文档内容
计算-公式类计算-平方和公式-3 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方和公式 B 1.熟悉平方和公式 少考
2.运用公式进行复杂的计算。
知识提要
平方和公式
平方和公式
n(n+1)(2n+1)
12+22+32+⋯+n2=
6
精选例题
平方和公式
1. 计算：12+32+52+⋯+192= ．
【答案】 1330
原式 =12+32+52+⋯+192
¿
=19×20×39÷6-4×(12+22+⋯+92
)
【分析】
¿ =2470-285×4
¿ ¿
2. 计算：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162 = ．
【答案】 1001
原式 =(12+22+⋯+162 )-(32+62+92+122+152 )
【分析】 ¿ =1496-495
¿ ¿
3. 计算：22+42+62+⋯+502 = ．【答案】 22100
【分析】
原式 =22×(12+22+32+⋯+252 )
¿ =22100.
4. 计算：202+212+222+⋯+1002 = ．
【答案】 335880
【分析】
原式 =12+22+32+⋯+1002-(12+22+32+⋯+192)
¿ =338350-2470
¿ ¿
5. 计算：12+22+32+⋯+992= ．
【答案】 328350
【分析】
原式 =12+22+32+⋯+992
¿ =328350.
6. 计算：112+122+132+⋯+202= ．
【答案】 2485
原式 =(12+22+⋯+202 )-(12+22+⋯+102 )
【分析】
¿ =2485.
7. 计算：36+49+64+81+⋯+400= ．
【答案】 2815
原式 =62+72+82+⋯+202
1 1
【分析】 ¿ = ×20×21×41- ×5×6×11
6 6
¿ =2815.
8. 计算：52+62+72+⋯+302= ．【答案】 9425
【分析】
原式 =(12+22+32+⋯+292+302 )-(12+22+32+42 )
¿ =9455-30
¿ ¿
9. 计算：92+102+112+⋯+202 = ．
【答案】 2666
【分析】
原式 =(12+22+⋯+202 )-(12+22+⋯+82)
¿ =2666.
10. 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10= ．
【答案】 330
【分析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对
于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) 1 1
n(n+1)= = n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)
3 3 3
所以原式
1 (1 1 ) (1 1 ) 1
= ×1×2×3+ ×2×3×4- ×1×2×3 +⋯+ ×9×10×11- ×8×9×10 = ×9×10×11=330
3 3 3 3 3 3
另解：由于 n(n+1)=n2+n，所以
原式
1 1
=(12+1)+(22+2)+⋯+(92+9)=(12+22+⋯+92)+(1+2+⋯+9)= ×9×10×19+ ×9×10=330
6 2
采用此种方法也可以得到
1
1×2+2×3+⋯+n×(n+1)= n(n+1)(n+2)
3
11. 12+32+52+72+⋯372= ．
【答案】 9139【分析】 因为
2n(2n+1)(4n+1)
12+22+32+42+⋯+(2n-1) 2+(2n) 2=
6
22+42+⋯+(2n) 2 =4×(12+22+⋯+n2)
¿ ¿
所以
2n(2n+1)(4n+1)
12+32+⋯+(2n-1) 2+22+42+⋯+(2n) 2=
6
1
12+32+52+⋯+(2n-1) 2= n(4n2-1).
3
当 n=19 时，
1
原式 = ×19×(4×192-1)
3
¿ ¿
12. 计算：102+122+142+⋯+502 = ．
【答案】 21980
【分析】
原式 =(22+42+62+⋯+502 )-(22+42+62+82)
¿ =4×51×25×26÷6-4×30
¿ ¿
13. 337×▫2=12+22+32+⋯+3372，则 ▫= ．
【答案】 195
1
【分析】 12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)
6
1
因为 12+22+⋯+3372= ×337×338×675
6
1
所以
▫2= ×338×675=1952
6
故 ▫=195．
14. 12+32+52+⋯+192= ．
【答案】 2185
【分析】
12+32+52+⋯+192
(12+22+32+⋯+192 )-(22+42+⋯+182 )¿=¿
1
×19×20×39-4×(12+22+⋯+92 )¿=¿2470-
1
×9×10×19¿=¿2470-285¿=¿2185.¿
¿ 6 615. 计算：12+22+32+⋯+102 = ．
【答案】 385
【分析】
原式 =12+22+32+⋯+102
¿ =385.
