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专练 39 空间向量的应用
授课提示：对应学生用书83页
[基础强化]
一、选择题
1．若两不重合直线l 和l 的方向向量分别为V ＝(1，0，－1)，V ＝(－3，0，3)，则l
1 2 1 2 1
和l 的位置关系是( )
2
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
答案：A
解析：∵V ＝－V ，∴l∥l.
1 2 1 2
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．0
答案：C
解析：∵|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，
则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．A，C都有可能
答案：A
解析⊂：∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.
4．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
答案：B
解析：
如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
故选B.
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
答案：C
解析：∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，
∴α与β相交但不垂直．
6.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 B．6
C．12 D．144
答案：C
解析：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，
则P(0，－3，6)，C(0，3，0)
∴|PC|＝
＝12.
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－ABC ，CA＝CC ＝2CB，则直线BC 与
1 1 1 1 1
AB 夹角的余弦值为( )
1
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设BC＝1，则B(0，0，1)，C (0，2，0)，A(2，0，0)，B(0，2，1)，
1 1
⃗BC1＝(0，2，－1)，⃗AB1＝(－2，2，1)，
⃗BC1·⃗AB1＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.
⃗|BC1|＝， ⃗|AB1|＝3，
⃗BC1·⃗AB1
∴cos 〈 ⃗|BC1|， ⃗|AB1|〉＝ ＝＝.
⃗|BC1|⃗|AB1|
8．在直三棱柱ABC－ABC 中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC 和BB 的中
1 1 1 1 1
点，则直线DE与平面BBC C所成的角为( )
1 1
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：A
解析：
∵AB＝1，AC＝2，BC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C (0，，h)，B(0，0，h)，B(0，0，0)
1 1
∴D(，，)，E.∴DE＝(－，－，0)，显然面BBC C的法向量为m＝(1，0，0)，
1 1
∴DE与平面BBC C所成角α满足
1 1
sin α＝＝＝，
又α∈，
∴α＝30°.
9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面
CDP所成的二面角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：D
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
显然面ADP的法向量m＝(1，0，0)，
设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，
CD＝(－1，0，0)，CP＝(－1，－1，1)，
∴令y＝1，则z＝1，
∴n＝(0，1，1)，
m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，
∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－
5)，则顶点D的坐标为________．
答案：(5，13，－3)
解析：设D(x，y，z)，由题意得AD＝BC，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)
∴∴D(5，13，－3).
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以AB，AC为邻边的
平行四边形的面积为________．
答案：7
解析：AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，
∴AB·AC＝－2＋3＋6＝7，|AB|＝，|AC|＝.
又cos 〈AB，AC〉＝＝＝，
∴sin 〈AB，AC〉＝，
∴平行四边形的面积S＝|AB|×|AC|×sin 〈AB，AC〉＝7.
12．设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则D 点到平面ABD的距离为________．
1 1 1 1 1 1
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，2)，A(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
1 1∴⃗D1A1＝(2，0，0)，⃗DA1＝(2，0，2)，DB＝(2，2，0).
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
1
{ n·⃗DA1=2x+2z=0
则
n· eq ¿(DB,¿¿6(→)) =2x+2y=0
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D 到平面ABD的距离是
1 1
[能力提升]
13.
如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，
1 1 1 1 1
AM＝AN＝，则MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1 1
A.斜交
B．平行
C．垂直
D．MN在平面BBC C内
1 1
答案：B
解析：建立如图所示
的空间直角坐标系，由于AM＝AN＝，
1
则M，N，
MN＝.又C D⊥平面BBC C，所以C D ＝(0，a，0)为平面BBC C的一个法向量．因
1 1 1 1 1 1 1 1
为MN·⃗C1D1＝0，所以MN⊥⃗C1D1，所以MN∥平面BBC C.
1 1
14．直三棱柱ABC－ABC 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA ，则异面直线BA 与
1 1 1 1 1
AC 所成的角等于( )
1
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
解析：
如图所示，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AB 为单位长度，AC 所在直线
1 1 1 1 1 1 1
为y轴，AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.则可得A(0，0，0)，B(1，0，
1 1 1 1
0，)，C (0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1).所以AB＝(1，0，1)，AC ＝(0，1，－1).
1 1 115．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则
α与l所成角的正弦值为________．
答案：
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝＝
＝.
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，
已知∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝2，SA＝SB＝.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为
________.
答案：
解析：如图所示，
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建
立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0，0，
1)，D(，－2，0)，DS＝(－，2，1)，SA＝(，0，－1)，SB＝(0，，－1).
设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1
由得
令z＝，得n＝(1，1，).
1
设直线SD与平面SAB所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈DS，n〉|＝＝＝.
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.
