文档内容
第 24 讲 抽屉原理二
内容概述
抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设
计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．
典型问题
兴趣篇
1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？
答案：7
详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。
2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依
次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？
答案：3
详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。17÷8=2……1，2＋1=3名。
3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，
请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．
详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。
4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和
不小于8。
详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么
后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。
5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：
(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。选出51个数，
必有两数来自一组，即差为50.
(2)在这51个数中，一定有两个数差1．
详解：构造差为 1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。必有两数来自一
组，即差为1.6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于
4？
答案：12
详解：构造差为4的抽屉：（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）、（9,13）、（10，14）、（11，
15）、（12,16）、（17,21）、（18）、（19）、（20）共12个抽屉，最多取12个数。
7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？
答案：7
详解：构造和为12的抽屉：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6）共6个抽屉，
至少取7个。
8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；
详解：将全部自然数按照除以3的余数分成3组，则4个数中必有两数来自于同一组，即除以 3同
余，那么这两个数的差是3的倍数。
(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？
详解：将全部自然数按照除以7的余数分成7组，则8个数中必有两数来自于同一组，即除以 7同
余，那么这两个数的差是7的倍数。
9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数
字相同的两位数．
答案：12
详解：即差是11的倍数，将全部自然数按照除以11的余数分成11组，那么至少取出12个数，才
能保证必有两数来自于同一组。
10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的
距离不大于1．
详解：顺次连接三角形的各边中点，将原三角形分成4个相等的边长为1的小等边三角形，选5个
点，必有两点来自同一个小三角形，那么这两点的距离肯定不超过1.
拓展篇
1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染
色方式是一样的．详解：图形共有5列，而每列染色的情况共有4种：白白、白黑、黑白、黑黑，必有重复。
2．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三
位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等．
详解：由数字1、2、3组成的三位数共33=27种，三十位数可截取28个三位数，必有重复。
3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到
的花生颗数一样多？
答案：4
详解：1＋2＋…＋9=45,140÷45=3……5，3＋1=4只。
4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角
线上的和互不相同？
答案：不能
详解：4行、4列、2条对角线，共需要10个不同的和，而由1、2、3中取出4个数的和有4、
5、……、12，共只有9种，所以不能。
5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 100？最
多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？
答案：50,50
详解：和为100的抽屉共有50个，（1,99）、（2,98）、……、（50），最多取50个数。
差为5的抽屉共50个(10个数一大组，每大组分5小组)，最多取50个数。
6．如果在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n 最大是多
少？
答案：36
详解：12个数一大组，每大组分成差为 6的6个小组，每组2数。取19个数，最多18组，那么
n=36.
7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？
答案：26
详解：相邻两个自然数互质，构造抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（49,50），共25个抽屉。至少取26个数。
8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多
能取出多少个数？
答案：15
详解：按照除以7的余数构造抽屉：（余1:5个）、（余2：5个）、（余3:4个）、（余4:4个）、
（余5:4个）、（余6:4个）、（余0:4个），余1组和余6组不能同时选择，所以选择元素个数多
的余1组，同理选择余2组，余3组和余4组任选一组，余0组最多从中选1个元素，那么5＋5＋
4＋1=15个。
9．请说明：任意5个数中必有3个数的和是3的倍数．
详解：将全部自然数按照除以3的余数分成3组，那么如果5个数中存在3个数除以3的余数相同，
那这3个数之和是3的倍数；如果5个数中不存在3个数除以3同余，则必然存在3个数除以3分
别余0、1、2，那这3个数的和是3的倍数。
10．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
详解：按除以 10的余数分类，构造 6个抽屉：（0）、（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,8）、
（5），选7个数，必有2数来自于同一组。
11．有9个人，每人至少与另外5个人互相认识．试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认
识．
详解：设这9人为A、B、C、D、E、F、G、H、I，不妨设A认识B、C、D、E、F这5人，B除
了认识A外还认识4人，这4人必然有一人是C、D、E、F这4人中的一人。
12．(1)在一个边长为1的正方形里放入3个点，以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？
答案：
详解：正方形内最大的三角形是与正方形等底等高的三角形，面积是正方形面积的一半。
(2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三点不共线，请说明：这9个点
中一定有3个点构成的三角形面积不超过 ．
详解：将正方形等分成4个小正方形，9个点至少有3个点落入同一个小正方形，然后利用
（1）的结论。超越篇
1．从l至12这12个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的
倍数？
答案：6
详解：根据倍数关系构造抽屉：（1,2,4,8）、（3,9）、（5,10）、（6,12）、（7）、（11）共6个
抽屉，所以最多能选出6个数。
2．(1)请说明：在任意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍数；
详解：将全部自然数按照除以67的余数分成67组，则68个数中必有两数来自于同一组，即除以
67同余，那么这两个数的差是67的倍数。
(2)请说明：在1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是67的倍数．
详解：将这列数按照除以67的余数分成67组，则必有两数来自于同一组，即这两个数的差是67
的倍数，而这两个数的差定是形如 11…100…0这样的数，那么前面那若干个1组成的数必定是67
的倍数，即属于此数列。
3．求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得
(a – b)×(c – d)×(e – f)是105的倍数．
详解：这8个数中必有两数是除以7同余的，即它们的差是7的倍数，剩下的6个数中，必有两
个数是除以5同余的，即它们的差是5的倍数，再剩下的4个数中，必有两个数是除以3同余的，
即它们的差是3的倍数，这三个差相乘，便为105的倍数。
4．从l至25这25个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于
另两个不同数的乘积．
答案：22
详解：这25个数中2的倍数最多，其次是3的倍数…，当去掉2、3、4时，结论成立。
5．25名男生与25名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生．
详解：将每个位置1~50编号，则至少有13个女生在奇数号或偶数号，不妨设在奇数号，那么总共
25个奇数中选出13个，必有相邻两奇数号上坐女生。
6．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇
形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的 n个扇形中总能恰好取
出3个，这3个扇形能覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
答案：9详解：全部的可能情况共4种：
，先保证从每组里都选出两个，那么这是再选一个，无论来自哪组，都可
凑出一整组。2×4＋1=9个。
7．(1)将一个5×5的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，
四个顶点处的四个方格同色；
详解：总共25个格子，颜色多的至少有13个，不妨设黑色多，而且至少有3行比白色多，假设其
中的2行如下图1所示，这2行中必有1列两个都是黑色，称为特殊列，那么黑色多的第3行至少
有3个，若这3个都没有在特殊列，则结论成立，若这3个有1个落在特殊列，那么另2个不论落
在哪列，特殊列都会与之搭配。
(2)将一个4×19的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形
四个顶点处的四个方格同色．
详解：颜色最多的至少有26个，而且至少是（7,7,6,6）这样组合，如果前3行按照（7,7,6）排列的
话，至少产生一个特殊列，将表格分成4部分，那第四行的6个必有两个在同一区域，则结论成立。
8．从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于4也不等于7?
答案：910
详解：取出这些数从小到大排列，只需讨论相邻两数的差。这些差形成如下数列：
1,2,3,4,2,1,2,3,3,2……不难发现，循环节是1,2,3,3,2 。1＋2＋3＋3＋2=11， 2000÷11=181…… 9
2＋1＋2＋3=8， 9－8=1，即当循环节顺序为2,1,2,3,3且第一个数为1时，可取数最多，有
181×5＋4＋1=910个。
