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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C
（小学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是
6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、
5元、7元、9元、11元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，
途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，
60km，那么甲乙两站的路程是 km．
4．（10分）以100为分母的所有最简真分数的和等于 ．
5．（10分）一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个连续的非
零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于 2011的自然数中最大的“好
数”为 ．
6．（10分）在一条3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆
间隔50m，已挖好了坑．若间隔距离改为60m，则需要重新挖 个坑，有 个原
来挖好的坑将废弃不用．
7．（10分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，使它们的数字和是27，
则最多有 张是卡片“3”．
8．（10分）若将算式 ﹣ + ﹣ +…+ 的值化为小数，则小数
点后第1个数字是 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬
纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．10．（10分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队
得0分，平局两队各得1 分．若A，B，C，D四支球队的总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至
多得几分？至少得几分？
11．（10分）甲、乙两人轮流从1，2，3，…，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过
11次后，还剩下两个数．如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之
差是55？并说明理由．
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成
19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）图中，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 的长度分别为3和4，将三角形
ABC绕点C顺时针旋转至A B C，使得A C与B C在直线l上．
1 1 1 1
A A交B C于D，求 ．
1 1
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷 C（小学组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是
6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 17 4 个乒乓球．
【分析】从11开始找出不是17，也不是6的倍数的10个数，然后相加即可．
【解答】解：符合条件的最小的10个数是：
11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；
所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23＝174（个）．
答：至少需要 174 个乒乓球．
故答案为：174．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、
5元、7元、9元、11元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有 1 9 种不同的价格．
【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可．
【解答】解：共有25﹣6＝19（种）
包 装 盒 价 格
1 3 5 7 9
礼 2 3 5 7 9 11
品
5 6 8 101214
盒
8 9 11 131517
价
11 1214161820
格
14 1517192123
故答案为：19．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，
途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，
60km，那么甲乙两站的路程是 42 5 km．
【分析】根据题意，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20分钟（小时）共行：（90+60）× ＝50千米，这50千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，
B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50÷（80﹣60）＝2.5小时，然后根据速度和×
相遇时间＝两地之间的路程，列式解答．
【解答】解：20分钟＝ 小时，
A与C 20分钟相遇，共行（90+60）× ＝50（ 千米），
这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，
显然A与B相遇时间等于50÷（80﹣60）＝2.5（小时）．
所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5＝425（ 千米）．
答：甲乙两站的路程是425千米．
故答案为：425．
4．（10分）以100为分母的所有最简真分数的和等于 2 0 ．
【分析】设以100为分母的最简真分数为 ，且1≤p≤99．因为 是最简分数，所以p
和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5．然后分类讨论：以2为因数小于
100的数（偶数）之和；以5为因数小于100的数之和；以10为因数小于100的数之和．进
而得出小于100且不以2或5为因数的数之和，进一步解决问题．
【解答】解：设以100为分母的最简真分数为 ，且1≤p≤99．
因为 是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5．
以2为因数小于100的数（偶数）之和为：
2+4+6+…+96+98＝49×50＝2450．
以5为因数小于100的数之和为：
5+10+15+…+90+95＝ ×19×20＝950．
以10为因数小于100的数之和为：
10+20+30+…+90＝ ×9×10＝450．
小于100且以2或5为因数的数之和为：
2450+950﹣450＝2950．
所以以100为分母的所有最简真分数的和等于：（ + +…+ ）﹣
＝ × ﹣29.5
＝20．
故答案为：20．
5．（10分）一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个连续的非
零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于 2011的自然数中最大的“好
数”为 200 7 ．
【分析】根据题意，可把“好数”表示为m，m+1两个非零自然数的和，也可以表示为n，
n+1，n+2个非零自然数的和．因此，可列出一个等式2m+1＝3n+3，得出n的取值范围，进
而解决问题．
【解答】解：把“好数”表示为m，m+1两个非零自然数的和，也可以表示为n，n+1，n+2个
非零自然数的和．
所以2m+1＝3n+3，即m＝ n+1，所以2|n．
因为3n+3≤2011，所以n≤669 ，
因为2|n，所以n的最大值为668，
此时3n+3＝2007
不大于2011的自然数中最大的“好数”为2007．
故答案为：2007．
6．（10分）在一条3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆
间隔50m，已挖好了坑．若间隔距离改为60m，则需要重新挖 4 0 个坑，有 5 0 个原来
挖好的坑将废弃不用．
【分析】由题意知，先分别求出原来挖好坑的个数及现在要挖的个数，再求得重叠的坑有
多少个，用现需挖的个数减去重叠要保留的个数即得还要挖的个数，用原来挖好的个数减
去重叠要保留的个数即得废弃不用的个数；据此解答．
【解答】解：原来挖好的坑有：3000÷50+1＝61（个），
现在需要挖：3000÷60+1＝51（个），
50与60的最小公倍数是300，即每隔300米处的坑应该保留，共有：3000÷300+1＝11（个）
