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2024 学年第一学期期中质量检测问卷
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 一元二次方程 中，一次项的系数是（ ）
A. 2 B. 1 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．一
元二次方程经过整理都可化成一般形式 ．其中 叫作二次项， 是二次项系数；
叫作一次项， 是一次项系数；c叫作常数项．
【详解】一元二次方程 中，一次项的系数是4，
故选：C
2. 下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据识别轴对称图形和中
心对称图形的方法解答即可．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．由抛物线的解析式直接写
出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ．
故选：D．
4. 如图，点 、 、 是 上的三点， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．根
据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得答案．
【详解】解： ，
∴ ，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6. 抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线 向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：
；
由“上加下减”的原则可知，抛物线 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：
．
故选：C．
7. 如图， 的半径为5，弦 ，点P是弦 上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的
的值可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取 的中点C，分别连接 、 ，
由垂径定理及勾股定理可求得 的长，根据垂线段最短，则 的值介于 与 之间，由此可求得
结果．
【详解】解：如图，取 的中点C，分别连接 、 ，则 ，且 ，
在 中， ，
∴ ，
点P线段 上（不与 重合），则 ，即 ，
由对称性，当点P在线段 上时， ，
∴当点P在弦 上时， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴选项B符合题意；
故选：B
8. 有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的
人数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得 ，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
由题意可得： ，
解得： ， （舍去），
则每轮传染中平均一个人传染的人数是10个人．
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
9. 设点 是抛物线 上的三点，则 的大小关系为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次
函数的图象与性质．
由抛物线 ，可得对称轴为直线 ， ，即当 时， 随着 的增大而
减小，由 点关于对称轴对称的点坐标为 ， ，可得 ．
【详解】解：∵抛物线 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴对称轴为直线 ， ，
∴当 时， 随着 的增大而减小，
∴ 点关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中， 是直线 上的一个动点，将 绕点 顺时针旋转
，得到点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后 的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函
数的性质即可解决问题．
【详解】解：作 轴于点M， 轴于N， 设 ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
当 时， 有最小值为5，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与
图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为：
12. 已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是_____．
【答案】m<1
【解析】
【分析】根据二次函数开口向下二次项系数m-1＜0即可求出答案．
【详解】解：由 题意可知：m-1＜0，
∴m＜1；
故答案为：m＜1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
13. 若x，x 是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x+x=_____________________．
1 2 1 2
【答案】-2．
【解析】
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
试题解析：∵x、x 是方程x2+2x-3=0的两个实数根.
1 2
∴x+x=-3．
1 2
考点：根与系数的关系.
14. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．
【答案】15
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：圆锥的侧面积= •2π•3•5=15π．
故答案为15π．
15. 一个正多边形的边长为2，中心角为 ，则这个正多边形的周长是______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为 ．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多
边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为 就可以求出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】解：∵多边形的边数为： ，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长 ，
故答案为：16．
16. 如图，已知二次函数 的图像，下列结论① ；② ；③
；④关于x的方程 有四个根，且这四个根的和为5；其中
正确的结论有________（请写出所有正确结论的序号）．
【答案】②③##③②
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的
关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置可判断①，由抛物线与 轴有两个交点可
判断②，由当 时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于2且抛物线开口向下可判断④．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
，①错误；
抛物线与 轴有2个交点，
，
，②正确；
时函数取最大值，
，
，即 ，③正确．
由图象可得函数最大值大于2，
有两个不相等的实数根 ， ，
有两个不相等的实数根 ， ，
图象对称轴为直线 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
，
∴关于x的方程 有四个根，且这四个根的和为4；
④错误．
故答案为：②③
三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解： ，
，
或 ，
∴ ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
18. 已知二次函数 的图像经过点 ，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．把点 代入二次函数 即可求
出这个函数的解析式．
【详解】解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
故此二次函数的解析式为： ．
19. 如图， 为 直径，C为圆上一点，连接 ， ．
（1）尺规作图：作 的中点D，交 于E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ， ，在（1）的条件下，连接 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1） 利用尺规作图，过点O作 于E，交 于D，即可得解；
