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2025 年福建省中考数学真题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 下列实数中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．
解：∵ ，
∴最小的数为 ；
故选：A
2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．
下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是
轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对
称的定义，进行判断即可．
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）A. B. C. 0 D. 2
【答案】D
【解析】
本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即
，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
解：要使 在实数范围内有意义，
需满足被开方数 ，
解得 ．
∴ 符合．
故选：D．
4. 福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大绕，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形
兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为
其示意图，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图
形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可．
解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故选A．
5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的
解集即可．
解： ，
，
，
∴ ；
在数轴上表示如图：
故选C．
6. 在分别写有 ，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概
率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
解：由题意，列表如下：
1 2
1
2共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有 ， 两种，
∴ ；
故选：B．
7. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F
在同一条直线上， ．当 时， 的大小为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查平行线 的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到 ，再根据三
角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故选：B．
8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，
围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即
可．
解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为 米，由题意，得：
；
故选：C．
9. 如图， 与 相切于点A， 的延长线交 于点C． ，且交 于点B．若
，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接 ， ，切线得到 ，求出，平行，得到 ，进而得到 为等边三角形，推出
为等边三角形，即可得出结果．
连接 ， ，则： ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选C．
10. 已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
解：∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线过点 ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，小于 到对称轴的距离，
∴ ；
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加
记作 ，那么体重减少 应记作_______．
【答案】
【解析】
本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可．
解：体重增加 记作 ，那么体重减少 应记作 ；
故答案为： ．
12. 某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若 ，则
的长为_______m．【答案】4
【解析】
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根
据 ，得出 为直角三角形，根据直角三角形的性质得出 ．
解：∵ ，
∴ 为直角三角形，
∵E是斜梁 的中点，
∴ ．
故答案为：4．
13. 若反比例函数 的图象过点 ，则常数 _______．
【答案】
【解析】
本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出 值即可．
解：∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ；
故答案为： ．
14. 如图，菱形 的对角线相交于点O， 过点O且与边 分别相交于点E，F．若
，则 与 的面积之和为_______．【答案】1
【解析】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出 ，
，然后证明 即可求解．
解：∵菱形 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
15. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）
按 的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩
如下表：
项
目
听 说 读 写 最终成绩
员
工
甲 A 70 80 9 820
7
乙 B 90 80 82
0
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）
【答案】>
【解析】
本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算
公式求解即可．
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为； ．
16. 弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力
F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即 ，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为
m的物体重力为 ，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹
性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂
物体的质量为_______千克．
【答案】0.8【解析】
本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律 （其中 为弹力， 为劲度系数， 为弹簧
伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系 是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数 ，再
利用胡克定律求出弹簧长度为 厘米时所挂物体的质量．
解：不挂物体时弹簧长度 厘米，挂质量 千克物体时，弹簧长度 厘米，则弹簧伸长
量 (厘米)．
物体重力 （ 为常量），根据胡克定律 ，可得 ，即 ，解得
．
当弹簧长度 厘米时，弹簧伸长量 (厘米)．
设此时所挂物体质量为 千克，则 ，因为 ，所以 ，两边同时除以 ，得
．
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】
【解析】
本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关
知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
解：．
18. 如图，点E，F分别在 的延长线上， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明
， 证明 ，即可得出结论．
证明： ，
．
在 和 中，
，
，
．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把 代入即可即可．
解：
．
当 时，
原式 ．
20. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的
