夜雨聆风在网上刷到了今年北大强基的数学试题（不知题目是否准确）．整体来看，没有超出高联范围的知识，很多问题也很经典，利用课内知识即可解决．由是写了一份解析，任何疏漏之处或不同解法，欢迎在评论区留言进行交流．
2026 年北大强基数学试题
第 1 题
题目
已知圆内接四边形 满足 ，，求 的长．
解析
连接 ，．由 共圆，知 ．在 中，由余弦定理
即 ，．
答案：．
第 2 题
题目
若复数 满足 ，求满足题意的所有复数 的乘积．
解析
为分别以原点和 为圆心， 为半径的两个圆的交点，设为 ．由对称性，，而 ，故 ．
答案：．
第 3 题
题目
求同余方程 的解的个数．
解析
由 及中国剩余定理，原方程的解数等于三个子方程 （）解数的乘积．
对于 ，当时，因，，各产生个解．当时，与均为偶数且相差，，在模系下恰好对应个解．
故原同余方程共有 个解．
答案：．
第 4 题
题目
已知实数 满足 ，求 的最小值．
解析
而
故 ，当 ，， 时可取等号．故 的最小值为 ．
答案：．
第 5 题
题目
求单位圆上正 边形的一个顶点到另外 个顶点的距离的乘积．
解析
设正 边形的顶点对应的复数为 ．由 ，知
令 并取模长，所求距离之积为 ．
答案：．
第 6 题
题目
若实数 满足 ，求 的最大值．
解析
设 ，由均值不等式，
知 ，当 时取等号．
答案：．
第 7 题
题目
在 中，已知 ，求 的取值范围．
解析
故 ．设 ，由 知 ，有
答案：．
第 8 题
题目
若定义在实数域上的函数 的图像绕原点旋转 后与自身重合，求其不动点的个数．
解析
若 在上，依题意旋转次，则，均在上，故，．而将旋转两次，得，．故仅有 这一个不动点．
答案：．
第 9 题
题目
若实数 满足 ，求 的最大值．
解析
设 ，则
由 ，知 ．
答案：．
第 10 题
题目
已知椭圆 ，点 ，过 作椭圆的两条切线互相垂直，求 的值．
解析
由题意，直线 与椭圆相切．联立方程，，由 ，知 ．
答案：．
第 11 题
题目
已知实数 的绝对值均不小于 ，，若 ，求 的最小值．
解析
① 若 两正一负，不妨设．用调整法，若，固定，尝试将调整为．设，则，由于，知，即．故取最小值时，应有，从而．
② 若 一正两负，不妨设 ．由 ，知 ，即 ．
综上， 的最小值为 ．
答案：．
第 12 题
题目
正四面体的棱长为 ，求其对棱中点的距离．
解析
将正四面体嵌入正方体中（取上下面的 个不相邻顶点），对棱中点距离即正方体边长 ．
答案：．
第 13 题
题目
已知正实数列 满足，当时，（为前项和），求 的整数部分．
解析
当 时，，代入已知得到 ．由 ，知 ，而 ，故 ．
答案：．
第 14 题
题目
已知复数 满足 ，求满足该方程的复数 的个数．
解析
两边取模得 ，或．若，则．若，则，原方程即，共有个根．综上，共计 个根．
答案：．
第 15 题
题目
已知集合 ，从 中选取四个数组成公差不为 、长度为 的等差数列，求这样的等差数列的个数．
解析
设公差为 ，由于最大项 ，则 ．对于固定的正公差 ，首项 有 种选择，故等差数列的个数为：
将 调换顺序即得 ，故满足条件的数列个数为 ．
答案：．
第 16 题
题目
设 均为素数，且 也为素数，求三元数组 的个数．
解析
易知 ．
若 均不为，由费马小定理，模恒为，则，与为素数矛盾，故必有一者为．同理，利用四次方模恒为可推得中必有；利用奇数的四次方模恒为推得中必有．
故 ，此时 为素数，符合题意．共 个有序三元数组．
答案：6．
第 17 题
题目
设 为非负实数， 为正整数．若二次函数 有零点，且 ，求 的最小值的整数部分．
解析
对称轴 且 ，故 ，设 ．设 ，由题意，
故 ，故
故 ，当 ， 且 时取等号．故 ．
答案：．
第 18 题
题目
已知方程 的四个根均为正数，求 的取值范围．
解析
由 ，两边同除以，即．令，由题意，有两个大于等于的实根．由韦达定理，，故．
答案：．
第 19 题
题目
已知椭圆 ， 为椭圆右焦点， 为椭圆上动点，求 的最大值．
解析
设左焦点 ，则
当且仅当 为左顶点时取等号．
答案：．
第 20 题
题目
已知数列 满足；对任意整数，存在，使得是这项的算术平均数，求 的最小值．
解析
设 前 项和为 ，令 ．
下面用数学归纳法证明：．（1），成立；（2）假设对所有，均有．由题意，是其前项的平均数．若，则；否则，，故
同时，由 ，知
累加可得
联立①②，得
由归纳假设 ，显然 ，而
故 ．
从而 ，取 ， 即可取等．故 的最小值为 ．
答案：．