(数学)苏教版六年级上册教材说明与教学建议(余颖)-学习记录-附视频

今天呢就以“着眼整体建构，发展核心素养”这个标题，跟大家分享关于苏教版数学六年级上册教材的内容。

那么为什么以这样的一个主题来定位呢？因为我们知道六上这一册教材之后，在小学阶段就只剩六下一册了。那么在六下目前的编排当中，大概还有4个新内容：一个是百分数，一个是用字母表示数量关系，还有一个是正比例，还有一个是圆柱和圆锥，所以只剩下这4个教学内容。那也就是说，关于数与代数领域，尤其是整数、小数、分数等等这样的一些数与运算，基本上到六上就截止完成了。所以到了这个节点上，我们需要去整体地建构和梳理。因此今天带来这么一个主题。

今天跟大家的分享，我想从这三个维度来进行。首先进行一个导览式的，把六上教材的内容先大概捋一下；然后再聚焦6个主要的、这一册教材的核心编排亮点，跟大家分享；最后提出三点教学建议，当然还有一些说明。

好，那么首先我们一起来通览一下本册教材。这册教材还是非常鲜明的，立足核心素养的发展，一共是7个单元，3个综合实践活动，一个探索规律，另外还有期末复习。那么这样的一些内容大概分布在3个领域当中。数与代数领域包括了4个教学单元和一个探索规律，聚焦的是数与运算的一致性。那么在图形与几何领域有3个教学单元，比较凸显的是操作与推理的并重。综合与实践有3个跨学科的主题活动，应该说这3个主题活动非常突出，强调孩子们自主提出问题，然后确定研究方法，然后去收集数据研究问题，最终去表达，再进一步做出决策等等这样完整的探究过程。

好，那么下面就一个领域一个领域地看。在数与代数领域当中，一共有4个教学单元和一个探索规律的活动。这5个方面的内容，最核心的就是突出在我们的情境创设、问题任务驱动的探究当中，以及聚焦本质的数与运算的本质沟通当中，去建构数与运算的整体一致性。分别是第一单元小数的乘法和除法。这个单元的内容是属于数与运算这一单元的关键要点。也就是在进行小数乘除法计算的时候，是把小数转化成分数，特别突出聚焦计数单位，也就是特别聚焦小数运算的意义，从意义聚焦计数单位，然后再明晰算理，得出算法。在讲这个的时候，我们有的老师可能已经敏锐地感觉到，这跟以往我们小数乘除法计算编排的逻辑序列是不一样的。以往我们是通过商不变的规律、积的运算变化规律，从整数推理过来，推出小数的计算。但是在我们的整个知识体系的逻辑当中，运算是基于意义而展开的。那么我们整数当中的规律，如果把它推到小数当中，这里面是存在着一个逻辑不自洽的问题。你怎么能够确定你整数当中的商不变的规律，在小数当中就默认它是同样存在的，然后再据此来进行运算，对吧？这个从逻辑上是不自洽的。所以在这一次的教材调整过程当中，按照课标的要求，我们是把它由运算的意义去推出运算的算理和算法。

那么混合运算与数量关系三，二和一分别在中年级。那么混合运算三当中强调的是数量关系。我们有分数、小数的混合运算的顺序，那更多的还是聚焦数量关系。

那么第3个单元，数与运算的再认识，这应该说是一个新设置的单元，属于数与运算。关键的要点也是今天我们解析当中可能要重点关注的一个单元，就是聚焦计数单位及其个数，然后去整体打通数的意义与运算的意义。

第4个单元是比和比例，属于数量关系。那么它的核心要点是建立比的关系模型，按比分配，然后再由此认识比例。

那么探索规律——二进制的秘密，它的核心要点就是“满二进一”，是一个关于位值制的拓展。

好，那下面我们就这4个单元和一个探索规律，一个一个来梳理。首先第一个单元的主题图是水果售卖的这样一个场景，在后面的例题也出现了几次，关于快乐农场是在这样一个真实的情境当中，聚焦运算的意义去沟通小数乘除与分数乘除的内在联系。所以它的核心是把小数乘除法转化为分数乘除法或整数乘除法，理解算理。这一单元教学的核心要点，首先要理解一个数乘除以小数的意义，要紧扣意义去理解算理，去掌握一个数乘除以小数的算法；同时根据实际需要，求积或商的近似值，发展学生的运算能力与推理意识。

好，那么我们再来细看一下这一单元教材编排的学习链。首先特别强调情境引入，无论是我们的主题图还是例题当中，每一个问题都是由真实问题驱动的。那么在这里大家看到我摘取了例一、例二、例五这几个，也只是做一个类比，其实其他的很多也都是。首先是学习一个数乘小数，这里有两个例题，一个是整数乘小数，4乘0.9是把它转化为分数乘法，还有小数乘小数，也都转化成分数乘法，这是例一和例二。那么接下来例三、例四，是小数乘法的竖式计算，强调了小数的位数与积的位数的规则，确定规则。接下来学习一个数除以小数，分别是0.6除以0.3，把它转化成分数除法，然后是小数部分位数不一样的，1.2除以0.24，转化成分数除法，并进一步转化成整数的除法。好，还有就是关于结果的近似值这样的一个问题，它是来源于解决问题的实际需要去取近似值。

首先是例六，求商的近似值，这里面算出来的商是一个循环小数。那么关于循环小数，在后面“你知道吗”也对它有了一个介绍，关于有限小数、无限小数，像循环小数这样的小数部分位数是无限的小数叫做无限小数，那么除了循环小数还有无限不循环小数。所以这个例题的教学，因为得出的商是一个循环小数，那就有了求商的近似值的需要，得数保留两位小数。所以大家看，是在我们实际问题的解决需要当中产生的。

那么还有一个根据实际需要取近似值，就是例七，这是我们基于购物的情境，因为我们最小的货币单位是分，所以它就产生了取近似值的需求。最后取近似值时，根据实际问题合理灵活地进行思考。这是第一单元大概的学习线索。

