夜雨聆风前言
一直没看到有人把试题写出来，那我来写一下吧，整体难度不大，最后一道随机过程是有关鞅的一些性质，有的学校可能没学过（比如我...）。笔试时长是三个小时。
题目1
设
（1）求的特征多项式和特征值
（2）求正交阵，使得为对角阵。
解答
（1）
特征多项式为
展开得特征多项式：。 令 ，解得特征值：（单根），（二重根）。
（2）
分别求解各特征值对应的特征向量，并做单位正交化：
对 ：解 ，得基础解系 。 单位化：。
对 ：解 ， 取两个正交的特征向量：，（满足方程且正交）。 分别单位化：
将单位正交特征向量按列拼接，得正交矩阵：
满足 。
题目2
设，，证明：
解答
显然
由 ，根据多项式互素的贝祖定理，存在多项式 使得：
代入线性变换 ，得恒等变换的分解：
任取 ，即 。将 做分解：
，故 ；，故 。
即 。
任取 ，则 且 。代入互素分解式：
故 ，即和为直和。
综上：。
题目3
，证明:
解答
因 ，故 在 上有界，记 。 对任意 ，由黎曼可积的充要条件，存在分割 ，使得振幅和满足：
记 为第 个区间的下确界。
将积分拆分为两部分：
第一部分估计：
第二部分估计： 计算定积分 ，故：
取 ，则该式小于 。
当 足够大时，有：
由 的任意性，得 。
题目4
关于满足Lipschitz条件，固定时，关于在上连续。证明在上连续
解答
对任意 ，将函数增量拆分为「固定 变 」和「固定 变 」两部分：
由题设， 对 满足Lipschitz条件，即存在常数 ，对任意 ，有：
因此第一部分满足：
固定 时， 关于 连续。故对任意 ，存在 ，当 时，有：
取 ，则当 时，必有 且 ，代入得：
故 在 处连续。由点的任意性， 在 上连续。
题目5
设，记。 求：
解答
（1）
先求条件分布函数 。
计算分子：
当 时，； 当 时， 当 时，。
因此条件分布函数：
故条件概率：
（2）
条件密度为 ，因此：
题目6
已知，，已知，有界且在处连续，
证明：
满足弱大数定理
设，证明：
解答
（1）
弱大数定律即样本均值 。
首先计算期望：。
再计算方差：
故 。
由切比雪夫不等式，对任意 ：
因此 ，即满足弱大数定律。
（2）证明
由 在 处连续，对任意 ，存在 ，当 时，。
将 阶矩拆分为两部分：
第一部分：由连续性，，故该项小于 。 第二部分：因 有界，设 ，则 ，因此：由（1）知 ，故当 足够大时，该项小于 。
综上，当 足够大时，。由 的任意性，得 ，即 。
题目7
回归分析,忘了
解答
题目8
设
证明：
是充分统计量
是完备统计量
解答
（1）证明 是充分统计量
由因子分解定理：统计量 是充分统计量当且仅当样本联合分布可分解为 ，其中 不依赖于参数 。
样本联合分布列为：
取 ，，满足因子分解形式，故 是 的充分统计量。
（2）证明 是完备统计量
首先，独立泊松变量的和仍服从泊松分布，即 ，参数空间为 ，对应分布族为泊松分布族 。
完备性定义：若对任意可测函数 ，满足对所有 有 ，则 。
展开期望：
两边乘以 得：
左边是关于 的幂级数，在正半轴上恒为0，故所有系数必为0，即 对所有非负整数 成立。因此 ，故 是完备统计量。
题目9
已知马氏链状态空间，转移概率矩阵为
求：
每个状态的可达性，对马氏链分类。
互通类中每个状态的常返性，说明理由
该闭类是否具有不变分布，若没有，说明理由；若有，给出不变分布。
解答
（1）
可达性：
从状态1出发：可一步到达1、2，通过2可到达3、4，故1可达所有状态； 从状态2出发：可到达2、3、4，无法返回1； 从状态3出发：可到达3、4，无法到达1、2； 从状态4出发：可一步到3，进而到达3、4，无法到达1、2。
互通类与分类： 互通关系需满足互相可达，因此状态划分为三个互通类：
：非闭类，状态可离开且无法返回； ：非闭类，状态可离开且无法返回； ：闭互通类（从该类出发无法离开），构成不可约闭子链。
（2）
类 和 均为非闭单点类，状态离开后无法返回，首次返回概率 ，故均为非常返态（瞬过态）。 闭类 是有限状态的不可约马氏链，有限不可约马氏链的所有状态均为正常返态。 验证：对状态3，首次返回概率 （一步直接返回，或经4一步返回），故为常返；有限状态的常返态必为正常返。同理状态4也为正常返。
（3）
有限不可约正常返马氏链存在唯一平稳分布，且平稳分布集中在闭类 上，状态1、2的分布为0。
设平稳分布 ，满足 且 ，列方程：
归一化：
解得：。
因此不变分布为：
题目10
已知独立同分布，
定义两个随机过程：
，定义
证明：
均为鞅。
考虑可料二次变差：
求
题目给出的两个随机过程在范数下是否有界？说明理由。
题目给出的两个随机过程在几乎处处意义下和意义下分别是否收敛？说明理由。
解答
（1）证明两个过程均为鞅
以 为例，
适应性： 是 的可测函数，故关于 可测。 可积性：，对任意有限 成立。 鞅条件：因 与 独立且 ，故 ，因此 。
综上， 是鞅。同理可证 也是鞅。
（2）
可料二次变差定义为：
对 ，增量 ，故：
因此 （为确定性序列），其期望为：
同理，对 ，增量 ，故：
因此 ，其期望为：
（3）
对于零初值鞅，有 （鞅的正交增量性质）。
对 ：，而级数 ，故 ，即 在 范数下有界。 对 ：，调和级数发散到 ，故 ，即 在 范数下无界。
（4）
收敛性： 鞅的 收敛等价于 有界。因此：
： 有界，故 收敛； ： 无界，故 不收敛。 几乎处处收敛性：
： 有界的鞅必为 有界，由鞅收敛定理， 几乎处处收敛。 ：方差级数 发散，由Kolmogorov三级数定理，级数 几乎处处发散。