16. 计算：102+112+122+⋯+2002= ．
【答案】 2686415
【分析】 原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．
原式= (12+22+⋯+92+102+112+122+⋯+2002 )-200×(200+1)×(400+1) 9×10×19
- ¿=¿2686700-285¿=¿2686415.¿
¿ ¿ 6 6
17. 计算：36+49+64+81+⋯+400 = ．
【答案】 2815
【分析】
原式 =62+72+82+⋯+202
¿ =20×21×41÷6-5×6×11÷6
¿ =2815.
18. 计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11= ．
【答案】 375
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+⋯+(10-1)(10+1)
¿
=(22+32+⋯+102)-9
10×11×21
¿ = -10
6
¿ ¿
19. 规定 a△b=a×(a+2)-(a+1)-b，计算：(2△1)+⋯+(11△10)= ．【答案】 505
【分析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和．
但是我们注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 b=a-1，
所以，我们不妨把 b=a-1 代入原定义．
a△b=a×(a+2)-(a+1)-b
就变成了
a△b=a×(a+2)-(a+1)-(a-1)=a2.
所以 2△1=22，3△2=32，⋯，3△2=112，则
原式 =22+32+42+⋯+112
¿ =505.
20. 计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151= ．
【答案】 256225
【分析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为
1，3，5，⋯，99，乘数依次为 4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可
以表示为 2n-1，乘数可以表示为 3n+1，所以通项公式为 (2n-1)×(3n+1)=6n2-n-1．
所以，
原式 =(6×12-1-1)+(6×22-2-1)+⋯+(6×502-50-1)
1
¿ =50×51×101- ×50×51-50
2
¿ ¿
另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以
先将这个差变为相等再进行计算．
1
原式= ×(3×8+9×14+15×20+⋯+297×302)
6
1 1 1 3 5
1 ׿(32+3×5+92+9×5+152+15×5+⋯+2972+297×5)¿=¿ ׿ [(32+92+152+⋯+2972)+5×(3+9+15+⋯+297)] ¿=¿ ׿ [9×(12+32+52+⋯+992)+5×3×(1+3+5+⋯+99)] ¿=¿ ×(12+32+52+⋯+992)+ ×(1+3+5+⋯+99).¿
= × 6 6 6 2 2
6
¿ ¿
而 12+32+52+⋯+992 和 1+3+5+⋯+99 都是我们非常熟悉的．
12+32+52+⋯+992
(12+22+32+⋯+1002)-(22+42+62+⋯+1002)¿=¿
1
×100×101×201-4×
1
×50×51×101¿=¿
1
×100×101×(201-102)¿=¿
1
×99×100×101¿=¿166650,¿
¿ 6 6 6 6
1+3+5+⋯+99=502=2500，
所以
3 5
原式= ×166650+ ×2500=256225.
2 2小结：从上面的计算过程中可以看出，
1
12+32+52+⋯+992= ×99×100×101,
6
而
1
1×2+2×3+⋯+99×100= ×99×100×101,
3
所以有
(12+32+52+⋯+992)×2=1×2+2×3+⋯+99×100.
21. 计算：1×22+2×32+3×42+⋯+18×192+19×202 = ．
【答案】 41230
【分析】 分拆（2-1）×22=23-22，（3-1）×32=33-32，⋯，再用公式，
原式 =(23-22 )+(33-32 )+⋯+(203-202 )
¿
=202×212÷4-20×21×41÷6
¿ ¿
22. 计算：11×29+12×28+⋯+19×21= ．
【答案】 3315
【分析】
原式 =(202-92)+(202-82)+⋯+(202-12)
1
¿ =3600- ×9×10×19
6
¿ ¿
23. 1×1+2×3+3×5+4×7+⋯+99×197= ．
【答案】 651750
1
【分析】 12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)．
6
1
1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)= n(n+1)(n+2)
3
原式 =12+22+32+⋯+992+1×2+2×3+3×4+⋯+98×99
¿ =328350+323400
¿ ¿
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
24. 24× + +⋯+ - + +⋯+ = ．
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+10260
【答案】
11
3 1 10 75
【分析】 虽然很容易看出 = ， = ⋯⋯ 可是再仔细一看，并没有什么效
7 3 21 2
果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我
1
们想到公式 12+22+32+⋯+n2= ×n×(n+1)×(2n+1)，
6
1 6
于是我们又有 = ．
12+22+⋯+n2 n×(n+1)×(2n+1)
减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对
一个”呢？
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
24× + +⋯+ - + +⋯+
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
=24× + +⋯+ -6× + +⋯+
2×3 4×5 20×21 1×2×3 2×3×5 10×11×21
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
=24× + +⋯+ -24× + +⋯+
2×3 4×5 20×21 2×4×3 4×6×5 20×22×21
[( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )]
=24× - + - +⋯+ -
2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 20×21 20×22×21
( 1 1 1 )
=24× + +⋯+
2×4 4×6 20×22
( 1 1 1 )
=6× + +⋯+
1×2 2×3 10×11
( 1 )
=6× 1-
11
60
=
11
25. 对自然数 a 和 n，规定 a∇n=an+an-1，例如 3∇2=32+3=12，那么：
（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2= ；
（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99= ．
【答案】 （1）333300；（2）3×299-3
【分析】 （1）
原式 =12+1+22+2+32+3+⋯+992+99
¿ =99×100×199÷6+4950
¿ =333300;（2）
原式 =21+20+22+21+23+22+⋯+299+298
¿
=(20+21+22+⋯298)×3
¿
=3×299-3.