那么第二单元混合运算与数量关系三。在这个单元当中，大家看它的主题图也是一个真实场景——城市绿化降噪，去推进整个单元的学习。这一个单元应该说主要聚焦在分数、小数四则混合运算，解决稍复杂的实际问题。核心要点：第一个，正确进行分数与小数的混合运算，包括混合运算的顺序以及整数运算律在分小数运算中的迁移应用。这里面有一些也出现了既有分数也有小数的混合运算，这是为了跟初中的学习相衔接。那么第2个重点，就是运用常见的数量关系解决稍复杂的实际问题，主要是稍复杂的分数乘法，还有一个是工程问题。在学习解决这些稍复杂的问题的过程当中，特别凸显画图等策略去表征与分析数量关系。同时还有一个，就是选择合适的方法进行估算，来解决稍复杂的实际问题。

好，那么在这个单元当中，真实的情境引入，整合分数、小数四则混合运算，这里面也有一个基本的，就是在三年级之前就已经特别突出的，昨天五上的主编也特别提出来的，总量等于分量加分量这样的数量关系，当然并不唯一，但它也是一个主要的数量关系的运用。那么教材编排的学习链，依然也是注重情境引入，真实问题驱动。混合运算部分突出的是分数、小数，有的也既有分数也有小数，确定运算顺序以及运算律。这里有一句话：“分数四则运算与整数相同，整数的运算律也同样适用。”那么第3个，在实际应用当中能够灵活选择策略，这就是今天上午大家看到的例二，估算策略的应用。那么在用分数解决稍复杂的实际问题，确定这样一些稍复杂问题的数量关系的过程当中，特别突出线段图等工具的应用，去分析、表征数量关系。所以这是在这一单元的例三和例四当中比较突出体现的。

那么最后例五还有一个工程问题，是用假设的思想方法去解决，假设工作总量为一。

好，接下来第3个单元，也就是我们2022课标教材当中这样一个新设置的单元——数与运算的再认识。这个单元从主题图可以看到，是以数的发展史的素材去引入的，引导学生用计数单位及其个数去重新审视整数、分数、小数，核心是以计数单位及其个数去重新审视。教学聚焦就是从计数单位及其个数的视角，形成对数与运算本质的整体性理解。核心要点：在例题一当中，这样的一种表达方式，我们就看到了这里呈现的是一个整数，它都表现为计数单位及其个数的累加。所以192等于1个百加9个十加2个一，是这样的表达。那么在这个单元当中，特别突出整数、分数、小数这些数的意义的一致。也就是说，不管是怎样的数，它都是计数单位及其个数的累加。那么运算的一致性呢，都是计数单位及其个数的运算——加减乘除都是计数单位及其个数的运算，感悟数与运算本质上的一致性。

那么老师们可能觉得，这里面怎么去勾连呢？下面我们再来细致地看一看。首先数的再认识，通过C919客机，这里面呈现了各种数据，大家可以在教材上看一下，有整数有分数有小数。这里凸显出来的就是强调，不管是分数、整数、小数，都是计数单位及其个数的累积。那么加减一致性是在例三，通过加减法算理的一致，一致在哪里呢？无论是整数、分数、小数，它们的加减法都是相同计数单位的个数相加减。那么乘除法的一致性呢，这里相对来说老师们理解可能会稍微困难一点。这里面通过例四勾连比较的是乘除法算理的一致，凸显体现的就是个数相乘除，计数单位相乘除。也就是说，不管是分数、整数、小数，都是个数相乘除以及计数单位相乘除。那么还有一个就是乘法和除法之间的一致，是通过乘除法之间的关系，以及通过等式的性质推理，得到除法是乘法的逆运算，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。那么最终整体建构，得到数与运算本质的一致。

好，第四单元关于比和比例。那么大家看到单元的主题图是由“考工记”这样的六种铜锡合金的配比来切入的。那么在这个单元当中，核心就是建构比作为一个关系模型——什么样的关系模型呢？刻画两个数量倍数关系的数学模型，这是核心。我们是从份数和分数两个角度去理解比，刻画两个数量之间倍数关系的数学模型。那么这个单元的内容相对比较饱满、比较丰富。比如说，首先是初步认识了比，这样的表达倍数关系的数学模型；然后又通过相似图形、图形的形状、运动的快慢，去逐步感知比还可以刻画事物的一些无法度量的属性，像速度等，这些属于无法度量的属性，可以用比去刻画；再通过蜂蜜水哪杯更甜，去延伸得出比的基本性质，化简比；然后再进一步研究按比分配的实际问题，将现实的分配规则转化为数学模型；理解比例的意义，运用比例的基本性质去解决实际问题。这是这个单元大概的一些要点。

我们再来细看一下教材编排的学习链。首先例题一，制作橙汁，通过份数与分数这两个维度，对比有一个初步的认识，表达的是它们之间的倍数关系。好，例题二是通过三款名片的制作，去判断其中有没有形状相同的，是通过长宽比来判断形状相同，认识比值——也就是说，相同比值的，它的形状就是相同的，这是例二。例三就是比快慢，谁的速度快，通过比快慢，得到的这个速度其实就是路程比时间，得到的是不同类量的比值，它是一个无法直接度量的属性的理解。蜂蜜水的甜度，例四，以及后面的一个化简比的例题例五，通过例四认识比的基本性质，然后例五学会化简比。

例六是一个制作青团皮的情境，学习的是按比分配，用按比分配去解决实际问题。

例七是比例，通过比值相等认识到比例，即比值相等的两个比可以组成一个比例，然后再认识比例的基本性质。

再运用比例的基本性质去列比例式解决实际问题，这就是例九。好，这是这个单元9个例题大概的学习线索。

在数与代数领域当中，还有一个探索活动，那就是二进制。这是通过十进制与二进制的类比，抽象出位值制这一所有进制共有的本质特征。它是在“满二进一”的规则当中，与我们十进制“满十进一”的规则相对比、相勾连，去感悟位值制的本质。核心要点：对比十进制与二进制数，理解“满二进一”的规则，将二进制数改写成十进制数，并且能够迁移到五进制、八进制等，最终概括发现它们的共同特征，本质特征都是位值制。

教材编排的探究链：首先提出问题，一个十进制数怎样用二进制数来表示呢？提出问题的这一部分，探究发现拿零到九（十进制当中的零到九）去与二进制的数对照，理解“满二进一”这样的计数规则，认识二进制的计数单位1、10等等。然后再通过进制的转换，将二进制数转化成十进制数，最终拓展延伸到五进制、八进制。最后3个小卡通的话语，大家可以好好琢磨一下，尤其是最后一个小卡通的话语，提炼出了位值制的本质。

