官方试题分析

我对这个试题分析的批判

首先是多个思路本质上是重复的思路。这道题的分析中，写到“解题思路多样”，但是我仔细看了多个思路，其实都是非常无聊地停留于形式，并没有改变本质。

思路 1 和思路 2 都是考虑对称性，只不过一个是补上了，一个是补上了。然后非常无聊地，思路 5 把这一套语言改写成了向量的数量积，又来了一遍。

另外，思路 3 和思路 4 都是分别计算横、纵、竖坐标之和，思路 3 是考虑，思路 4 是考虑，难道不还是一样的思路吗？另外，这里还可以引入我想批判的下一个点：试题分析并没有写清楚该有的数学概念和性质，例如这里没有写清楚期望的线性可加性。

接下来是许多关键概念和性质没有写清楚。例如数学期望的定义和数学期望的线性可加性。如果要按照课本上的定义，这个题实际上是超纲的！

课本上对随机变量的定义是样本空间上的实数值函数，即，参考人教 B 版选择性必修二。

本题题干的描述非常清楚，是先定义清楚了样本空间，再对于样本点定义随机变量。

而在定义数学期望的时候，课本上只给出了离散型随机变量的期望，是在分布列的基础上定义的，而不是对样本点求和。

而本题的所有思路中，用到的都是对样本点求和的期望定义，即

这个是课本上完全没有介绍的，所以按照试题分析的做法，这个题超纲了。并且让我失望的是，试题分析的所有“思路”都只用了大量的语言描述，而非用数学公式把这些概念写清楚。

如果课本没有讲清楚这些概念，官方的试题分析又没有写清楚解答过程，大部分一线数学老师没有系统学习过概率统计，只会讲概率递推，学生又该如何掌握概率统计，并能真正做明白这道高考题？

为了解释清楚这道题，首先需要给出期望的两种定义：

在第二个定义下, 设是离散型随机变量, 容易证明数学期望的线性可加性，即。

解法 1 (利用期望的可加性) 已知随机变量。我们可以分别定义三个坐标的投影随机变量，即，从而有

根据期望的可加性，可得

其中每个的分布为

所以，所以，故选 A。

解法 2 (利用期望的第二定义与对称性) 由古典概型，对任意的，都有。根据上面对期望的定义，可得

其中根据对称性与加法结合律，可得

并且，因此

所以，故选 A。

这些内容也补充到了我面对 2027 届学生更新的《高考概率统计压轴突破》课程中，课程介绍详见下面的文章。

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