2025学年第二学期宁波九校联考高一年级期末考试试卷及解析

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📌 本期干货速递：[2025学年第二学期宁波九校联考高一年级期末考试] + 把关题通法解析

不说废话，直接上硬菜。

📂 今日资源包含：

• 完整原卷：[2025学年第二学期宁波九校联考高一年级期末考试]（含官方参考答案）
• 独家深度解析： 针对试卷中的高频易错题及把关题（第 [8、14] 题），提供区别于官方答案的更优解法 / 一题多解 / 详细推导。

💡 核心考点提示：本套试卷在 [向量数量积、立体几何空间角、解三角形] 上的命题非常新颖，建议作为重点攻克对象。如果你在这些模块还有盲区，今天的解析一定能帮到你。

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其余高一联考链接如下

2025学年第二学期绍兴高一年级期末考试数学试卷及解析。

2025学年第二学期台州市高一年级期末考试数学试卷及解析。笔者带你巧用中线定理，破解两道经典好题

原卷如下

解析如下

第8题

如图所示， 为边长为 2 的正三角形， 为  中点. 若  两点在以  为直径的半圆上运动（不包含端点 ），且满足 ，则  的最小值为

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】 A

【解析】

【向量拆分法】

我们充分利用几何图形的对称性，将未知向量转化为已知长度和夹角的向量。

将  在圆心  处进行拆分：

设  与  所成夹角为 

由  的对称性可知， 与  的夹角直接为 。 同时， 是垂直于  向下的向量，模长为正三角形的高 。

我们来直接计算这两部分数量积： ①  与  的模长均为圆的半径 1：

②  在 （垂直向下）方向上的投影长度为 ：

两式相加，原式就可以化为关于  的二次函数：

配方求最值：当  时，该二次函数取得最小值：

第14题

已知  外接圆半径为 ，其内切圆半径为 . 若 ，则  周长的最小值为 .

【答案】

【解析】

首先，由正弦定理 ，已知 ，得 。 结合已知条件 ，立得内切圆半径：

利用三角形面积的两种计算公式  与 ，可建立等式：

将  代入上式并约去（显然 ），得到三边关系：

将已知边长  代入，得 。

得到这个关系式之后，我们只需要利用基本不等式将的最小值算出来即可。

我们设 。 由基本不等式 ，代入前面的关系式中，直接解关于  的不等式：

解得：

故三角形周长  的最小值为：

（当且仅当  时等号成立，符合三角形三边关系）。