好，刚才4个单元和一个探索规律，构成了这一册数与代数领域的学习内容。

下面我们就来看看图形与几何的3个教学单元。这3个教学单元覆盖图形认识、运动变化、位置表达，核心是在操作体验与逻辑推理当中去建构空间观念。圆这个单元属于图形的认识与测量，关键的要点我们要把握度量的本质，那么在这个过程当中转化的策略用得比较充分，也能够感悟到极限的思想。比例尺这个单元属于图形的位置与运动，它的核心要点其实就是在放大与缩小这样的任务驱动下，去理解认识相似图形的相似变换，然后认识比例尺，发展空间观念。确定位置，属于图形的位置与运动，在这里是通过数对以及用方向和距离这两种方式来表达平面上的点的位置，核心是坐标思想。

好，现在我们一个单元一个单元地来看。

圆这个单元，主要是通过推理、转化、测量等核心路径，让学生在度量与操作当中认识图形的特征，探索计算公式，感悟数学思想。教材编排的学习链：首先认识特征，画、剪、折、比去理解圆的特征，“一中同长”。这里不给圆下定义，而是让孩子们在操作感知当中去领悟它的特征。那么由此再通过例二去认识扇形，其实在扇形的认识当中，也进一步感受它的圆周、弧线以及圆心、半径、圆心角等。认识圆的周长，核心就是通过度量、推理、绕、滚等操作，化曲为直，逐步逼近对圆周率的认识，并且进一步得到圆的周长的计算公式。圆的面积，通过数学推理、度量、剪拼等操作，化圆为方，进而得到圆的面积计算公式。在这个单元当中，拓展应用体现在两个维度：一个是在认识圆的特征后，有这样一些创作美丽图案的环节；那么在计算圆的面积以后，还有圆环与组合图形面积计算的拓展。表达主要就是图案，圆的创作图案这种创作是感受圆的美的很重要的素材，这里面也蕴藏着大量中国传统文化元素，比如太极图，这里面有很多可以想象表达的空间。

比例尺这个单元，聚焦放大与缩小，通过处理照片这样的真实需求，让学生在操作当中去感悟相似变换，理解比例尺的意义。教材编排的学习链：首先是观察现象，这里的照片处理照片，哪幅照片的形状没有发生改变，得到长宽比相等，通过比用数的方式进行研究，最后得到对于形的相似变换的特征的表达。好，知道对应边按比缩放，形状相同大小不同；然后例二是一个操作，按比作图，在方格纸上把梯形放大，按2:1把梯形放大，这是通过边长乘比得到新长。建立模型是比例尺，建立比例尺这个模型：图上距离比实际距离等于比例尺，这是例三的学习任务；然后例四是一个比例尺的应用，在这里面有测算。

好，第3个图形与几何领域的单元内容，确定位置。是以确定座位和浮雷位置这几个真实情境，建构数对模型和极坐标模型。第几列、第几行这种数对的表示，建立的模型重点是在方格图上去定位，核心是原点，然后用列与行确定数对来表示位置。第2个就是用方向和距离来描述平面上点的位置，由观测点，以角度、方向、距离来表达它的方向。例题三是根据方向、距离以及比例尺，去确定图中的位置，以及计算实际距离等。那么在这个单元当中，两种表达的方法，它们核心的共同点都是要有参照点，都要有两个维度的独立的数据，去确定平面上的一个点的位置。

好，第3个板块，综合与实践领域有3个跨学科的主题活动，强调让学生自主调查、分析、抽象、决策、体悟。分别是：①生活中的分段计费，强调调查以后，把分段计费的规则转化成数学模型，抽象成数学模型、计算模型，并且根据调查的数据确定分段的标准做出决策，指向的是数据意识和社会责任。②神奇的黄金比，是通过观察、验证、创作，更核心地指向审美意识、创新意识。③体育中的数学，是在体育领域当中去提出数学问题进行研究、建模，并且对自己的研究过程做出评价，互相之间做出评价，指向学生的模型意识，以及在提出问题、设计方案以及研究过程最后去表达。那么这是以小组合作的方式去完成，在这里比较突出地可以体现协作精神。

那下面我们一个个来看。生活中的分段计费主要有三块：一个是实际调查了解规则，第2个是交流信息丰富认识，第3个层次是深入思考灵活应用。是在停车费、水电费等真实的计费规则当中，经历完整的数据驱动决策的建模过程，体悟数学的社会价值。探究路径：首先是由出租车计费这样的现实情境驱动提出问题，小组合作首先要做的是确定他们的调查方案，所以这里有一张表格是他们要去设计调查方案。调查方案设计以后，对调查方案进行组际之间的评价，做出迭代优化。然后依据各组的调查方案去收集信息，再交流各组收集的信息，进行对比，最终发现抽象出分段计费的一个重要数学模型——分段，然后每一步分步计算，最后累加，算出总金额。好，那么再进一步，在这个掌握的基础上又开始深入进行，就是对于各家家庭用水情况的收集，再基于全班同学每户家庭6个月用水情况的数据收集，制定分段的标准。依据收集的数据，我们的水费怎样分段去设计比较合适呢？所以落到协商设计，最终再去反思评价，提出改进建议，拓展延伸。那么这样的分段计费，显然大家感受到了，并不是能算出不同情境下分段计费的结果就结束了，而只是中间的建构数学模型的一环，更重要的还有它回到社会，感悟社会责任，以及社会当中规则确定背后的关乎公平、关乎合理等价值的体悟。

好，神奇的黄金比。这一个综合实践有两个小主题驱动：一个是什么是黄金比，第2个是黄金比的应用。由斐波那契数列——树的生长规律呈现的斐波那契数列的相邻比值切入，发现0.618这一常数，并且在自然和艺术当中去体悟数学之美。它的探究路径：从引入时这些构图、艺术作品的赏析，然后聚焦树木生长规律，依据每年的数据呈现斐波那契数列，发现相邻项的比值趋近0.618。在掌握了这个规律以后，再去从大自然、我们人类生活各个领域当中感受它的应用，尤其大自然中的应用——枫叶、向日葵等，还有我们人类生活当中的建筑，很多建筑，包括我们熟悉的五角星等等，其中都有黄金比的应用。最后落到创作反思，创作的部分通过黄金长方形，就是长宽比接近黄金比的长方形的绘制，然后再延伸到课后去运用黄金比创作美术作品，最终反思评价。所以这两个主题大概指向：一个是探究发现黄金比，然后去感悟黄金比的美和价值。

