文档内容
第 21 讲间隔与阵列
兴趣篇
1、社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 10米种一棵，而且马路的两
端都要种。一共需要种多少棵树？
【分析】共有： （颗）。
11棵
2、学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树。每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且
马路的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？
【分析】马路一侧种了21棵树，则相邻两颗树之间的距离为： 米。
3、包包上楼，从第一层走到第三层需要上36级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么包包从第一层
走到第六层一共需要上多少级台阶？
【分析】根据题意，一层楼梯有18级台阶，包包从第一层到第6层，需要走5层，共为90级。
4、学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问：
（1）包包和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人、右侧有8人。女生一共有多少人？
（2）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个、右起第9个。男生一共有多少人？
（3）昊昊也在男生队伍里。他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？
【分析】
（1）女生一共有：7+8+1=16人；
（2）共有；7+9-1=15人；
（3）他的右侧应该有：11人；他是右起第12人
5、运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长包包让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍
中）。她先从左往右数，发现铮铮是第 25个；然后她又从右往左数，发现昊昊正好是第 29个。如果队伍
里一共有31人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？
【分析】昊昊是从左往右数的第3个，所以他们之间有21人。
6、一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米。厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而且每次只
能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？
【分析】长分成8份，需要切7刀；宽切成5份，需要切4刀，所以至少需要用11刀。
7、学校有一个圆形水池，水池的周长为40米。如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？
【分析】由于是圆形水池，共需要用： 棵
8、50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻两个男生之间
又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相
邻两人之间的距离又是多少米？
【分析】由于每两个男生之间加入了两名女生，所以共加入了100名女生。
加入女生之后，两名学生之间的距离变为： （米）。
9、有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？
从里向外算起的第三层有多少人？
【分析】100个人分成的方阵为10×10，所以这个方针的最外层至少需要有： （人）；
从外向内，少了8个人，为28人；
第3层为20人；
10、一个实心方阵，最外层一共有20人。请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
【分析】（1）最外层有：
（人）；这个方阵共有36人；
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少为49人，所以要增加13人；
（3）如果在这个方阵外面再增加一层，相当于变为一个8×8的方阵，还需要增加28人。
拓展篇
1、刘老师想做一张木凳。他先把一根木头锯成4段，用了12分钟。如果要把另一根木头锯成8段，需要
几分钟？（假设刘老师每锯断一次所花的时间相同）
【分析】刘老师锯成4段，需要用12分钟，需要锯3次，锯每一次需要4分钟，现在要锯成8段，需要锯
7次，共需要用28分钟。
2、包包和铮铮去刘老师家玩，刘老师住在15层。两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当包包走到
第3层的时候，铮铮恰好走到了第5层。请问：当铮铮走到刘老师家的时候，包包走到了第几层？
【分析】包包步行2层的时候，铮铮可以走4层；当铮铮步行了14层的时候，包包只能走7层。所以包包到了第8层。
3、有一块三角形的土地，三条边的长度分别为120米、150米、80米。在边界上每隔10米种一棵树，三
角形的每个顶点都必须种。一共要种多少棵树？
【分析】一共要种： （棵）
4、体育课上教师让42名同学站成一行。铮铮发现有一半人站在他自己的左边；昊昊发现自己是从右往左
数的第12个。铮铮和昊昊之间有多少人？
【分析】铮铮是从左边数第22个人；昊昊是从左往右数第31个人；两人之间共有8人。
5、班里一共有42名学生，站成一圈做游戏。现在从包包开始数。请问：
（1）如果铮铮是顺时针数第26个，昊昊是顺时针数第17个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？
（2）如果铮铮是顺时针数第22个，昊昊是逆时针数第13个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？
（3）如果铮铮是顺时针数第27个，昊昊是逆时针数第31个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？
【分析】
（1）铮铮与昊昊之间有26-17-1=8名学生；
（2）由于昊昊是逆时针第13个，则昊昊是顺时针第30个，两者之间有8名同学；
（3）由于昊昊是逆时针第31个，则昊昊是顺时针第12个，两者之间有13名同学。
6、若干名同学站成一个15×15的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里
向外算起的第七层有多少人？
【分析】
（1） 最外层有： （人）；
（2） 由于每层每行少两人，则这个方阵共有8层；
（3） 从里往外第7层，即为从外往里第2层，比最外一层少8人。共有48人。
7、一个实心方阵，最外层共有44人。请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？
【分析】
（1） 这个方阵最外层每行共有： 人，所以这个方阵共有144人；
