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一、代入排除法

适用场景

题型特征：年龄、余数、多位数、不定方程

选项特征：选项给出多组数据、题干出现最值提问

做题时机：仅剩两个选项、正向运算复杂

做题技巧

先排除，后代入；优先使用倍数、奇偶、尾数缩小范围

数字偏小优先尾数、奇偶；数字整数优先倍数特性

题干问最大优先代大数；问最小优先代小数

二、数字特性法

1. 奇偶特性

基础运算规则

奇数 ± 奇数 = 偶数

偶数 ± 偶数 = 偶数

奇数 ± 偶数 = 奇数

👉和差共性：知和求差、知差求和

👉同偶异奇：多用于不定方程 ax+by=C

2. 倍数特性

（1）整除特性

若A=B×C（B、C均为整数），则A能够被B、C整除

判定口诀

4/25：观察末两位数字

8/125：观察末三位数字

3/9：所有数字相加求和

拓展：因式拆分，拆分为两组互质数字相乘

（2）余数型

答案=ax+b → 答案-b 是a的倍数

答案=ax-b → 答案+b 是a的倍数

（3）比例型

已知 a:b=m:n（m:n最简整数比）

① a是m的倍数，b是n的倍数

② a±b 是 m±n 的倍数

3. 因子特性

不定方程 ax±by=C

规律：系数与常数存在公因子，剩余项必须包含该公因子

求最大公约数：短除法

三、方程法

1. 普通方程

①设未知数原则：求谁设谁、设中间量、设份数

②寻找等量关系关键词：总量、剩余、相等、相差、达到；工程总量=效率×时间

③解方程：移项消元、加减消元、代入消元

2. 不定方程 ax+by=C（x、y为整数）

解题优先级

1）因子特性：系数和常数存在公因数

2）奇偶特性：系数一奇一偶

3）尾数特性：系数包含5、10

拓展：赋0法（多个未知数、系数相同，求未知数总和）

四、赋值法

适用条件

1. 题干只给出比例关系，求比例、倍数、和差

2. 三量模型 A=B×C，题干至多只给出一类量

做题步骤：

识别三量→梳理已知条件→合理赋值

五、工程问题

基础公式：工作总量=工作效率×工作时间

1. 给定时间型：只给出完工时间，赋值总量为时间最小公倍数，反推效率

2. 效率制约型：直接给出效率比例，赋值效率，计算总量与时间

规律：总量固定，效率与时间成反比

3. 条件综合型：数据充足，直接列方程求解

六、经济利润问题

基础公式

利润 = 售价 − 成本

利润率 = 利润 ÷ 成本

售价 = 定价 × 折扣

总利润 = 单件利润 × 数量 = 总售价 − 总成本

细分题型

1. 分段计费：划分收费节点，分段计算，最后汇总

2. 费用统筹

①函数最值：单价和销量此消彼长；两点求值，均值取最优

②多方案择优：批量采购优先，结合代入排除对比方案

七、行程问题

基础公式：路程=速度×时间

1. 基础行程

①火车过桥

过桥：路程 = 桥长 + 车身长度

在桥：路程 = 桥长 − 车身长度

②等距离平均速度

平均速度=2×v1×v2 ÷ (v1+v2)

2. 相对行程

①流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

②相遇追及

单次相遇路程和=(v1+v2)×时间

单次追及路程差=(v1-v2)×时间

多次往返运动规律

直线同端同时出发，相遇n次：总路程2nS

直线两端同时出发，相遇n次：总路程(2n-1)S

环形同起点出发：相遇n次路程nS；追上n次路程差nS

3. 比例行程

抓住不变量

路程固定，速度、时间成反比

速度固定，路程、时间成正比

时间固定，路程、速度成正比

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