好，第3个综合实践——体育中的数学。主要是两个大环节：一个是了解信息、研究问题，然后交流展示、深入思考。从熟悉的体育情境当中提出可研究的数学问题，注意是“可研究的数学问题”，体会数学在规则制定、赛事组织与成绩评价等当中的作用。呈现的是北京冬奥会，提出了研究的主题：在体育中有哪些数学问题？那么了解信息以及选定问题，制定研究计划。在这里面通过小卡通以及学生围坐讨论呈现的对话框信息，其实就是给我们做出了提示——在体育当中，我们可能在哪方面有数学视角的问题的提出和研究。这里面并不是说所有的问题都要让孩子们去解决，不是这样的，只是做了一个提示。所以各个小组选定怎样的问题去进行研究，重点不在于有哪些类别，而在于研究计划的讨论——它确定的问题是不是数学问题，采用的研究方法跟它是否相匹配，通过研究方法收集得出的数据是不是能够合理地得出相应的结论，重点在这儿。所以在进行研究的计划制定讨论当中，我们可能就要前置性地把这些指向引导到位。那么在各组合作确定计划、收集信息进行研究、得出结论以后，有一个交流展示、评价、质疑的环节。在这里教材呈现了三种：一种是根据赛制算，按照比赛规则，冠军要赛多少场，看赛制有淘汰赛、循环赛，那怎么转化成数学问题？这里呈现的是一个例子，冠军要赛多少场是一个数学问题，当然还可以提出什么样的数学问题，那肯定是跟我们的数、计算有关的，比如一共要比多少场等等。好，这里面呈现的一个例子就是篮球场的划分，三分线的区域面积有多大？提出了计算球场相应区域面积的问题。聚焦这个问题，呈现的是小组收集了哪些信息，进行了怎样的测算、测量和计算，最终得出了怎样的结论。那么第3个例子是关于球员表现的，根据得球、赛事赛制、球员表现等。所以大家要注意，刚才所提醒的这呈现的3个是提供参考，我们可以从这些维度去引导孩子提出问题进行研究。这也是我们老师需要提前去思考的，在不同的领域当中，我们可以提出哪些数学问题。好，最终反思评价，回顾过程，总结展望。

好，刚才大致梳理了教材的7个单元、一个探索规律和3个综合实践活动的学习线索。那么接下来就从6个方面跟大家分享这一册教材比较突出的编排特点。

第一个，立足整体，彰显数与运算一致性。以计数单位及其个数为核心，统整整数、分数、小数的运算意义与运算。可以说不仅是第三单元，它贯穿在全册数与代数领域的前几个单元多个教学细节当中。那么现在我们来看看一致性思想的体现。首先在意义层面，整数、分数、小数都是计数单位的累加的表达，192这样的表达，然后再有分数、小数。那么在这样不同的数都是计数单位累加表达以后，还有与小数、分数基本性质的关联——你还能联系计数单位及其个数的变化说明小数的性质吗？前面是分数的，以及与数的大小比较方法进行关联。所以你看，分数、小数的基本性质，数的大小比较等等，最终都是紧扣数——不管整数、分数、小数，都是计数单位及其个数的表达。

在运算层面，首先我们来看看加减法，加减法本质是相同计数单位的个数相加减，涉及的是乘法分配律的应用。比如说两个整数相加，首先每一个数都是各自计数单位及其个数的累加，再去运用乘法分配律，合并相同的计数单位。小数也是如此。所以加减的一致性体现在相同单位的累加上。那么乘除层面上，表达的是计数单位相乘除以及个数相乘除，突出体现的是乘法的结合律。所以在这里我们看到30乘500，一步步怎么以计数单位及其个数相乘——单位与单位相乘，个数与个数相乘，最终相乘。分数小数也是如此。那么在除法当中，首先从除法是乘法的逆运算，所以计算除法的时候，商的计数单位和被除数与除数的计数单位之间是什么关系呢？就是计数单位与计数单位相除，个数与个数相除以后再相乘。所以1500除以30是100乘15，除以10乘3，最终是100除以10，计数单位除以计数单位，个数15除以3，然后它们的商再相乘，所以这是乘法结合律的应用。

好，还有一个是乘法和除法的一致性的另一方面，就是除法转化为乘法。通过前面的具体情境中的例子，再通过其他运算的例举，最终以字母表达的数量关系式去推理推导出来：a除以b等于c（b不等于零）。首先依据乘除法的关系，a等于c乘b，再依据等式的基本性质，等号两边同时乘以b分之一，所以得到a乘b分之一等于c乘b乘b分之一，然后得到a乘b分之一等于c。因为前面a除以b等于c，同时a乘b分之一等于c，所以a除以b等于a乘b分之一，除以一个数等于乘这个数的倒数，这样去打通乘除之间的一致性。像这样的体现，刚才都是在第三单元“数与运算的再认识”当中，但其实在前面的单元——小数的乘除法单元也是特别突出体现的。你看强调计数单位：0.6乘0.4，转化成分数，运用分数的乘法，得到个数与个数相乘，计数单位与计数单位相乘，借助面积的模型进一步去理解。这里的0.6是6个多少，0.4是4个多少，得到的0.24是24个多少。包括在拓展的层面上，关于二进制等等，不同的进制都是强调共同的位值制的本质——这句话：“无论是几进制数，都要表示出计数单位和计数单位的个数”，核心都是计数单位以及计数单位的个数，所以这是它们共同的本质。所以这一册在数与代数的运算当中，一致性思想的体现是非常突出的，对于老师们来说也是需要有一个新认识，以及新的教学表达的重点维度。

第2个突出的特点，聚焦生活，凸显数学知识的应用性。所有的数学学习都根植于真实有意义的问题情境当中，引导学生经历完整的数学建模的过程。完整的数学建模过程，首先比如说从现实问题当中去识别出数学问题、提出数学问题，针对这个数学问题进行简化和假设，抽象出数学结构，运用数学工具去求解，并且将结果返回现实进行解释和验证。我们来看一看，比例尺这个单元首先拍摄照片的处理，哪些是图二和图四，哪些是图一变化得到的，与图一相比没有改变的啊，你是怎么想的，哪幅图形状没改变，是怎么想的？你看就是从这样的现象去刻画特征。那么怎么去刻画特征呢？通过我们对于长与宽或者长比长、宽比宽等，去构建出相似变换的辨别模型，用数之间的关系去构建出一个辨别模型。根据这样的辨别模型，我们知道了相似变换就是放大与缩小以后，图形的长宽比是不变的。那么我们再根据这样的比，将它转化为倍数去进行绘制，画出放大或缩小后的图形，把这个比变成可操作的模型。接下来比例尺当中，通过这样的一种表达，变成可计算、可操作的数学表达，确定、认识比例尺。

