夜雨聆风解. 将正四面体嵌入正方体，则其棱为面对角线。设正方体棱长 ，由 得 。对棱中点即相对面中心，距离为 。
答案：
2. 已知 为非负实数，函数 有零点，若存在正整数 满足 ，则 最小值的整数部分为
A. 1001 B. 4001 C. 4002 D. 都不对
解. ，由知对恒成立，故在上单调递增，从而对正整数有。取可使差最小。设。
条件 即 ，得
由有零点知 ，故 ，从而
结合两式得
取 时取等，最小值约 ，整数部分为 。
答案： B. 4001
3. 复数 满足 ，则 的复根有______个。
解. 令 ，则 。 若 ：。 若 ：，。 共 个复根。
答案： 7
4. 正实数列 满足：，，则 的整数部分为
A. 0 B. 1 C. D. 都不对
解. 由 及 得
于是 ，又由 得
由 得 。 故 ，。 从而 ，又 ，整数部分为 。
答案： A. 0
5. 圆内接四边形 ABCD 满足 ，，则 。
解. 中由余弦定理：
圆内接四边形对角互补，。 在 中由余弦定理：，
答案： 2
6. 复数 满足 ，则所有满足题意的 的乘积为
A. 9 B. C. D. 都不对
解. 两圆 与相交，圆心距。 由得（根轴）。代入 得
由参数法：令 ，则 ，两根对应角 满足 ，故 。
答案： C.
7. 单位圆上正 2026 边形一顶点到另外 2025 个顶点的距离之积为
A. 2026 B. C. D. 都不对
解. 顶点 。取 ，到其余顶点距离之积
由因式分解 ，
令 得 ，取模即得距离之积为 。
答案： A. 2026
8. 同余方程 的解的个数为
A. 2 B. 16 C. 256 D. 都不对
解. 。由中国剩余定理（CRT），解数等于各素因子幂下解数之积：
： 解（） ： 解（） ： 解（）
总解数 。
答案： B
9. 实数列满足，，且对任意，存在使为到这项的算术平均，则的最小值为
A. 0 B. C. D. 都不对
解. 为最小化 ，应使尽可能大、尽可能小。 取（每次选），则。 最后一步取：。 此时。 由 知无法取得更小值。
答案： C.
10. 实数 满足 ，则 的最大值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 都不对
解. 配方得
故 ，即 ，最大值 在 时取到。
答案： C. 2
11. 实数 满足 ，则 的最小值为______。
解. 由 等得
又 给出 ，故
等号当 且各乘积非正（即一零两异号）时成立。
答案： 4
12. 实数 的绝对值均不小于 1，且 ，若 ，则 的最小值为
A. B. C. 0 D. 都不对
解. 在 和 上均递增，且 。 分类知只能两正一负。设 ，则
由 在 上递增，解 得 。故
等号在 及其排列时取到。
答案： A.
13. 若 ，则 的最大值为______。
解. 令 ，平方得
由均值不等式：，代入得
等号当 时取到。
答案：
14. 满足 且 为素数的素数对 的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 都不对
解. 若 均不为，则，，故（唯一可能），但，矛盾。 故至少有一个为。由对称性设，则。 若均为奇素数，则为奇数，为偶数，非素数。 故或中必有一个为。取，则。 若，则，（可奇）， 若：，经验证为素数。 若：，非素数。 故唯一素数组为，所有排列均满足，共 组有序三元组。
答案： D. 都不对（应为 6 组）
15. 椭圆 上一动点 ，右焦点为 ，则 的最大值为
A. 5 B. C. D. 都不对
解. ，左焦点 ，右焦点 。 由椭圆定义 ，故
由三角形两边差 第三边：，等号当 共线且 在左顶点 时成立。 故最大值为 。
答案： C.
