夜雨聆风高中物理必修第二册 · 公式大全（第七章）
范围：人教版高中物理必修第二册全四章（第五章~第八章）
内容：每个公式均包含公式内容、字母说明、推导过程、使用条件
特点：常用与不常用公式大部分都收录在册，适合新课公式理解，一轮复习查阅手册，考前冲刺巩固记忆。
第七章 万有引力与宇宙航行
7.1 万有引力定律
公式：
字母说明：
推导过程：
牛顿在开普勒行星运动定律的基础上，通过理论分析提出：自然界中任何两个物体之间都存在相互吸引的力，引力大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。即 。
引力常量 由卡文迪什通过扭秤实验首次测定。
使用条件：
适用于两个质点之间的万有引力 对于两个均匀球体， 为两球心之间的距离 当物体不能视为质点时，需用积分方法计算 万有引力是始终存在的力，与物体间是否有其他力无关 引力方向沿两质点连线方向
7.2 万有引力定律·引力常数测定（卡文迪什扭秤）
公式：
字母说明：
推导过程：
由万有引力定律 变形得到 。卡文迪什通过扭秤实验精确测量了已知质量物体间的微小引力，首次测定了 的值。
使用条件：
是普适常数，适用于任何两个有质量的物体 的值很小，说明日常物体间的万有引力非常微弱 卡文迪什实验被誉为"称量地球质量"的实验，因为测定 后可推算地球质量
7.3 地球表面重力近似等于万有引力
公式：
字母说明：
推导过程：
在地球表面附近，物体的重力近似等于地球对它的万有引力（忽略地球自转的影响）：
消去 得：
使用条件：
适用于地球表面附近（忽略地球自转） 此公式将重力加速度 与地球质量 和半径 联系起来 在不同星球表面， 的值不同： 黄金代换公式：（在不知道 和 时，可用 和 替代）
7.4 地球高空重力加速度
公式：
字母说明：
推导过程：
在距地表 高处，物体受地球的万有引力为：
消去 得：
由 7.3 知 ，代入：
使用条件：
适用于地球高空（忽略地球自转） 高度越大，重力加速度越小 当 时，（高空不显著变化） 当 接近或超过 时， 显著减小 此公式也适用于其他星球
7.5 卫星绕地球运行速度（第一宇宙速度）
公式：
字母说明：
推导过程：
卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：
消去 ：
使用条件：
卫星绕地球做匀速圆周运动（万有引力完全提供向心力） 是卫星到地心的距离，（ 为地球半径， 为卫星高度） 运行速度与卫星质量无关 轨道越高，速度越小（） 当 （近地轨道）时， 最大，即第一宇宙速度 km/s
7.6 卫星绕地球运行角速度
公式：
字母说明：
推导过程：
由万有引力提供向心力：
消去 ：
使用条件：
卫星绕地球做匀速圆周运动 轨道越高，角速度越小（） 角速度与卫星质量无关
7.7 卫星绕地球运行周期
公式：
字母说明：
推导过程：
由 和 ：
使用条件：
卫星绕地球做匀速圆周运动 轨道越高，周期越大（） 周期与卫星质量无关 当 h 时为地球同步卫星
7.8 卫星绕地球运行向心加速度
公式：
字母说明：
推导过程：
由万有引力提供向心力：
消去 ：
使用条件：
卫星绕地球做匀速圆周运动 卫星的向心加速度等于该处的引力加速度（即该处的"重力加速度"） 轨道越高，向心加速度越小（） 向心加速度与卫星质量无关
7.9 开普勒第三定律
公式：
字母说明：
推导过程：
开普勒通过分析第谷的行星观测数据发现：所有行星绕太阳运动轨道的半长轴的三次方与其周期的平方之比等于同一常数。即 。
这一定律可以通过万有引力定律推出（见 7.10）。
使用条件：
适用于绕同一中心天体运动的所有行星/卫星 对于绕太阳的行星： 相同（与太阳质量有关） 对于绕地球的卫星： 相同（与地球质量有关），但与行星的 不同 为轨道半长轴，对于圆轨道 即为轨道半径 对椭圆轨道也适用， 为半长轴
7.10 开普勒第三定律·与万有引力联系
公式：
字母说明：
推导过程：
由卫星运行周期公式 ，两边平方：
变形得：
这表明开普勒第三定律中的常数 ，与中心天体的质量 有关。
使用条件：
适用于卫星绕中心天体的圆周（或椭圆）运动 只与中心天体质量有关，与卫星质量无关 绕同一中心天体的所有卫星， 相同 可用于计算天体质量
7.11 地球同步卫星·轨道半径
公式：
字母说明：
推导过程：
同步卫星的周期与地球自转周期相同， s。由开普勒第三定律：
代入数据计算得 m km，即同步卫星距地心约 4.2 万 km，距地面约 km。
使用条件：
地球同步卫星（周期 h） 同步卫星必须在赤道上空 同步卫星的轨道半径是唯一确定的（所有同步卫星在同一轨道上） 同步卫星相对地面静止
7.12 地球同步卫星·运行速度
公式：
字母说明：
推导过程：
同步卫星做匀速圆周运动，一个周期内通过的路程为 ，因此：
代入 m， s：
使用条件：
地球同步卫星 同步卫星的速度小于第一宇宙速度（ km/s） 同步卫星的速度小于近地卫星的速度
