第一章 习题（1）

一般来说，做几何题时一定要自己画图。如果时间允许，甚至可以多画几个不同的图，在画图的过程中研究如何作图，往往能分析出一些行之有效的辅助线添加方法，或提前猜测出一些结论，从而找到突破口。

这一章的题目难度不算高，主要是为了打基础，里面的一些引理请大家牢记。

证明：因为  为正方形  的中心，所以

于是

又因为 ，所以

证明：因为  为直径，所以

于是

所以

证明：

【法一】：由 鸡爪定理，记  为  的中点，则 ，即  四点都在以  为圆心的圆上。

【法二】：

所以  四点共圆。

注：这道题其实 [法二] 更本质。因为只要  的表达式只依赖于 ，而题目中外面的四个点四点共圆保证了  大小不变，所以对应的  也相等，从而里面的四个点也四点共圆。

所以如果把“内心”改成“垂心”、“外心”、“旁心”（同一侧的），那么四点共圆的结论仍然成立！

分析：直接证明这两个角相等比较困难，所以考虑转化为补角，即尝试证明 。而我们发现疑似有 ，尝试证明即可。

证明：由 鸡爪定理， 即为  的中点，所以

又因为

所以

于是

从而

证明：由 垂径定理， 为弦  的中点，则 。又因为 ，所以  一定在以  为直径的圆上。

分析：这两个角单独来看没有直接关系，也不好处理。一般来说，张角在圆内可以当作圆周角，处理起来比较方便；但在直线上就不好算了。本题如果不借助三角法，纯几何方法很难直接处理，所以我们考虑转化结论，证明 ，即证明四点共圆，从而避开原角，用其他角来完成证明。

证明：即证  四点共圆。

因为 ，所以

又因为

所以

于是

因此

分析：只需证明  的内心  是  的垂心。由对称性，只需证明 ，即证明 。

证明：

所以 。同理，由对称性可得 、。因此  的内心  是  的垂心。