再比如说确定位置这个单元，用数对表示小军的座位和确定浮雷的位置。我们看到它们的现实问题，共通的都是：如何唯一准确地描述出一个点的位置？你的表达方式必须是能够唯一、准确地表达的。那我们就有了两款不同的数学工具——数对，以及方向与距离。好，并且把这些工具去进行应用。

好，第3个教材的突出特征，表现在问题驱动，体现探究活动的主体性上面。整册教材特别突出以任务问题链引导，以及通过结构化的活动框架，确保学生始终是建构与问题解决的主动参与者。那么在我们这个教材当中，昨天也提到了“师生在场感”，那么进一步分这两类主体的角色定位：学生是知识的建构与问题解决的主动参与者，而教师是学习过程的组织者以及思维发展的促进者。教材突出了三大设计手段。第一个，以任务驱动真实问题去引发学生的自主选择，这个在第二单元有。现实问题就是：剩下的钱够购买一袋大米吗？够购买一袋面粉吗？学生可以自主选择估算的策略，并且基于问题的需求策略性地做出决策。那么这里面他的估算上界、下界，在我们估购不购买一袋大米的时候，我们如何去看？其实涉及到了一个数的大小，与估大了和估小了以后得出的数值之间的比较。你本身已经估大了，剩下来的钱还比要购买的物品的钱要多的话，那肯定是够的，对不对？也就是说你已经把这个要用的钱估大了。那么估小了，也就是说我本身已经往小里估了，实际上我剩下来的并没有那么多钱，但是我现在再去比较的话，依然是不够的，那显然肯定就是不够的。所以它到底用估大了还是估小了的策略，这里面是基于数的大小的比较，究竟是跟上界比还是跟下界比，就涉及到孩子自主选择估算策略的过程当中，始终是基于现实的数据以及问题的需求去做出选择。那么第2个突出的特点就是问题链，通过层层追问去推进发现规律。比如说在第一单元小数乘法当中，4乘0.9这样的例一，我们注意到卡通里有一连串的追问。在这个例题下面是：“为什么4乘0.9的积是一位小数？”接下来问的是：“0.6乘0.4，为什么0.6乘0.4的积是两位小数？”所以学生在聚焦核心问题——为什么积是一位小数？为什么积是两位小数？——说理的过程当中，能够明晰理解算理，发现规律，掌握算法。所以这一切，你看为什么教材不是以告知的方式，而是以问题的方式？就是在提示我们，这是要驱动孩子自主去思考，然后在交流辨析当中明晰的。

再比如说第三单元“数与运算的再认识”这个单元，我们看，在整数呈现了以后，说一说算式表示的意思；接着就是分数小数也可以用上面的方法表示吗？选择一个写一写；然后比较分数、小数、整数，在表示方法上有什么相同的地方；你还能联系计数单位及其个数的变化说明小数的性质吗？在分数的性质呈现以后，再进一步比较大小，不同的数进行大小比较以后，最终去进行整体的比较——整数、分数、小数的比较大小方法有什么联系？勾连其中的相同之处。

那么在运算当中，我们看加法的运算：整数、小数、分数的加法分别是怎样算的？计算方法有什么相同的地方？上面的3个不同的数进行加法计算的例子，由这个归纳出整数、小数、分数计算方法相同的地方之后，再推进减法——减法是加法的逆运算，计算减法时，差的计数单位与被减数、减数的计数单位有什么关系？计数单位的个数呢？

到了乘法，每道乘法算式，两个乘数与积的计数单位各是多少？积的计数单位与两个乘数的计数单位有什么关系？计数单位的个数呢？整数、分数、小数乘法的计算方法相同之处；

除法是乘法的逆运算，计算除法的时候，商的计数单位与被除数、除数的计数单位有什么关系？计数单位的个数呢？像这样算出的商对吗？检验一下。那你能用这样的方法写出其他的除法的计算过程吗？除法计算方法与乘法有什么相同的地方？大家注意到，我把这么多圈出来读出来，其实就是希望能让大家感受到这一串的问题链始终抛向学生，是驱动学生去自主发现其中的共通之处、发现其中的关键。所以这个是核心，这也是教材纸面上呈现方式想要特别突出表达的。

再比如说第四单元，想要特别突出体现的真实任务，就是李叔叔这个长方形的名片。大家注意到任务：可以怎样说明这3个长方形形状的特点？这是一个开放性的问题，对吧？开放性的问题，就是基于孩子们多维的、基于自己已有经验的表达。但是也充分考虑到孩子们的零散表达，也许可能是不好聚焦的。所以接下来给了一个方法的引导——当我们比较零散或者无法说明它们特点的时候，写出3个长方形长与宽的比，再用每个比的前项除以后项求出商。所以开放性的问题，在方法的引导之下，最终依然是促进学生自主去发现。

我们再来看看这道题，这是比和比例单元当中的制作青团皮：“怎么理解糯米粉与鼠曲草浆质量的比是3:2？”是不是一个比较开放的，但是又是极其聚焦的，指向了关键要素。你准备怎样解决这个问题？所以都是通过这样的一些问题聚焦关键，引导学生理解关键，再进行独立的尝试解决问题。那么学生解决的问题必然有它多样化的维度，所以学生呈现出多样化的解决问题的方法和过程，那也是充分体现出对于学生主体性的尊重。所以在教材这下面呈现出的两个小卡通代表学生——先做什么再做什么，不同角度的理解，其实就是提示我们老师们，在课堂进行实际教学的时候，要充分允许学生有不同维度的思路和表达。

好，第3个，教材特别突出以结构化的框架去促进、支持学生的探究。在圆这个单元，我们认圆，学生是自己画、剪、折、比，对吧？昨天充分举了在认识圆当中这样的例子，学生就是在自主操作、直观感知、动手验证当中去发现圆的特征。

