = 3a
∵ △BCE是等边三角形，CH ⊥ BE
∴ BH = BE = a
在Rt△BCH中，tan∠CBE = =
∴ CH = BH = a
∴ FH = BF + BH = 2a
∴ CF = = = a
∵ △CFE ≌ △BDE
∴ BD = CF = a
∴ = =
25. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
考点：抛物线的顶点坐标、抛物线与x轴的交点、抛物线的综合应用
公式：顶点坐标公式，判别式
思路：
（1）将b=1，c=2代入抛物线表达式，配方得顶点式
（2）由抛物线上的点在x轴上方得不等式，进而得判别式大于0
（3）设点坐标，根据MA=MB=MC=ME，利用中垂线性质探究
解析：
（1）解：∵ b = 1，c = 2
∴
抛物线的顶点坐标为
（2）证明：∵ 点P(x₀, y₀)在抛物线上
∴
∵ 点P在x轴上方
∴ ，即
对于方程，即
判别式
由得：
∴
∴
即抛物线与x轴有两个交点
（3）解：CD和DE的数量关系是CD = DE
证明：抛物线与y轴交于点C(0,2)
∴ c = 2
∴ 抛物线为
∵ MA = MB
∴ M在AB的垂直平分线上，即M在抛物线的对称轴上
设对称轴为直线，M的坐标为
∵ MA = MC
∴
化简得：
直线与相交于点D
联立解得：，，
∴ D点坐标为
∵ MC = ME，且C、E都在y轴上
∴ M在CE的垂直平分线上
∴ M的纵坐标为
由对称性和中垂线性质可得CD = DE。
Good Luck!🤞