7.13 第一宇宙速度
公式：
字母说明：
推导过程：
第一宇宙速度是卫星在地球表面附近（）绕地球做圆周运动的速度。由 7.5，当 时：
利用黄金代换 ：
代入 m/s²， m：
使用条件：
近地轨道卫星的运行速度 第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 第一宇宙速度也是卫星发射的最小发射速度 km/s
7.14 第二宇宙速度
公式：
字母说明：
推导过程：
第二宇宙速度是物体挣脱地球引力束缚、不再绕地球运行所需的最小地面发射速度。当物体的动能等于地球引力势能的绝对值时（逃逸条件），物体可以飞到无穷远：
使用条件：
第二宇宙速度是脱离地球引力束缚的最小发射速度 km/s 当发射速度 时，卫星绕地球做椭圆轨道运动 当 时，物体脱离地球引力（不再绕地球运行）
7.15 第三宇宙速度
公式：
字母说明：
推导过程：
第三宇宙速度是物体挣脱太阳引力束缚、飞出太阳系所需的最小地面发射速度。这个速度的推导需要考虑地球绕太阳的公转速度，计算较复杂，结果为 km/s。
使用条件：
第三宇宙速度是脱离太阳引力束缚的最小发射速度 km/s 当 时，物体可以飞出太阳系
7.16 卫星变轨·离心运动
公式：
字母说明：
推导过程：
卫星在某轨道半径 处，维持圆周运动所需的速度为 。
当 时，万有引力恰好提供向心力，做圆周运动 当 时，所需向心力 大于万有引力 ，卫星做离心运动，轨道半径增大
使用条件：
卫星变轨问题 当卫星在轨道上加速（速度增大）时，会做离心运动，轨道升高 离心运动过程中卫星做椭圆运动，远离地球 典型场景：卫星从低轨道变轨到高轨道
7.17 卫星变轨·向心运动
公式：
字母说明：
推导过程：
当卫星在某轨道半径 处的速度 时，万有引力大于所需向心力，卫星做向心运动，轨道半径减小。
使用条件：
卫星变轨问题 当卫星在轨道上减速（速度减小）时，做向心运动，轨道降低 典型场景：卫星从高轨道变轨到低轨道、卫星受大气阻力减速降低轨道 向心运动过程中卫星做椭圆运动，靠近地球
7.18 卫星变轨·速度与轨道半径关系
公式：
变轨过程总结：
字母说明：
推导过程：
由 ，轨道半径越大，圆周运动速度越小。
变轨过程中：
低轨道加速 → 离心运动 → 椭圆过渡轨道 → 远地点再次加速 → 进入高轨道 高轨道减速 → 向心运动 → 椭圆过渡轨道 → 近地点再次减速 → 进入低轨道
最终稳定在高轨道运行时，速度反而比低轨道小。但变轨过程中需要消耗能量（加速）。
使用条件：
卫星变轨问题 圆轨道半径越大，稳定运行速度越小 变轨过程中需要加速或减速 常考易错点：高轨道速度小，但从低轨道到高轨道需要加速
7.19 双星系统·引力等于向心力
公式：
字母说明：
推导过程：
双星系统中两颗星绕它们连线上的某点（系统质心）做圆周运动。两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力：
对星 1：
对星 2：
两星受到的万有引力大小相同，各自作为向心力。
使用条件：
双星系统（两颗天体绕共同质心运动） （两星间距等于各自轨道半径之和） 两星的角速度相同（），周期相同 两星始终在质心两侧的连线上，方向相反
7.20 双星系统·角速度关系
公式：
字母说明：
推导过程：
双星系统中，两星始终在质心两侧的连线上，保持相对位置不变。因此两星的角速度必须相同，周期也相同：，。
使用条件：
双星系统 两星角速度相同、周期相同 这是双星系统的基本特性
7.21 双星系统·轨道半径与质量关系
公式：
字母说明：
推导过程：
由 7.19，两星的万有引力相等且角速度相同：
消去 ：
即轨道半径与质量成反比：质量大的星体轨道半径小（离质心近），质量小的星体轨道半径大（离质心远）。
使用条件：
双星系统 轨道半径与质量成反比 质量越大，轨道半径越小
7.22 双星系统·运行周期
公式：
字母说明：
推导过程：
由 7.19：，且 ，。
由 得 。
代入万有引力等于向心力公式：
使用条件：
双星系统 周期与两星的总质量 和间距 有关 与单星系统的 对比，双星系统中用总质量 替代 ，用间距 替代
7.23 球体表面重力加速度·与质量半径关系
公式：
字母说明：
推导过程：
由 7.3 的推导，在星球表面 ，消去 得 。
对于两个不同星球：
使用条件：
适用于任何星球表面（忽略自转） 重力加速度与星球质量成正比，与半径平方成反比 可用于比较不同星球表面的重力加速度
7.24 天体质量与密度的测定
公式：
当卫星为近地卫星时（）：
字母说明：
推导过程：
由开普勒第三定律 ，可求中心天体质量：
天体的平均密度：
当卫星为近地卫星时，：
使用条件：
需已知卫星的轨道半径 和周期 测出 后，结合天体半径 可求密度 近地卫星条件下，密度公式简化为 ，只需知道周期 注意：这种方法只能测定中心天体的质量，不能测定卫星自身的质量