再比如圆的周长，是以度量——以半径这个单位去度量，然后去感知。首先是猜想圆的周长与什么有关，你还能想到什么？猜想与半径或直径有关。那究竟有怎样的关系呢？联系已有的度量经验，抓住半径这样的单位来进行测量，发现是半径的6倍多一些，直径的3倍多一些。然后再通过化曲为直去测量，通过不同测量数据的收集去发现圆周率。所以学生整个经历的是：首先自己猜想，猜想以后用尺规作图去度量，用化曲为直的方法去测量，通过数据的收集、记录、观察、比较、计算比值，进而去发现圆周率，得出周长的计算公式。所以大家可以看到，这样的驱动学生进行探究的结构化路径是非常清晰的。

再比如说圆的面积，这里面依然是猜想——想一想圆的面积与什么有关？联系已有的多边形面积计算的经验，一定是跟某些长度有关；联系画圆的过程当中大大小小的圆，也一定能进一步驱动学生感觉到它与半径、直径这样的长度是有关系的。那么有怎样的关系呢？又联系已有的面积单位去测量的经验，所以找到的是一个以半径为边长的面积单位——r的平方为面积单位，这样去推算出在两倍与4个面积单位之间。好，那么再进一步研究，可以细分面积单位，再数一数格子，这都是已有的经验。那么在这样的过程当中，再联系已有的求面积计算公式，还有就是把新图形转化成已认识的图形，所以圆可以转化成什么样的图形呢？在化圆为方的过程当中，进一步去推算，也发展极限的思想。所以我们看到，在这样的结构化的过程当中，教师要做的事情就是提供相匹配的材料，并且始终组织学生聚焦关键的焦点问题进行讨论探究，并且在自主探究交流的过程当中，聚焦焦点话题去达成共识、提炼共识。所以这就是老师要做的事情。它真的在改变我们已经形成习惯的那种单向传输的教的方式，要变成一个组织者、引领者。所以，引导学生聚焦此时此地这个课堂当中出现的认知冲突、汇聚的信息，然后聚焦以后引导全体学生去深入思考，这个对于我们老师来说，对学科教学、学科实践的专业素养的挑战，应该说提出了一个新的命题。

再一个，这册教材当中比较突出的特征：强化推理，发展数学思维的严谨性。引导学生从感性的经验走向理性的思辨，培养演绎推理和符号化的能力。我们看看一些典型的推理链条：在圆的周长与面积的几何推理过程当中，无论是以半径去度量，还是以r的平方为面积单位去度量，都会强调整个推理过程。那么代数推理，在前面所介绍的小数乘除法——尤其是小数除法，把小数除法转化成分数除法，进一步转化成整数除法，这样的转化推理过程，以及把除法转化为乘法的等式推理过程，这样的一些推理，其实都是指向孩子的数学核心素养。

好，第5个方面，评价。在我们的教材当中，特别突出的是几个维度的评价。一个是评价反思的专栏，专项栏目，把结构化的练习体系，是把评价深度融入学习的全过程。我们看到四类评价载体：第一个，评价与反思栏目，不管是单元教学当中评价与反思，最终呈现的学习目标，根据学习目标自己评、小组评，每一个单元下面都有——收获体会、新认识、我想提的问题、我想进一步研究、我发现的问题等等。那么在综合实践领域，反思与评价对各小组的研究过程和成果进行评价，都有相应的量规，也有不同维度的评价。所以多维的评价通过“评价与反思”栏目呈现出来。完全可以驱动学生成为单元结束后一个新的认知探索的起点。

好，结构化的练习体系。首先在每道例题——基本上在每道例题后面，都有这样的一些“练一练”、“试一试”，对吧？那么这些“练一练”都体现出，在课堂教学过程当中，例题刚刚讨论研究完，作为一个及时反馈的环节呈现，及时反馈，这是非常重要的。我记得在迪昂那本《脑与数学》当中，他作为神经科学的研究专家，其中一些研究数据对我们的数学教学有很大帮助。其中有一个观点“在学完以后不当时进行练习反馈，那是一件非常危险的事情”。为什么？你不通过学习认知以后第一时间通过练习反馈，确定孩子的掌握是不是正确的，进行诊断并矫正，你不及时做这个事情，危险性在哪里？危险的是错误的认知在他的大脑中停留的时间越长，你越难把它消除，对吧？所以在40分钟的课堂，虽然现在我们有很多开放型、挑战型、自主探究的活动和任务，但是我们所有落到认知维度的学习目标的达成的时候，当堂的练习反馈依然是非常重要的。所以我也建议各位，要充分把教材当中“练一练”的及时反馈功能做好。

那么，在六年级的教材当中，跟前面的教材一样，每个单元小节都会有一些练习。但是不一样的是，大家会注意到，这些练习之间会有一些虚线，其实就是匹配了前面的学习内容。也就是说，你在当堂课堂作业、课后作业进行练习的时候，你不仅仅是做“练一练”，你也可以及时从“练习几”当中去调取。比如说这里面虚线上面的就是学了圆的周长，那你就可以把这三道题拿来练一练。

当然还有综合性的练习。所以在我们“练习几”当中，包括了基础练习、针对练习、综合应用等不同维度。对于这样一些具有鲜明分层设计指向的“练习几”，我们需要好好把握它的分层维度和指向，促进学生能力的进阶。所以在结构化的练习体系当中，作为认知维度最主要的载体，我们还是要注意把它的评价功能发挥好。

好，那么还有就是，虽然少，但是已经呈现出来的反思性问题设计。比如说在确定位置，最终在期末复习的时候，就有这样的追问：“用数对确定位置和用方向、距离确定位置有什么相同之处？”也就是说，在前面单元学习的时候，我们可能没有来得及对它进行打通，但是在期末复习的时候，它们所体现的坐标思想，在不同的数对表示以及方向距离表示的确定位置的方法当中，内在的核心、相同之处，我们是要进行勾连的。所以这种反思性的问题，促进孩子的整体认知建构的，我们要用好，把握共性特点，实现结构化的认知，指向学生的抽象能力和系统思维。