（2） 要让这个方阵减少1列，少了12人，再少1行，则可以再少11人。所以一共减少了23人。8、红领巾小学三年级有120名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
【分析】
（1） 令最里面一层有 人，则外面一层为 人，最外面一层有： 人。
所以共有； ，解之得： ，所以最外面一层有48人。则最外层每边共有；
（人）；
（2） 如果再在外面增加一层，应该增加48+8=56人；
（3） 如果在里面增加一层，应该增加32-8=24人；
9、用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色
瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……这样依次铺下去，一共使用了
400块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
【分析】根据题意，最里面可能是一个瓷砖，也可能是4个瓷砖。
（1） 若最里面是1块瓷砖，则从里到外的瓷砖数为：
；
（2） 若最里面为4块瓷砖，则从里到外的瓷砖数依次为：
，则 ，所以最外层为红色瓷砖，共有10层，
所以红色瓷砖多，从外到内，每两层，红色瓷砖比白色瓷砖多8块，所以共多了40块。
10、刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，
恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
【分析】若增加了1层，则现在最外层共有：40棵树，所以最外层每边共有： ；
若增加了２层，则 ，此时最外层有： （棵）树。11、如图21-1，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成。现在要在草地上种花，要求在草
地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点
阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？
【分析】将三个小三角形抽离出来，一个小三角形草地有花共： （朵），所以共有
54×3=162朵。
12、有10000人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以20人为一排。前进过程中，
排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米。那么这支游行队伍的长度为多少米？
【分析】根据题意，每支队伍有400人，则共可以分成20排，所以这支队伍的长度为：
（米）。
超越篇：1、如图21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100米、宽为70米。现在需要在所有道
路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最
少要种多少棵树？
【分析】由于 ，则对于长与宽的一半来说，不计定点，分别需要种植9棵树与6棵树，则最少
要种 （棵树）。
2、在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图21-3中的阵列
类似。从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及
两层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
【分析】
（1）每相邻两层相差6人，则120=60+66，所以最外层有：66人；
（2）这个阵列中共有： （人）；
（3）现在用一、二年级将其填满，还需要有： （人）。3、若干名男生站成一排，站好后铮铮的左侧有15人，昊昊恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他
们自己）一共有3人。队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案）
【分析】若铮铮在昊昊的右侧，则共有： （名）；
若铮铮在昊昊的左侧，则共有： （名）；
4、铮铮拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一刀，结果绳子被剪成了3段。如果铮铮把这根绳子对折3次，
再从中间剪2刀，绳子会被剪成几段？如果铮铮把这根绳子对折4次，再从中间剪3刀，绳子会被剪成
几段？
【分析】由于对折1次会有两根；对折2次会有四根；对折3次会有8根；此时再从中间剪两刀，中间部
分会有8段，左边会有5段，右边会有4段，共有17段；
如果铮铮把这根绳子对折4次，从中间剪3刀，中间部分会有16×2=32段；右半部分会有16÷2=8段；左部
分会有9段，此时共会有49段。
5、水池周围种了一些树，铮铮和包包沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵树。由于两人的出发地
点不同，因此铮铮数的第20棵在包包那儿是第7棵，铮铮数的第7棵在包包那儿是第94棵。请问：
水池四周一共种了多少棵树？
【分析】令铮铮一开始在第1棵树上，则铮铮数的第20棵树由于在包包那儿是第7棵树，所以一开始包包
在第14棵树上。
铮铮数的第7棵树与包包数的第94棵树即第94+14-1=107棵树是同一个位置，所以水池四周一共种了100
棵树。
6、昊昊用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去28个棋子，使得图形变成一个三层的
空心方阵。开始时昊昊可能摆了多少个棋子？
【分析】若这28个棋子是放在里面，则开始时昊昊共摆了36+44=80个；
若这28个棋子时放在外面，则共有20+12=32个棋子；
若这28个棋子可以部分放在最外层，部分放在最里层，则有： 。
所以开始时，昊昊可能摆了： 个棋子；
7、阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外面一圈都是男生，
往内一圈都是女生，然后是男生……如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学
生多少人？
【分析】由于 52 不是 8 的倍数，所以最里层为男生，有 4 名学生，共有 13 层。他们的和为：
。8、如图21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵。和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。
（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？
（4）已知一个空心三角阵共有108枚棋子，如果增加42枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增
加这42枚棋子。
【分析】
（1）共有： 枚；
（2）
；
（3）87枚；
（4）中心用7枚补一条边，外面用35枚补两条边