测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期 2月 2月 3月 3月 3月 4月 4月 4月 5月 5月
队员 10日 21日 5日 14日 25日 7日 17日 27日 8日 20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 ；方差分别是 ．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数
90 89 90 89 90
线
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，
选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？【答案】（1） ，见解析
（2）甲，见解析 （3）选甲更合适．理由见解析
【解析】
本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．
（1）先求出乙的方差，然后比较即可；
（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；
（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．
【小问1详解】
，即 ．
因为 ，
所以 ，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
【小问2详解】
由已知得，获奖分数线的平均数为 ，
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，
所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
【小问3详解】
选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发
展潜能的角度考虑，选甲更合适．
21. 如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C， 是由 沿 方向平移
得到的．已知 过点A， 交 于点G．（1）求 的大小；
（2）求证： 是等边三角形．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）等边三角形的性质推出 ，垂直，得到 ，角的和差关系求出 的大
小即可；
（2）平移得到 ，进而得到 ，角的和差关系推出 ，进而
得 到 ， 根 据 ， 推 出 垂 直 平 分 ， 进 而 得 到
，推出 ，进而得到 是等边三角形即可．
【小问1详解】
解： 是等边三角形，
．
D是 的中点，
．
，
，
．
【小问2详解】
由平移可知： ，
，
又 ，
，∴ ，
又 ，
垂直平分 ，
，
由（1）知， ，
，
，
是等边三角形．
22. 如图，矩形 中， ．
（1）求作正方形 ，使得点E，G分别落在边 上，点F，H落在 上；（要求：尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）作 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，以 为直径画圆，交 于点 ，即可得到正
方形 ；
（2）勾股定理求出 的长，进而求出 的长，证明 ，求出 的长，再根据正方
形的性质，结合勾股定理求出 的长即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形 就是所求作的正方形．由作图可知， ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形；
【小问2详解】
由（1）知： ， ，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，．
，
．
又 ，
，
，即 ，
．
在 中， ，
，
∴正方形EFGH的边长为 ．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点 ．
（1）求 的值；
（2）已知二次函数 的最大值为 ．
①求该二次函数的表达式；
②若 为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）① ；②见解析【解析】
本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为 列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出 ，然后把 通分后代入即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数 图象的对称轴为 ．
的
因为点 在该函数的图象上，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【小问2详解】
①由（1）可得， ，
所以该函数的表达式为 ，
函数图象 顶点坐标为 ．
的
因为函数的最大值为 ，
所以 ，且 ，解得 ，或 （舍去）．
所以该二次函数的表达式为 ．
②因为点 在函数 的图象上，
所以 ．
由①知，点 关于直线 对称，不妨设 ，
则 ，即 ．
所以
，
所以 ．
.
24 阅读材料，回答问题．
主
两个正数的积与商的位数探究
题
提 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“
出
”，猜想：m位的
问题 正整数与n位的正整数的乘积是一个 位的正整数．
分
析
问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
探
究
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘
法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推
广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 ，则称这个数的位数是
，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且
，则必有 且 ，或 且 ．并且，当 且 时，
；当 且 时， ．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为
，其中a，b，c均为正数．
由 ，得 ，
推 即 ．（*）
广
延
伸
当 且 时，“ ，所以 ，又 ，所以
．由（*）知， ，所以 ；
当 且 时， ，所以 所以 ，
与（*）矛盾，不合题意；
当 且 时， ① ；
当 且 时， ② ．
综上所述，命题成立．
拓
展 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少？证明你的结
迁
移 论．
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2．【答案】（1）小明的猜想不正确，反例：
（2）见解析 （3）当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；当A的数字小于B的数
字时， 的位数是
【解析】
（1）举反例即可；
（2）①当 且 时，可得 ，得 ，不合题意；
②当 且 时，可得 ，可得 ，得 ，即得 ．
（3）设 ，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则 ．当 时，必有 ，
，即 ；当 时，必有 ， ，即 ．
【小问1详解】
解：小明的猜想不正确．
反例： ．
【小问2详解】
证明：① ，所以 ，所以 ，与（*）矛盾，不合题意；
② ，所以 ，又 ，所以 ，
由（*）知 ，所以 ．【小问3详解】
解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是 ．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 ，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则 ．
由小华的命题知，当 时，必有 ，
此时， ，所以 ；
当 时，必有 ，
此时， ，所以 ．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是 ，
25. 如图，四边形ABCD内接于 ，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点
GD交AC于点H，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的周长．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
（1）利用 得 ，结合同弧 所对圆周角 ，再根据三角形
外角性质 ，完成证明 ．
（2）先证 得 ，再通过角的等量代换证 ，推出
，从而得 ．
（3）利用（2）结论将 周长转化为 ，通过相似三角形 及三角函数、勾股定理
求出 的长，即 周长为 ．
【小问1详解】
证明： ，
．
，
，
．
，
．
【小问2详解】
证明： ，
．，
，
又 ，
，
，
．
由（1）知， ，
又 ，
，
．
，
．
∵ ，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：由（2）知， ，
的周长为 ．
设 ，则 ．由（2）可知， ．
又 ，
，
，
，
．
又 ，
，
．
过点C作 ，垂足为P，则 ．
四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
，
．
在 中， ，即 ．
，
，
，
．在 中， ，
，
解得 ，或 （舍去）．
．
的周长为 ．