（2）由圆周角定理得出 ，由勾股定理得出 ，由垂径定理得出 ，最后再
由勾股定理计算即可得出答案
【小问1详解】
如图，点即为所求作．
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学科网（北京）股份有限公司小问2详解】
【
设 交 与 ，
∵ 是直径，
，
，
，
，
，
，
，
20. 如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（1）画出 关于原点O对称的图形 ；
（2）直接写出点 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了画中心对称图形，写出点的坐标；
（1）根据中心对称的性质找到 的对应点 ，顺次连接，即可求解．
（2）根据 的位置可得其坐标．
【小问1详解】
解：如图所示： 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：由 的位置可得： ．
21. 已知关于x的方程 的根为 、 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若方程的一个根 ，求a的值与另一个根 ．
【答案】（1）7 （2） ，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．
（1）将 代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）将 代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组求解即可；
【小问1详解】
∵当 时，方程为 ，
，
；
【小问2详解】
∵方程 的根为 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司又
，
即 ，
解得： ，
22. 如图， 为 的直径，点D、E在 上，C是 的延长线上一点，且 ．
（1）若 ，则 ___ ；
的
（2）判断直线 与 位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）直线 与 相切，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理，根据圆周角定理证明
是解决问题的关键．
（1）由 为 的直径，可得 ，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接 ，由圆周角定理证得 ，由已知和等腰三角形的性质证得
， ，进而证得 ，根据切线的判定定理即可证得 与
相切；
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【
小问2详解】
证明： 与 相切，理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
23. 某超市销售一种商品，成本价为 元 千克，经市场调查，每天销售量 千克 与销售单价 元 千
克 之间的关系 如图所示 ，假设每千克售价不能低于 元，且不高于 元．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2）若每天的总利润为 元，求出 关于 的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每
天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2） ，销售单价定为 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合；
（1）设 与 之间的函数关系式为 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得 ，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设 与 之间 的函数关系式为 ，
将点 ， 代入得：
，
解得 ，
与 之间的函数关系式为 ；
【小问2详解】
根据题意，得：
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学科网（北京）股份有限公司，
，
该函数图象开口向下，且其对称轴为 ，
又 ，
在此范围内， 随 的增大而增大，
当 时， 取最大值，此时 ，
即销售单价定为 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 元．
24. 抛物线 上存在两点 ， ．
（1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示）
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点 ，过点C作垂直于
y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；
（3）若点 也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记
图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解
是解题的关键．
（1）将一般式转化为顶点式即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先求出 ， ，过点C垂直于y轴的直线l： ，画出函数图象，利用数形
结合的方法求解即可；
（3）分当M在点A的左侧，当M在点A与顶点坐标之间时，当M在对称轴右侧，结合图象进行分类讨论
求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为： ；
【小问2详解】
解：由 可知：
抛物线的顶点坐标为： ，
当 时： ，
当 时： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴过点C垂直于y轴的直线l： ，如图：
由图象可知：当 或 时，直线l与F有且仅有一个交点，
∴a的取值范围为： 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
①当M在点A的左侧，即： ， 时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
②当M在点A与顶点坐标之间时，
此时 ，即 ，不符合题意；
③当M在对称轴右侧，即 时，
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学科网（北京）股份有限公司时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小： ，此时 不符合题意；
当 时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴ ，
解得： （舍），或 ；
∴ ；
综上： 或 ．
25. 将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ．
（1）如图，当点E在 上时．
①若 ，则 _____________°；
②求证： ；
（2）探究：当 为何值时， ？请你画出图形，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；②见解析
（2） 或 ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质．
（1）①由矩形的性质可证 ；②由矩形的性质及旋转的性质可证 （
），从而可得 ，即可求证；
（2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在 的垂直平分线上，①当点G在 右侧时，取 的
中点H，连接 交 于M，可证 是等边三角形，即可求解；②当点G在 左侧时， 同理可
得 是等边三角形，即可求解；
掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【小问1详解】
解：① 四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
，
，
故答案： ；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
在 和 中
，
（ ），
，
又 ，
．
【小问2详解】
解：如图，当 时，
则点G在 的垂直平分线上，
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
，
，
四边形 是矩形，
，
垂直平分 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形，
，
旋转角 ；
②如图，当点G在 左侧时，
同理可得 是等边三角形，
，
旋转角 ．
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
