《计算》公式类平方和公式-2星题（含详解）全国通用版_小学数学母题大全一二三四五六年级上下册一题多解题母题解_《公式类计算》（含详解）

计算-公式类计算-平方和公式-2 星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 平方和公式 B 1.熟悉平方和公式 少考 2.运用公式进行复杂的计算。 知识提要 平方和公式  平方和公式 n(n+1)(2n+1) 12+22+32+⋯+n2= 6 精选例题 平方和公式 1. 计算：22+42+62+⋯+502 = ． 【答案】 22100 【分析】 原式 =22×(12+22+32+⋯+252 ) ¿ =22100. 2. 337×▫2=12+22+32+⋯+3372，则 ▫= ． 【答案】 195 1 【分析】 12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1) 6 1 因为 12+22+⋯+3372= ×337×338×675 6 1 所以 ▫2= ×338×675=1952 6故 ▫=195． 3. 计算：36+49+64+81+⋯+400 = ． 【答案】 2815 【分析】 原式 =62+72+82+⋯+202 ¿ =20×21×41÷6-5×6×11÷6 ¿ =2815. 4. 计算：202+212+222+⋯+1002 = ． 【答案】 335880 【分析】 原式 =12+22+32+⋯+1002-(12+22+32+⋯+192) ¿ =338350-2470 ¿ ¿ 5. 计算：102+122+142+⋯+502 = ． 【答案】 21980 【分析】 原式 =(22+42+62+⋯+502 )-(22+42+62+82) ¿ =4×51×25×26÷6-4×30 ¿ ¿ 6. 计算：12+22+32+⋯+102 = ． 【答案】 385 【分析】 原式 =12+22+32+⋯+102 ¿ =385. 7. 计算：52+62+72+⋯+302= ． 【答案】 9425【分析】 原式 =(12+22+32+⋯+292+302 )-(12+22+32+42 ) ¿ =9455-30 ¿ ¿ 8. 计算：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162 = ． 【答案】 1001 原式 =(12+22+⋯+162 )-(32+62+92+122+152 ) 【分析】 ¿ =1496-495 ¿ ¿ 9. 计算：102+112+122+⋯+2002= ． 【答案】 2686415 【分析】 原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解． 原式= (12+22+⋯+92+102+112+122+⋯+2002 )-200×(200+1)×(400+1) 9×10×19 - ¿=¿2686700-285¿=¿2686415.¿ ¿ ¿ 6 6 10. 计算：12+32+52+⋯+192= ． 【答案】 1330 原式 =12+32+52+⋯+192 ¿ =19×20×39÷6-4×(12+22+⋯+92 ) 【分析】 ¿ =2470-285×4 ¿ ¿ 11. 计算：12+22+32+⋯+992= ． 【答案】 328350 【分析】 原式 =12+22+32+⋯+992 ¿ =328350. 12. 计算：112+122+132+⋯+202= ．【答案】 2485 原式 =(12+22+⋯+202 )-(12+22+⋯+102 ) 【分析】 ¿ =2485. 13. 计算：92+102+112+⋯+202 = ． 【答案】 2666 【分析】 原式 =(12+22+⋯+202 )-(12+22+⋯+82) ¿ =2666. 14. 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10= ． 【答案】 330 【分析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对 于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形： n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) 1 1 n(n+1)= = n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1) 3 3 3 所以原式 1 (1 1 ) (1 1 ) 1 = ×1×2×3+ ×2×3×4- ×1×2×3 +⋯+ ×9×10×11- ×8×9×10 = ×9×10×11=330 3 3 3 3 3 3 另解：由于 n(n+1)=n2+n，所以 原式 1 1 =(12+1)+(22+2)+⋯+(92+9)=(12+22+⋯+92)+(1+2+⋯+9)= ×9×10×19+ ×9×10=330 6 2 采用此种方法也可以得到 1 1×2+2×3+⋯+n×(n+1)= n(n+1)(n+2) 3 15. 计算：36+49+64+81+⋯+400= ． 【答案】 2815原式 =62+72+82+⋯+202 1 1 【分析】 ¿ = ×20×21×41- ×5×6×11 6 6 ¿ =2815. 16. 已知正整数 A 分解质因数可以写成 A=2α×3β×5γ，其中 α,β,γ 是自然数．如果 A 的二分之一是完全平方数，A 的三分之一是完全立方数，A 的五分之一是某个自然数的五次 方，那么 α+β+γ 的最小值是 ． 【答案】 31 【分析】 A 的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ 是 2 的倍数；A 的三分之一是 完全立方数，α,β-1,γ 是 3 的倍数；A 的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1 是 5 的倍数；要 α+β+γ 的值最小，分别求满足条件的 α,β,γ 值：3×5-1 是 2 的倍数， α 的最小值为 15，2×3-1 是 5 的倍数，γ 的最小值为 6，2×5-1 是 3 的倍数，β 的 最小值为 10，所以 α+β+γ 的最小值是：15+6+10=31． 17. 规定 a△b=a×(a+2)-(a+1)-b，计算：(2△1)+⋯+(11△10)= ． 【答案】 505 【分析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和． 但是我们注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 b=a-1， 所以，我们不妨把 b=a-1 代入原定义． a△b=a×(a+2)-(a+1)-b 就变成了 a△b=a×(a+2)-(a+1)-(a-1)=a2. 