数学思维训练 小升初应用题 行程问题

某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？

第一阶段：理解题目

1.1 已知条件

1.2 未知量

• 家到火车站的距离 S（千米）
• 从家出发时距离火车开车的时间间隔（即"刚好准时到达"所需时间）t（小时）
• 目标速度 v（千米/小时）

1.3 基本关系

时间 = 距离 ÷ 速度准时到达所需时间 t = S / 速度准时

1.4 目标

求出目标速度 v 的值。

第二阶段：拟定方案

2.1 总体思路

利用"早到"和"迟到"的时间差，建立方程组求出路程 S 和"刚好准时"所需时间 t，再根据目标提前量求出所需速度。

2.2 具体步骤

2.3 关键转化

• 15 分钟 = 1/4     小时
• 10 分钟 = 1/6     小时

第三阶段：执行方案

步骤一：设未知数

设：

• 家到火车站的距离为 S（千米）
• 从家出发时，距离火车开车时间正好为 t（小时）
• 当速度为 v 时，行驶时间为 S/v

则：

• 若速度 30 千米/小时，则 S/30 比 t 少 1/4 小时
• 若速度 18 千米/小时，则 S/18 比 t 多 1/4 小时

步骤二：列第一个方程

速度 30 时，早到 1/4 小时：

S/30 = t - 1/4 ……（1）

步骤三：列第二个方程

速度 18 时，迟到 1/4 小时：

S/18 = t + 1/4 ……（2）

步骤四：联立求解 S 和 t

由（2）-（1）得：

S/18 - S/30 = (t + 1/4) - (t - 1/4)
S(1/18 - 1/30) = 1/2

计算括号内：

1/18 - 1/30 = (30 - 18)/(540) = 12/540 = 1/45

所以：

S × 1/45 = 1/2
S = 45/2 = 22.5（千米）

将 S = 45/2 代入（1）：

(45/2)/30 = t - 1/4
45/60 = t - 1/4
3/4 = t - 1/4
t = 3/4 + 1/4 = 1

求得：

• 距离 S = 45/2 千米
• 准时到达所需时间 t = 1 小时

步骤五：求目标速度

目标：提前 10 分钟 = 1/6 小时到达。

则允许的行驶时间为：

t - 1/6 = 1 - 1/6 = 5/6（小时）

所需速度：

v = S / (5/6) = (45/2) / (5/6) = (45/2) × (6/5) = (45 × 6)/(2 × 5) = 270/10 = 27（千米/小时）

结论：目标速度为 27 千米/小时。

第四阶段：回顾与检验

4.1 检验答案

将 S = 45/2，t = 1，v = 27 代入原条件：

检验条件一（速度 30千米/小时）：

• 行驶时间 = (45/2) ÷ 30 = 45/60 = 3/4（小时）
• 准时时间为 1 小时，早到 = 1 - 3/4 = 1/4（小时）= 15 分钟✅

检验条件二（速度 18千米/小时）：

• 行驶时间 = (45/2) ÷ 18 = 45/36 = 5/4（小时）
• 准时时间为 1 小时，迟到 = 5/4 - 1 = 1/4（小时）= 15 分钟✅

检验目标（速度 27千米/小时）：

• 行驶时间 = (45/2) ÷ 27 = 45/54 = 5/6（小时）
• 准时时间为 1 小时，提前 = 1 - 5/6 = 1/6（小时）= 10 分钟✅

4.2 解题方法反思

本题的核心技巧是：

• 设"准时到达所需时间" t 为中间变量，将两个已知速度条件转化为关于 S 和 t 的二元一次方程组。
• 利用两式相减巧妙地消去 t，先求出距离 S。
• 求得 t 后，目标速度 = 距离 ÷ 允许时间，直接计算。

4.3 常见易错点提醒

最终答案