好，第4个维度，在综合性的任务评价当中。其实在我们很多带有学生自主探究的任务评价当中，对于我们老师们来说，很多时候我们说“教学评一致性”，老师们都觉得好像没有任何理解上的障碍。但是我们在教学实施的时候，我们很少会顾及怎么把评价发挥作用。在我们的教学视频切片分析当中，我们也会发现一个相对比较一致的现象：越是年轻的老师，在课堂教学扑棱扑棱往前走，很少会去找到评价的维度，也很少会发挥生生评价等多维评价的机会，比较单线地都是朝着认知目标按照教学设计往前走。那其实这个里面就充分暴露出什么？就是我们老师对于评价这件事情，在重要性和必要性上的认知其实是有差异的。那么第2个，在评价的驱动、诊断功能上面，我们比较多地关注诊断的功能，比如说刚才说的第二块，比较多的是认知的诊断功能。但是在这种驱动探究作为支架的功能，有的时候我们重视是不足的。所以下面就以“生活中的分段计费”这个综合实践活动为例，我们来看看我们可以怎么去做评价，我们怎么去转化。在方案的设计阶段，我们实际调查了解规则，确定小组设计调查方案，收集记录数据。显然这个时候如果我只是撒出去，是没有办法很好地引导孩子们的小组活动的。那么我们在进行小组方案设计开始的时候，可能就要有这些维度的考量：比如他能不能够明确调查的对象、方法和分工。我们究竟调查的是停车场收费还是其他，我确定的问题究竟是什么？这个我们是不是每一个小组在进行方案设计的时候就能充分考虑到？

那么在我们方案的数据收集与分析阶段，能不能结构化地去呈现他的计费规则？我们来看一下，计费规则对不对？他这么去调查记录，那能不能结构化地呈现呢？他的计费规则是原样照抄停车场的收费规则，还是有了相对更加数学化、结构化的表达？这其实是不一样的，一个只是信息的收集，但有了进一步的结构化表达，那就是信息的数学化加工。所以在我们进行讨论的时候，他能不能很好地呈现计费规则，理解分段、分步计算、累加求和的数学模型，并且在这个过程当中有这样的意识——为什么要这样子去分段呢？为什么是这样的分段计费规则呢？好，那么按照这样的指向，我们评价的量规，大家请注意，我这里不是呈现的评价量规，评价量规是在相应指向之下，我们有一星、二星、三星或者一星、三星、五星等不同级别的描述。表现性评价对于所呈现的描述，比如能不能很好地呈现计费的规则，准确地表达、呈现出信息，这是一个基础款的要求；第2个，用数学的方式能够结构化、简洁地表达出计费规则，是不是有了进阶的要求；那么是不是能够把关键要素越简明、越完整地呈现出来，那么我们对于它的星级的评价标准就越高。所以我怎么去把它转化成我的评价量规，在这里面是非常考量老师们的，但是我觉得也是非常重要的。

好，那么在收集每家6个月、平均每个月的用水量，在全班汇总，然后再以统计的数据作为依据，去合理地确定水费的分段标准。那么在这里面，你把它作为一个指向的话，我评价的量规，我是不是能够收集真实的、准确的6个月的家庭用水量？你是怎么收集的？你是以什么作为依据，说明我收集的这些数据是正确的、准确的、真实的？这作为一个维度。那么收集出来的数据，算出平均每个月的用水量，这是一个维度。请注意，这个卡通说：“如果用一个数表示你家每个月的用水量，你会选择哪个数？”这个问题更重要。用一个数来表达，你是用平均数还是用众数，还是用中位数？这是不是跟你家6个月的用水情况比较稳定还是波动比较大有关？波动比较大的背后原因是什么？你选择哪一个数表达你家这6个月每个月的平均用水量，选择哪个数表达这个用水量？平均每个月的用水量，那你的理由是不是合理且清晰，且大家都认同，对吧？那么这个我们是不是如果把它作为一个评价的导向维度的话，那么你的量规设计，在真实准确确定一个数作为每个月用水量的标准，并且理据充分且合理，这样的话你就可以转化成你的评价依据。那么最终在合理确定分段标准，每个小组依据全班的情况，为什么确定这样的分段标准？那么一旦分段，大家都知道都有一个临界值，这时候又会出现一个情况，比如正好是临界值上的和临界值下的，那么这时候它的费用差异就会比较大。那这是不是又可以成为我们进一步讨论研究的话题？那是不是可以说明我的分段标准不合理呢？我的分段标准是可优化的呢？如果不是每一个分段标准都一定有临界值，那我如何确定分段标准？依据什么？依据整体数据的分布情况来选择。那我怎么去确定呢？我是属于保民生、兜底的导向，那我应该兜到哪里作为第一段？那我是想体现引导节约资源，那我在哪一级上面收费标准会特别高，能体现因为你用的多、浪费明显，那就带有相对惩罚性的标准更高。这里面是不是有着大量的孩子的社会生活的经验？但是所有理据的出发点都是从数据出发的。

好，最后一个维度，融通古今，彰显数学文化的教育性。我想大家翻到我们的教材，就会看到大量的古典典籍，无论是在主题图当中，还是在“你知道吗”当中，呈现得非常丰富，我觉得这个值得大家好好去看一看。也有当代科技素材的丰富体现。

那么第三块，教学建议。

首先肯定是抓核心概念，进行结构化教学。像我们数与代数，刚才讲了这么多，大家都知道位值制这个事情——所有运算都是对计数单位及其个数进行操作，所有数都是计数单位及其个数，这样的一种共性结构。所以在我们进行教学的时候，你看一开始虽然还没教到第三单元，在第一单元教学这一步，如何理解这一步是不是非常重要？2.4乘1.6的计算过程跟24乘16有什么关系？那么再进一步延展到，像这样的一些核心概念、关键概念、根部概念、底层逻辑，其实是非常重要的。在我们的图形当中，你看圆的特征认识，它与三角形、长方形有什么相同和不同之处？一个是线段围成的，有顶点的，一个是曲线围成的，其实它们的核心要素特征都要去找它的线以及相应的长度，以及长度之间的关系，对吧？好，那么这些核心要素之间的关系，都由旧有的经验迁移过来，但是在这里他要面对新的。所以我们这里给的画圆其实很好地体现了。

那么圆的周长和面积，再次强调，像这一块大家的理解，其实突出的就是度量的本质。圆用什么样的长度呢？跟半径、直径有关系，半径作为度量的单位去度量圆周，然后逐步去推算。

