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真正有意义的教学是观念性的教学——高中数学教学的思考与实践
真正有意义的教学是观念性的教学——高中数学教学的思考与实践【摘要】当下高中数学课堂不同程度地存在重技巧、轻观念，重结论、轻过程，重刷题、轻理解的倾向，学生学完一门课、做过万道题，留在记忆里的却往往是碎片化的公式与套路，而真正统领知识、影响一生的数学观念却依然缺失。本文提出真正有意义的教学是观念性的教学这一主张，界定了观念性教学的内涵与特征，分析了其何以有意义，并从提炼观念、过程展开、问题统领、结构显化、观念浸润五个维度探讨了落实策略；最后以圆锥曲线定义与函数观念两个案例，分别从单课与跨模块两种视角，展示观念性教学在高中课堂的落地样态。 【关键词】观念性教学；数学大观念；核心素养；有意义学习 教了多年数学，我常常追问自己：一堂课结束、一个模块学完、三年高中毕业，学生到底在数学中得到了什么？考试分数当然是一个答案，但分数褪去之后呢？当我们问学生"你还记得函数的单调性定义吗"，他或许能脱口而出。可当我们问 "为什么要研究单调性"、" 这个观念能帮你解决什么问题 " 时，许多学生便语塞了。前者是知识的记忆，后者是观念的沉淀。 这正是当前高中数学课堂的深层困境：重技巧、轻观念。为了应对考试，课堂被切割成一个个"题型"、" 套路 "，学生熟练掌握了" 判别式法 "、"设而不求"、" 端点效应 " 等招式，却很少追问这些招式背后的观念是什么？为什么这样想？还能用到哪里去？其结果，学生学得越多，越觉得数学是一堆互不相干的规则。做得越多，越觉得数学与自己无关。 两千多年前，孔子便提出举一反三。今天的核心素养导向也反复强调，要让学生获得带得走的素养而非搬不动的知识。我以为其共同的落脚点就在一个词上——观念。真正有意义的教学，是观念性的教学。 在数学教育研究中，"观念" 通常对应 "大观念"。美国学者查尔斯将其界定为 "对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体"。我国研究者进一步指出，大观念具有抽象性、概括性和迁移性，不仅连接具体知识，更能促进知识的迁移与应用。 就高中数学而言，所谓"数学观念"，是指那些统领学科、具有持久价值的核心思想，例如：函数观念（用运动变化的观点刻画变量间的依赖关系）、数形结合观念（数与形的相互转化与印证）、化归观念（把未知转化为已知、把复杂转化为简单）、模型观念（用数学的语言刻画现实世界）、随机观念（用概率的眼光理解不确定性），以及研究问题的一般方法观念（背景—概念—性质—结构—应用）。 观念性教学，是指以数学大观念的建构与生长为主线组织教学——知识的获得服务于观念的形成，技能的习得服从于观念的表达，问题的解决体现着观念的运用。它区别于知识点教学与技能训练式教学的根本之处在于：指向本质（不停留于 "是什么、怎么算"，而着力于 "为什么这样定义、本质是什么、与什么相关"）；注重过程（让学生经历观念发生发展的过程，而非只接受观念的结果）；强调迁移（以观念的普适性统领一类问题，使学生获得以简驭繁的力量）；观注主体（在建构数学观念的同时，涵养学生对数学的情感态度与正确认识）。需要强调的是，观念性教学并非不要知识技能，而是让知识技能长在观念上。 其一，知识易逝，观念长存。认知科学告诉我们，孤立的知识最容易遗忘，而有结构的观念最持久。学生可以忘记椭圆的焦半径公式，但只要保有了"定义是解题之源" 的观念，遇到陌生问题时他便知道该去哪里寻找方法。观念的获得，才是知识真正内化为素养的标志。 其二，观念是核心素养的内核。《普通高中数学课程标准》提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养。素养不是悬浮的口号，它的内核正是观念。数学抽象素养的根基是抽象观念，逻辑推理素养的根基是推理观念，直观想象素养的根基是数形结合观念…… 只有当这些观念在学生头脑中真正扎根，素养才不是被贴上的标签，而是内在的品质。 其三，观念性教学契合高考重本质、重通法的导向。近年高考数学命题持续强化对数学本质的理解、对通性通法的考查，弱化机械套路。以观念为纲的教学，正是应对这一导向最稳妥、最长效的方式——它培养的是以不变应万变的能力，而非背套路碰运气的侥幸。 背景与立意。"圆锥曲线定义的运用" 是解析几何复习中的经典一课。学生对椭圆、双曲线、抛物线的定义背得滚瓜烂熟，却从未真正把定义当作解题的武器。