2025秋天津一中高二期末数学试卷分析

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这套卷子的数列还是很能体现近两年高三复习趋势的。

第13题：

常规写法可以是待定系数，我的处理方法是“知识迁移”自抽象函数小题。

题中S符合上面f(xy)=f(x)f(y)的结构，就能立刻反映出S是幂函数(1倍x的a次幂)，再结合S是等差的和，轻松得到Sn=n².

第14题：

作差得到an是等差，然后要不写S_2/S_3=S_4/S_6，要不就写原式找定值。后者的计算结构值得说一下，和我椭圆计算模块中讲过的“函数过定点问题”类似

15题偷懒没写，插项的题各位需要非常非常熟练了。

第16题：椭圆题是真简单，第三问也可以写齐次化但没必要。我写的过程相对比较随意，考场上还是要多写清楚一些的。

第17题：

第一问互嵌式结构，不过有没有听过这个词都没影响。跟着引导去作和作差就行。相当于讲义中提到的“提醒作用→写定义式/向目标变形”

第二问放缩，也是讲义里书后题。奇项用糖水不等式放掉，偶项直接扔常数。保留前两项即可

第三问高斯取整+奇偶分项。理清红框那个求和本质就行

第18题：

题干容易有歧义，“从第二层起，每一层的...记作{a_n}”。那第二层的是a₁还是a₂？

而且题干上它还把“从第二层起”加粗了。我偏向于第二层的数据对应a₁。所以如果猜测错出题人意思的话，答案也就肯定不对了，后面重点看思路：

整道题的难度其实不大，把这个放最后一题我感觉是有点偏简单的。

第三问我去年4月份在知识星球发过一道题：

题意和这道题完全一样。对于从b_{n-1}变化到bn，考虑增量是如何构成的：把增量保持(1+4),(4+3),...,(5+2)这样的结构，如果左右再额外+1，+2，那么增量就能被理解成2倍b_{n-1}

于是得到b_n=3b_{n-1}-3。后面待定系数就好

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