还需要挖：51﹣11＝40（个），原来挖好的坑将废弃不用的有：61﹣11＝50（个），
答：则需要重新挖40个坑，有50个原来挖好的坑将废弃不用．
故答案为：40，50．
7．（10分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，使它们的数字和是27，
则最多有 6 张是卡片“3”．
【分析】假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和27 相差3，
这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故．用一张卡片“5”和
“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2 和1．为了使卡片“3”尽可能地多，应该多
用卡片“5”换卡片“3”，然后多用卡片“4”换卡片“3”，现在3＝2+1，因此可用1 张
卡片“5”换卡片“3”，1张卡片“4”换卡片“3”．这样8 张卡片的数字之和正好等于
27．所以最多可能有6 张是卡片“3”．
【解答】解：假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，
27﹣24＝3，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故．
5﹣3＝2，4﹣3＝1，
所以为了使卡片“3”尽可能地多，应用一张卡片“5”换卡片“3”，一张卡片“4”换卡
片“3”，
这样8 张卡片的数字之和正好等于27．
所以最多可能有6张是卡片“3”．
故答案为：6．
8．（10分）若将算式 ﹣ + ﹣ +…+ 的值化为小数，则小数
点后第1个数字是 4 ．
【分析】根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算．
【解答】解： ﹣ ≈0.41
﹣ ≈0.01548
﹣ ≈0.00
﹣ ≈0.00133
﹣ ≈0.00063…推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和，所以小数点后第一位为4．
故答案为：4．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬
纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
【分析】先将4×5的长方形黑白间隔染色，然后再将5个由4个1×1的小正方格黑白间隔
染色，然后结合奇偶性判断即可．
【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板 之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑
格，而 盖住了3个或1个黑格，因此，由④4个1×1的小正方格组成的不同形状的5个硬
纸板，④只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符．
所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的4×5的长方形．
10．（10分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队
得0分，平局两队各得1 分．若A，B，C，D四支球队的总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至
多得几分？至少得几分？
【分析】足球队单循环比赛共赛4+3+2+1＝10场．从计分标准看，有胜负的场次得3分，平
局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的
次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低．假设全是3分，10场共
计30分，每平局总分倒减1分．
由A、B、C、D的得分不难分析．
【解答】解：由题意得：
A＝1＝1+0+0+0B＝4＝3+1+0+0＝1+1+1+1
C＝7＝3+3+1+0
D＝8＝3+3+1+1
从得分看至少3局平局，全部比赛总分30﹣3＝27（分），E队得分最多为27﹣1﹣4﹣7﹣8
＝7（分）．
从得分看最多5场平局，全部比赛总分30﹣5＝25（分），E队得分最少为25﹣1﹣4﹣7﹣8
＝5（分）．
答：E队至多得7分，至少得5分．
11．（10分）甲、乙两人轮流从1，2，3，…，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过
11次后，还剩下两个数．如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之
差是55？并说明理由．
【分析】由于56﹣1＝55，57﹣2＝55，…101﹣46＝55，所以甲可先划去47 至55 这9 个自
然数，于是还剩下1 至46，56 至101这些数．将这些数分成以下46 组：（1，56），（2，
57），（3，58），…，（45，100），（46，101） ．每组的两个数之差都是55．接下来，如果乙只
划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的①另一个数；如果乙划掉了某组的两个数，甲就将
未划掉数的另外一组划掉．按此操作即可．
【解答】解：甲先划去47 至55 这9 个自然数，于是还剩下1 至46，56 至101这些数．
将这些数分成以下46 组：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101） ．
每组的两个数之差都是55． ①
接下来，如果乙只划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的另一个数；
如果乙划掉了某组的两个数，甲就将未划掉数的另外一组划掉．
由此，甲、两人轮流划数，则最后剩下的两个数一定是 描述的一组，两数之差为55．
所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的两个数之差①是55．
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成
19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
【分析】根据合数的概念，很容易判断出16424是合数，然后再判断1163是否是质数，方法
见解答．
【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4…
等等．
1163是质数，判断方法是：352＝1225，342＝1156，最接近1163，所以用小于34的所有质数
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）图中，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 的长度分别为3和4，将三角形
ABC绕点C顺时针旋转至A B C，使得A C与B C在直线l上．
1 1 1 1
A A交B C于D，求 ．
1 1
【分析】如图，作三角形ABC关于A B对称的三角形A BC，连结AB ，A B和A C，根据角
1 2 1 2 2
之间的关系推出A 、C、B 三点共线，然后根据三角形的面积与底成正比的关系，解决问
2 1
题．
【解答】解：如图，作三角形ABC关于A B对称的三角形A BC，连结AB ，A B和A C，
1 2 1 2 2
因为AB＝3，BC＝4，所以A C＝5，B C＝4，S△AA C＝2S△ ＝12．
2 1 2 ABC
因为∠ACB+∠ACB +∠A CB ＝∠ACB+∠ACB +∠A CB＝180°，
1 1 1 1 2
所以A 、C、B 三点共线，且
2 1
＝ ＝ ，即 ＝ ．
因为 ＝ ，且 ＝ ，
所以 ＝ ．
因此， ＝ × ＝ ．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．【分析】由题目知，两位数虎威要满足：两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，有了
这两个限制条件，依次进行试验即可得出结论．
【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+Y＝X×Y×K（K为整数）
Y＝1
①（K﹣10）X＝1
X＝1，K＝11
所以虎威＝11；
Y＝2
②（K﹣5）X＝1
X＝1，K＝6
所以虎威＝12；
Y＝3
③（3K﹣10）X＝3
无解；
Y＝4
④（4XK﹣10K）＝2
X＝2，K＝3
所以虎威＝24；
Y＝5
⑤（K﹣2）X＝1
X＝1，K＝3
所以虎威＝15；
Y＝6
⑥（3K﹣5）X＝3
X＝3，K＝2
所以虎威＝36
Y＝7，同上方法讨论无解；
⑦Y＝8，同上方法讨论无解；
⑧Y＝9，同上方法讨论无解；
⑨综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:53:02；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