所以 2△1=22，3△2=32，⋯，3△2=112，则 原式 =22+32+42+⋯+112 ¿ =505. 18. 计算：1×22+2×32+3×42+⋯+18×192+19×202 = ． 【答案】 41230 【分析】 分拆（2-1）×22=23-22，（3-1）×32=33-32，⋯，再用公式， 原式 =(23-22 )+(33-32 )+⋯+(203-202 ) ¿ =202×212÷4-20×21×41÷6 ¿ ¿ 19. 1×1+2×3+3×5+4×7+⋯+99×197= ．【答案】 651750 1 【分析】 12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)． 6 1 1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)= n(n+1)(n+2) 3 原式 =12+22+32+⋯+992+1×2+2×3+3×4+⋯+98×99 ¿ =328350+323400 ¿ ¿ 20. 12+32+52+72+⋯372= ． 【答案】 9139 【分析】 因为 2n(2n+1)(4n+1) 12+22+32+42+⋯+(2n-1) 2+(2n) 2= 6 22+42+⋯+(2n) 2 =4×(12+22+⋯+n2) ¿ ¿ 所以 2n(2n+1)(4n+1) 12+32+⋯+(2n-1) 2+22+42+⋯+(2n) 2= 6 1 12+32+52+⋯+(2n-1) 2= n(4n2-1). 3 当 n=19 时， 1 原式 = ×19×(4×192-1) 3 ¿ ¿ 21. 围棋棋盘是由 19 条横线和 19 条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？ 【答案】 2109 个 【分析】 简答：按正方形的大小分类，共有 182+172+⋯+12=2109个． 22. 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16 叫做“完全平方数”，在前 300 个自然 数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？． 【答案】 43365 【分析】 不超过 300 的完全平方数，有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、 100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是17×18×35 12+22+32+⋯+172= =1785．前 300 个自然数的和是： 6 1+2+3+⋯+300=45150，于是剩下的自然数的和 45150-1785=43365． 23. 试求 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100． 【答案】 333300 【分析】 方法一：整数裂项 原式= (1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+ [1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)¿+5×6×(7-4)+⋯+99×100×(101-98)]÷÷3¿=¿(1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6¿-3×4×5+5×6×7-4×5×6+⋯+99×100×101-¿98×99×100)÷3¿=¿99×100×101÷3¿=¿33×101×100¿=¿3333×100¿=¿333300.¿ ¿ ¿ 方法二：利用平方和公式 n×(n+1)×(2n+1) 12+22+32+42+⋯+n2=n2= . 6 原式 =12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+⋯+992+99 99×100×199 99×100 ¿ = + 6 2 ¿ =333300. 24. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62 ⋯，试求 63+73.+⋯+143． 【答案】 10800 原式 =(13+23+⋯+143)-(13+23.+⋯+53) 【分析】 ¿ =1052-152 ¿ =90×120 ¿ ¿ 25. 12+22+32+⋯+20012+20022 除以 7 的余数是多少？ 【答案】 0 【分析】 由于 12+22+32+⋯+20012+200222002×2003×4005 ¿=¿1001×2003×1335¿ ¿ 6 而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12+22+32+⋯+20012+20022 除 以 7 的余数是 0； 26. 计算下列式子的值：1 1 1 1 1 1 24×( + +⋯+ )-( + +⋯ ) 2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102 60 【答案】 11 1 1 1 1 1 1 【分析】 虽然很容易看出 = - , = - ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可是再仔细一看， 2×3 2 3 4×5 4 5 并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的 分母容易让我们想到公式 1 12+22+32+⋯+n2= ×n×(n+1)×(2n+1), 6 于是我们又有 1 6 = . 12+22+32+⋯+n2 n×(n+1)(2n-1) 减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项 1 1 1 1 1 1 24×( + +⋯+ )-( + +⋯+ ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 60 2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102 24×( + +⋯+ )-¿6×( + +⋯+ )¿=¿24×( + +⋯+ )-¿24×( + +⋯+ )¿=¿24× ( - )+( - )+¿⋯+( - ) ¿=¿24×( + +⋯+ )¿=¿6×( + +⋯+ )¿=¿6×(1- )¿=¿ ¿ 2×3 4×5 20×21 1×2×3 2×3×5 10×11×12 2×3 4×5 20×21 2×4×3 4×6×5 20×22×21 2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 20×21 20×22×21 2×4 4×6 20×22 1×2 2×3 10×11 11 11 ¿