26. 已知正整数 A 分解质因数可以写成 A=2α×3β×5γ，其中 α,β,γ 是自然数．如果 A
的二分之一是完全平方数，A 的三分之一是完全立方数，A 的五分之一是某个自然数的五次
方，那么 α+β+γ 的最小值是 ．
【答案】 31
【分析】 A 的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ 是 2 的倍数；A 的三分之一是
完全立方数，α,β-1,γ 是 3 的倍数；A 的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1 是
5 的倍数；要 α+β+γ 的值最小，分别求满足条件的 α,β,γ 值：3×5-1 是 2 的倍数，
α 的最小值为 15，2×3-1 是 5 的倍数，γ 的最小值为 6，2×5-1 是 3 的倍数，β 的
最小值为 10，所以 α+β+γ 的最小值是：15+6+10=31．
27. 围棋棋盘是由 19 条横线和 19 条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
【答案】 2109 个
【分析】 简答：按正方形的大小分类，共有 182+172+⋯+12=2109个．
28. 计算下列式子的值：
1 1 1 1 1 1
24×( + +⋯+ )-( + +⋯ )
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102
60
【答案】
11
1 1 1 1 1 1
【分析】 虽然很容易看出 = - , = - ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可是再仔细一看，
2×3 2 3 4×5 4 5
并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的
分母容易让我们想到公式
1
12+22+32+⋯+n2= ×n×(n+1)×(2n+1),
6
于是我们又有
1 6
= .
12+22+32+⋯+n2 n×(n+1)(2n-1)
减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项1 1 1 1 1 1
24×( + +⋯+ )-( + +⋯+ ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 60
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102 24×( + +⋯+ )-¿6×( + +⋯+ )¿=¿24×( + +⋯+ )-¿24×( + +⋯+ )¿=¿24× ( - )+( - )+¿⋯+( - ) ¿=¿24×( + +⋯+ )¿=¿6×( + +⋯+ )¿=¿6×(1- )¿=¿ ¿
2×3 4×5 20×21 1×2×3 2×3×5 10×11×12 2×3 4×5 20×21 2×4×3 4×6×5 20×22×21 2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 20×21 20×22×21 2×4 4×6 20×22 1×2 2×3 10×11 11 11
¿
29. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62 ⋯，试求 63+73.+⋯+143．
【答案】 10800
原式 =(13+23+⋯+143)-(13+23.+⋯+53)
【分析】 ¿
=1052-152
¿ =90×120
¿ ¿
30. 12+22+32+⋯+20012+20022 除以 7 的余数是多少？
【答案】 0
【分析】 由于
12+22+32+⋯+20012+200222002×2003×4005
¿=¿1001×2003×1335¿
¿ 6
而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12+22+32+⋯+20012+20022 除
以 7 的余数是 0；
31. 试求 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．
【答案】 333300
【分析】 方法一：整数裂项
原式= (1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+
[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)¿+5×6×(7-4)+⋯+99×100×(101-98)]÷÷3¿=¿(1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6¿-3×4×5+5×6×7-4×5×6+⋯+99×100×101-¿98×99×100)÷3¿=¿99×100×101÷3¿=¿33×101×100¿=¿3333×100¿=¿333300.¿
¿ ¿
方法二：利用平方和公式
n×(n+1)×(2n+1)
12+22+32+42+⋯+n2=n2= .
6
原式 =12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+⋯+992+99
99×100×199 99×100
¿ = +
6 2
¿ =333300.32. 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16 叫做“完全平方数”，在前 300 个自然
数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．
【答案】 43365
【分析】 不超过 300 的完全平方数，有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、
100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是
17×18×35
12+22+32+⋯+172= =1785．前 300 个自然数的和是：
6
1+2+3+⋯+300=45150，于是剩下的自然数的和 45150-1785=43365．