本节教学的立意，就是让学生经历一次观念的转变。从定义是可背的结论转变为定义是解题的源头与利器。 片段一：观念冲突，激活"定义意识"。 上课伊始，我给出判断题：已知 A（－2，0）、B（2，0），动点 M 满足 | MA|+|MB|=2，点 M 的轨迹是什么？学生脱口而出 "椭圆"，我追问：椭圆定义的条件是什么？ 学生才恍然 ——|MA|+|MB|=2＜|AB|=4，不满足 "大于焦距" 的条件，轨迹根本不存在！学生第一次真切感受到：定义中的每一个字都是 "条件"，都不可逾越。 这便是 "定义观念" 的种子。 片段二：观念运用，化归陌生问题。我接着给出"动圆过定圆圆心且与另一圆内切，求△ABC 面积最大值" 等问题。学生初看不知所措，我提示：题中“过圆心” 、“内切”这两句话，翻译成距离的语言是什么？ 学生豁然开朗——这不过就是到两定点距离之和为定值，正是椭圆的定义！陌生的题目，因为定义观念而变得熟悉。 片段三：观念生长，自主引申探究。探究环节，我请学生回到教材习题：点Q 是圆 C 上动点，A 是圆内一定点，AQ 的垂直平分线与 CQ 交于点 M，求点 M 的轨迹。学生很快利用 "垂直平分线上的点到两端点距离相等" 将其转化为椭圆定义。我顺势引申：若把点 A 移到圆外呢？ 学生类比猜想——轨迹会不会是双曲线？经验证果然如此。从内点到外点，从椭圆到双曲线，学生在一节课中亲历了观念的类比迁移。 反思与效果。这节课没有大量刷题，却给学生留下了比刷题更深刻的东西——"定义观念"。此后遇到相关问题，学生不再盲目套公式，而是自觉地问一句这能翻译成定义吗？学生课后写道，原来定义不只是用来背的，它才是解题的钥匙。 背景与立意。函数观念是贯穿高中数学的主线观念，但它不可能在一节课中形成。函数观念的教学应跨越必修、选择性必修多个模块，在三年间反复激活、逐层加深，让学生最终把"用函数眼光看问题" 内化为自觉的思维底色。 片段一：高一，埋下观念的种子。学习函数概念时，我刻意弱化对三要素的机械记忆，而让学生经历从真实情境抽象函数的过程：出租车计费、气温随时间的变化、物价的上涨…… 让学生真切体会到函数是刻画变量之间依赖关系的模型。此时，函数观念只是朦胧的直觉。 片段二：高二，在迁移中强化观念。学习数列时，我抛出一个大问题：数列究竟是数，还是函数？学生争论不休，最终在数列是定义在正整数集上的函数这一认识上达成共识。随后引导学生用研究函数的方法研究数列：数列的单调性、数列的最值、数列的图象，同一观念在新情境中再次被激活、被强化。 片段三：高三，让观念成为武器。复习恒成立问题时，学生常陷入这道题用哪种技巧的焦虑。我引导学生回到观念：恒成立问题，本质上是在问什么？学生意识到：对任意x，f (x)>a 恒成立，不过是 "a 小于 f (x) 的最小值"。一切恒成立问题，最终都化归为函数的最值问题。 从此，学生遇到这类题不再慌乱，而是先问 "这里的函数是谁？它的最值是什么？" 反思与效果。从高一的朦胧感知，到高二的迁移强化，再到高三的自觉运用，函数观念在三年间完成了一次真正的螺旋生长。学生或许会忘记某个具体的解题技巧，但用函数眼光看问题的观念，已成为他们面对陌生问题时的第一反应。这正是观念性教学最想留下的东西。 教育的意义，不在于教会学生多少具体的知识，而在于为他的精神世界留下多少可以生长的观念。案例一告诉我们，观念可以在一节课的"冲突—运用—生长" 中破土；案例二告诉我们，观念更需要在跨模块的 "感知—强化—自觉" 中长成。对于高中数学教学而言，观念性教学正是对这种意义的自觉追寻。它要求我们跳出 知识点本位与刷题本位的惯性，把教学的着力点从教会什么提升到留下什么观念的高度。诚然，观念的建构是慢功夫、细功夫，需要教师的专业眼光、耐心与智慧。但我始终相信：只有观念性的教学，才能让数学真正走进学生的生命，让学习真正发生，让教育真正有意义。 参考文献 [1] 中华人民共和国教育部。普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020. [2] 张丹，于国文。大观念的研究评介——以数学学科为例 [J]. 教育科学研究. [3] 查尔斯（Charles, R. I.）. 数学大观念（Big Ideas in Mathematics）[M]. [4] 弗赖登塔尔。作为教育任务的数学 [M]. 上海：上海教育出版社. [5] 普通高中教科书・数学（B版）[M]. 北京：人民教育出版社.