好，第2个，用好真实问题，经历完整的过程。我个人感觉到，面对我们的新教材以及我们这个时代对于人培养的核心功能，我们的教学设计这个维度，其实核心要做一个凝聚的工作。就是在我们的学习内容素材上，我们要凝聚出核心问题、关键问题。一节课就40分钟，你能凝聚的、驱动孩子自主思考探究的核心话题，具有一定的开放性，那它绝不可能超过3个。这是我个人的观点，如果多了以后，你绝不可能让他基于自己的已有经验慢慢生长。所以这对老师们在教学设计上提出了一个关键的任务——怎么去做聚焦、聚焦、再聚焦的事情。那么第2个对于老师们巨大的挑战，就是在教学组织与实施当中，我们的讲授法显然只能讲在关键处，它虽然依然是必要的，但它不能成为我们这一代课程标准所引导之下的学习的主要方式。孩子的自主学习、合作学习，就意味着我们的教学组织和实施要发生根本性的变化。对于所有老师最大的挑战，就是我自己是不是拥有一个对深层信息汇聚以后进行加工归类、整理、聚焦的及时反应的能力。这已经成为我们现在在教学过程当中，在学科实践当中最为突出的一个能力。那么我们老师组织孩子自主学习时，什么样的问题、任务驱动是比较好做的，但是组织小组开始讨论交流时，我们就容易散到形式了。怎么驱动小组进行不仅仅只是A说A、B说B的信息简单汇聚，而是A说了以后，B说的时候，他们有着对信息的各自加工和聚焦，这是不是我们需要去进行很好的小组内的合作学习、交流策略的支持？那么更麻烦的是到组织全班交流时，呈现出的多样化信息，我如何去引导全班同学聚焦、辨析、达成共识？一个最简单的现象，我们去看一个班级当中，如果一个小组说完，接下来问大家有什么想法，接下来孩子就说“我有补充”，那一般来说，这个班级的社会化学习水平还是1.0版本、初级阶段。为什么？当孩子们皆默认面对一个小朋友的发言，完了以后第一反应是“我同意还是不同意”、“我部分同意”、“还是对哪个信息有质疑”时，这个时候才说明他是真的在进行信息的加工，而不是“我有补充”之下的信息堆砌。这个是需要我们老师在课堂教学当中去进行一些交流技能的基本训练的。那么对老师进一步的挑战，就是当它呈现的这些资源，与我今天课堂教学的主要方向、主要任务之间，它是什么样的关系？我是迅速聚焦、放大、制造冲突，还是觉得这个暂时可以先搁置，先来聚焦别的？这对大家来说，我觉得这是一个漫长的工程。但是首先在我们的认识维度上，我们一定要达成一个基本共识：如果还是这样的一种讲授法，它是不可能让孩子真正经历自我建构的这样的过程的。

好，第3个，提供多元支架。

这些材料支架，像二进制的秘密，这些素材肯定是要的，还有长方形等等。还好，六上相对来说材料准备不是那么多，就圆里面有一些，这里面有一些。那么大量的可能是在探究过程当中的表格支架，刚才我们“生活中的分段计费”、“体育中的数学”的小组研究计划表格，探索圆周率的表格等等，收集记录信息数据，然后去观察比较。所以在高年级的数学学习当中，表格也是出镜率比较高的。

第3个问题链，其实刚才也说了不少，那是教材当中呈现的问题链。再举一个例子，比如说“哪杯蜂蜜水最甜”，那我们的教学场景当中，可能首先凭直觉哪杯水最甜，制造一些认知冲突，在认知冲突之下让学生开始有一种感觉去找它们的比、比值，自主尝试比较以后，有什么办法能一眼看出？比较的时候有什么注意的地方？不管原来前项后项是多少，比值相等说明什么？不同的比得出相同的比值给你什么启发？像这样比值都是1/4的比还有哪些？你是怎么知道的？等等。所以说这些问题链，一方面来自于教材，另一方面来自于教材主问题之下，我们基于班上学情、学习风格，还有进一步的追问驱动。但是在这里我觉得想要分享一个研究的结论，因为我和我的团队这几年在做创造性学习，也做了很多实证。有一个实证研究我觉得还是蛮有意思的，就是在我们的课堂切片研究当中——课堂对话的切片研究，“师-生-师-生”这样乒乓球式的问答，以及“师对生”点状的一个“生”的追问，这样一种表征的课堂，和“师与生、生与生之间”多维互动的对话课堂相比，前者的学习效能以及创造性学习效能是最低的。为什么呢？我们能够想象吗？老师持续追问一个学生，那为什么学习效能最低？作为被聚焦的一个人，他老是被不知道哪里来的乒乓球砸中，内心是很慌乱的，他不太能够真正基于自己的思考往前推进，同时其他大量观众的存在也会让参与的主体性卷入度不够高。所以在问题链的设计当中，我想要表达的就是，你千万别把这些问题只锁定为一个人的课堂表现的持续追问，它一定是基于不同的——你看这些也不是完全递进的，可能是基于这一类孩子，我可以提出怎样的问题；班上现在呈现出这些信息，我跟进的问题是什么？所以这对于老师们来说，也是设计里面需要特别关注的。

最后，衔接说明，想说一下。第一个，因为我们这一届秋季要进入的孩子，跟他们的学习原套教材之间需要补充学习的是分数除法。分数乘法在五下学过了，但是我们的小数乘除法是以分数乘除法为基础的，也就是说分数乘除法原来是在六下，现在是在五下。那么我们六年级这一届的孩子就错过了，所以我们在进行小数乘除法学习的时候，要补一下分数除法的学习。

这是原教材老教材上的4个例题，但实际上我们不需要这么多情境，只需要补上分数除法的计算。

好，第2个，尺规作图。昨天五年级的也说了，它是三年级的学习内容的经验，但是对于我们五年级还是六年级的新六年级的孩子来说，都没有这个经验。所以我们在学习圆的时候，要让孩子们借助半径去测量圆周，他没有前期的尺规作图经验，这个也是大家需要考虑我们是不是需要去补一补的。

加法的数量关系，刚才提到了，在我们三年级总量等于分量加分量，现在我们的混合运算以及解决实际问题，这个基本的数量关系可能需要稍微带一带，让孩子们在表述上理解。

那么第2个可选择进行的就是小数的乘法和除法。这一届学生即将升入六年级，已经在五上学过小数的乘除法，对吧？那么本学期第一单元“小数乘除法（二）”的内容，要根据学生的实际情况，我们可以灵活地去进行教学。当然因为它原来进入的编排逻辑不一样，这个前面已经说过，所以大家要考虑这部分内容怎么精讲、略讲，还是直接进入应用。