第一章 习题（3）

我们继续，结束这一章！

分析：我们可以发现有很多共圆，所以仿照 密克定理 的证明即可。

证明：显然可以注意到

所以

而

所以

所以

又因为  三点共线，所以  也三点共线。

分析：多画几个不同的图试一试，就会发现好像  和  的交点  在  上。

仔细想想，结合垂足的条件，可以联想到上一道题的 西姆松定理，因此这个  应该就是  到直线  上的投影。

所以就可以把  拆分成  和 ，分成两半对称考虑。

然后再利用垂足产生的共圆就可以把角导到原来的半圆里面。

最后两边合在一起就可以完成证明了！

证明：记  为  到直线  上的投影。

由 西姆松定理，可以得出  共线， 共线。

也就是说， 和  的交点  在  上。

由于 ，所以

同理另一边也有

所以

得证！

分析：还是多画图找找结论，发现好像  也过  和  的另一个交点 。不过再细想想，这肯定是显然的，因为 ，所以其实只要证明一个“四点共线”。

那既然是这样，对于直线  的刻画就可以用上点 。由于点  和  是对称的，所以它们最好不要同时出现，可以考虑去证明 （或 ）三点共线。

比如我们考虑证明  三点共线。

此处其实有一个在下一章才出现的模型，也就是 蒙日定理 的模型。这里其实有三个圆“套”在一起，所以三个公共弦交于一点，也就是说  三点共线。（这里其实是原作者 Evan Chen 的失误 hhh，你去看他标答里面并没有证明这个共线，只是进行了导角。他要是考虑到要用蒙日定理这点，估计就不会把这道题目放在这里了。不过你在浏览器里能搜到他的勘误 doge。）

利用  三点共线这一点，就可以想到证明  三点共线的方法，也就是去证明 ，这里的  由于前面的共线是可以计算的。

最后再导个共圆就做完了。

证明：记  为  和  的另一个交点（异于 ）。由于 ，易知  三点共线。

同时由 蒙日定理， 三线共点，也就是说  三点共线。

一方面，易知 

另一方面，由 密克定理，有 

所以 

于是

所以

因此  三点共线，同理  也三点共线，即  四点共线。

所以  三点共线。

分析：这题确实挺难的，图也不好画，而且也没什么好的方法。（事实上你就算知道了答案也反推不出怎么画）

所以要么只能意思意思画个示意图，要么就使用“调整法”画一个相对标准一点的图。

切线 、 都还好算，但是这个  真的没办法操作……

所以就到了这道题最难的一步，也就是 “在  上取一点  使得 ！”（也就是 “截长”）

后面其实就简单了，无脑倒角和共圆去证明  就结束了。

（一开始没想到这一点没有关系，重要的是以后遇到相似的证明条件时，也要能考虑到这种方法就行了。）

证明：记半圆的圆心为 ，在  上取点  使得 ，即证 。

记 ，则

由于 ，所以

所以

因此 

再令 ，由上面的共圆可得

又因为 ，所以

所以

于是

从而

证毕。