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【高中数学】高考冲刺~虚设函数解决极值点偏移问题专题专练 !

发布时间：2026-09-14 18:49:46 最近访问：2026-09-14 18:50:33
【高中数学】高考冲刺~虚设函数解决极值点偏移问题专题专练 !

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张欢老师

（1）中国科学院心理学硕士，兰州大学数学本科，高考数学满分，专注于初高中数学高效学习及提分15年；
（2）北京一名教学15载的数学老师，新东方、学而思、高思优秀教师、北京一线金牌名师；
（3）时不时的分享初高中、中高考数学学习方法、解题技巧、学生时期心理建设方法等干货内容（往期文章请在此公众号内找）；
（4）热爱数学， 喜欢钻研探讨数学问题；和学生一起思考数学问题，解决问题是我最大的快乐。 

用数学锻炼思维，用数学开启智慧

张欢老师说
需要掌握的知识点都在这里了~
 学习数学，不能犯眼高手低的错误。只有亲自下场动笔才能发现不足，进而予以弥补。
高考数学卷的方向是不断在创新的，对数学思维有很高的要求。日常学习中多强化，多总结，高考成绩一定让你震惊。
所以，希望同学们能够尽最大努力做到， 养成一个良好的学习习惯，在三年的初中生活中，过的充实愉快！

虚设函数解决极值点偏移问题  

题目：若  有两个零点  、  ，求证：

法一（标准答案的思路原理版本）ALG不等式：
由 有两个零点  、 
即  ， 
即  ①
即  ②
②-①： 
左右同时除以  ：
令 
原不等式则写为 
那么 
原式得证。
可能大家看标准答案的思路会有两个疑问，第一个是为什么要用②-①？第二个是ALG不等式不能直接用，那么我们怎么写过程呢？
对于第一个问题，我的回答是——构造②-①可以配凑出ALG不等式所需要的  、  ，方便ALG不等式的放缩。
对于问题二，我的回答是将ALG不等式的证明过程写出来就得证了。
法二（标准答案的考试书写版本）：
由 有两个零点  、 （不妨设  ）
即  ， 
即  ①
即  ②
②-①： 
左右同时除以  ：
令 
那么 
令 
化简可得： 
令 
原不等式则写为 
那么 
原式得证。
看到这里，大家肯定会有个疑问，这个作者是不是标题党？说好的虚设函数构造法呢？别急，下面就是虚设函数构造法。
我们注意到，这道题很多条件是不必要的，因此我把这道题改编了一下，改得非常简洁暴力。
改编版题目：已知  ，且  有两个零点  、  ，求证 
显然，如果证明了这个，那么之前那道ALG不等式的题便迎刃而解。（当时考试我的直觉告诉我这个成立，导致我思路想偏了，采取了积分证明法，然而改卷老师没注意看我的方法，以至于我被扣6分，怨念很深）
解题方法：虚设函数构造法：
令 
不妨假设 
则 
则 
则 
由 
因此  ，  ，  单调递减
因此  ，  ，  单调递增
因此 
假设  ，则  ，则 
则  单调递增
由  ，  ， 
那么 
即 
即  （与题目条件  矛盾，舍去）
因此  不可能成立
又  必然存在
由排中律： 
得证。
因此这道题还有法三（虚设函数构造法）（内容就是把上面的内容抄一遍，我还是写下来吧）：
解题方法：虚设函数构造法：
显然  ，  ， 
令 
不妨假设 
则 
则 
则 
由 
因此  ，  ，  单调递减
因此  ，  ，  单调递增
因此 
假设  ，则  ，则 
则  单调递增
由  ，  ， 
那么 
即 
即  （与题目条件  矛盾，舍去）
因此  不可能成立
又  必然存在
由排中律： 
这个方法在解决极值点偏移时很重要，甚至可以称为bug级的招数，他甚至可以绕开函数本身，只截取其中少量的性质，就可以证明你的问题。
当然，这里附上个法四，就是我怨念极深的被扣6分的解法。（虽然后面仔细一想，想到了法三的解法，但考试时间太紧，虽然知道积分太麻烦老师肯定不会看，但第一反应的积分法写了太多写不下了，无法改了）
法四（冤魂不散积分法）：
显然，无论a、b取何值，  至多有两极值点。
若  仅有两零点  、  （不妨设  ），那么  、  之间必然存在且仅存在一个极值点  （  ）（无极值点和两极值点都将推出矛盾）
令  ， 
则  ， 
又 
因此 
因此  ， 
即  ， 
即  ， 
即  ， 
两式相加： 
又因为： 
因此 
①若  ，则  恒成立，因此
那么 
那么 
因此 
又  ，则  单调递减
又  ，则 
②若  ，又因为有且仅有两个零点，那么其中一个零点与极值点重合。
1°若左极值点与零点重合，则  是右极值点
此时  ， 
因此 单调递增
因此
则可以化简为：
因此 
又因为 单调递增
则 
2°若右极值点与零点重合，则  是左极值点
此时  ， 
因此 单调递减
因此
则可以化简为：
因此 
又因为 单调递减 
则 
综上所述： 
当然，冤魂不散只是开玩笑的，我也知道改卷老师不容易，我自己看我的过程都想打人，但事实上，法四才是从数形结合上最接近本质的解法（只不过内容超级长）。
最后来个问题，普通高中生就不用看了，应该做不来的，希望有走过路过的大佬看到了帮忙解决下这一道题（题目来源 
若有两不同零点、，求证：
本人ALG不等式，令  ，虚设函数都试过，甚至丧心病狂地尝试了  ，还是解不出来，如果有走过路过的大佬，请在留言处帮忙，顶级膜拜。
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