浙江大学数学科学学院交流营笔试

1 数学分析

题1

题目设 ，

当  满足什么条件时  收敛？若收敛，求极限值。

解答

令

则

所以

当  时，若收敛，令 则 ， 对两边取极限有 矛盾！因此当时发散。

当时，将看作第一项可 知发散。

， 因此当时，由单调有界定理知  收敛。

题2

题目

设

为实系数多项式， 为  的最大零点。证明：

解答

反证，假设

 使得 。又。 由介值定理，，使得  ，矛盾! 因此 。

题3

题目

设  在  上 Riemann 可积。证明：

解答

对 ，，使得 ，由Cantor定理，在  上一致连续，所以 于 。

，当时 

所以 

题4

题目

设  是  中的开单位球， 在  上连续可微且在  上恒为零。证明：

解答

设 ，，令

注：

这道题和中科大数分第3题如出一辙中科大2026夏令营试题与解答（一）（数学分析，线性代数与解析几何）

题5

题目

设  是  中全体有理数的一个排列，在  上定义

(1) 证明  在  中的无理点处可导；

(2) 证明  在  中的有理点处不可导。

解答

对  只需证  在处可导 不妨将  仍记为 

对 ， 使得 

记 

，当时 。

于是

结论得证！

2 高等代数

题6

题目

设  为  阶矩阵，满足 ，且对  有

求 。

解答

设 则 所以 

题7

题目

设  是  阶幂零矩阵，且 。求  和  的 Jordan 标准型，并证明不存在矩阵  使得

解答

设的Jordan标准型为，由幂零知的特征值全为 

若，则  的阶数小于，，，，矛盾! 因此，即。。， 因此 的Jordan标准型中有个阶Jordan块，个阶Jordan块，特征值全是  。

题8

题目

设  是内积空间且 ， 是  上的线性变换，满足对任意  有

若  是实内积空间，求 ；若  是复内积空间，求 。

解答

题9

题目

设  为实矩阵且在复数域  上相似。证明： 与  在实数域  上也相似。

解答

设 。若 则 使得 ，，。，所以 。

因此，

在上相似 在上的行列式因子相同 在上的行列式 因子相同 在上相似。

题10

题目

设  为半正定矩阵。证明：

的充分必要条件是

解答