上海2024中考数学压轴真题解析和答案

这道上海2024年的中考真题，当年可是难倒一大片学生，普遍拿分率都很低，就是放到现在来考，还是有较高的难度系数，而且三问设置都是不简单，现在考试趋势就是压轴题一问基本是比较容易拿分的，二问会稍难一点，基础好一点也会能拿点分，只是第三问很难拿分。但这个题第一问拿分都有难度，后面考查的知识点更多更复杂。主要考查学生对于平行线分线段成比例以及相似的线段比例转换，对于角分线结合平行后形成的特殊角度的应用，直角三角形的射影定理，子母型相似和8字型相似的交互运用，双勾股定理等知识点都会应用到此题，具体题目如下：

第一问，看起来好像很简单，但实际上一点也不简单，因为是梯形，而且给到AE=1/3*AB，DE=1/3*CD的条件，我们感觉EF一定是平行BC的，但好像没有直接在梯形上有性质定理可以证明线段比例相同就平行的结论，所以我们就要通过辅助线把它变成能用对应线段成比例可以证明线段平行的图形：比如三角形和平行四边形。

因此依据上述思路，我们过点A做DC的平行线交BC 于点C'，因为AD∥BC，所以四边形AC'CD为平行四边形，则有AC'=DC，然后在AC'截取AF'=DF，连接EF'、F'F，因为AF'=DF且AF'∥DF，所以四边形AF'FD也为平行四边形，所以F'F∥AD∥BC，∠AF'F=∠AC'C。

另外，在△AEF'和△ABC'中，AE/AB=1/3，AF'/AC'=DF/DC=1/3，∠EAF'=∠BAC'，所以△AEF'∽△ABC'，因此∠AEF'=∠ABC'，∠AF'E=∠AC'B，所以有EF'∥BC'。

又因为，∠AC'B+∠AC'C=180°，则有∠AF'E+∠AF'F=180°。

所以，E、F'、F三点共线。

又因为，F'F∥BC，EF'∥BC'，所以，EF∥BC，命题得证。

第二问①小问，主要审清楚题干信息，因为AD=AE=1，△AED为等腰三角形，所以它的外接圆圆心一定在底边ED的中垂线上，然后和∠ABC的角平分线的交点即为圆心，重点是ED的中垂线也是△AED顶角的角平分线（等腰三角形三线合一），因此其实就是∠ABC和∠EAD的角平分线的交点，结合梯形的性质AD∥BC，所以∠ABC+∠EAD=180°，1/2（∠ABC+∠EAD）=90°，因此∠ABC和∠EAD的角平分线的相互垂直，依据上述思路，我们补全图形：

过点A作ED的垂线交ED于点F，作∠ABC的平分线交AF的延长线于点O，因此O点即为△AED的外接圆圆心，而且BO⊥AO，连接OE，则OA、OE皆为圆O的半径，过点O作OH⊥AB，垂足为H，因为OA=OE，所以EH=AH=1/2*AE=1/2，AB=3AE=3，在RT△AOB中，根据射影定理有：OA²=AH*AB=1/2*3=3/2，则OA=√6/2，所以△AED的外接圆半径即为√6/2。

第二问②小问，根据题干信息，∠CEM=∠CMD，观察发现这两个角在△CME和△CMN中，且有∠MCN=∠ECM，所以△CME∽△CMN，因此有CN/CM=CM/CE，CM²=CN*CE。

又有CD²=DM*DN，通过观察，我们发现在△DMC和△DCN中有：CD/MD=DN/CD，且有∠CDN=∠MDC，所以△DMC∽△DCN，因此∠DCN=∠CMD，所以∠DCN=∠CMD=∠CEM，则有EM∥CD，分别延长ME和DA相交于点G，因为有GD∥CM，GM∥CD，所以四边形GMCD为平行四边形，GD=CM，GM=CD。

又因为GD∥CM，所以△AGE∽△CME。且有AE/BE=1/2，

因此，AG/BM=AE/BE=GF/MF=1/2，所以ME=2GE，CD=GD=3GE，则有EM/CD=2GE/3GE=2/3。

又因为EM∥CD，所以△EMN∽△CDN。

则有EM/CD=EN/CN=MN/DN=2/3，设EN=2x，CN=3x，则CE=5x。因此，CM²=CN*CE=3x*5x=15x²，CM=√15x。

BM=BC-CM=4-√15x，又AG/BM=1/2，

AG=1/2*BM=(4-√15x)/2，因为GD=CM，且有GA+AD=CM，

(4-√15x)/2+1=√15x，解得x=2√15/15，EN=2x=4√15/15，

CN=3x=2√15/5，CE=5x=2√15/3，所以CM=√15x=2，则M为BC的中点，又因为AE=AD=1，AE=1/3*AB，所以AB=3，BE=2。

过点E作EH⊥BC，垂足为H，在RT△BEH和RT△CEH中，设BH=y，则CH=BC-BH=4-y，则有：

BE²-BH²=EH²=CE²-CH²，2²-y²=（2√15/3）²-（4-y）²。

解得y=5/3，即BH=5/3，HM=BM-BH=2-5/3=1/3。

EH²=BE²-BH²=4-（5/3）²=11/9。

在RT△EHM中由勾股定理可得：

EM²=EH²+HM²=11/9+1/9=4/3，EM=2√3/3。

又因为，EM/CD=2/3，所以2CD=3EM=2√3，

因此，CD=√3。

综上所述，本题所考的知识点繁多，而且通过多频次相似进行线段的转换和角度的转换，穿插多次设元来转换线段和解三角形，对三角形外接圆圆心的定义和角平分线的综合应用均是点睛之笔。对于第一问把梯形分割成平行四边形和三角形分别证明平行再证明点三点共线的思路也是很巧妙的，无论是知识考点还是解题思路和技巧，本题均具有可圈可点的方面，值得学生去好好消化学习。

附上具体解析答案：