文档内容
第19讲 格点与割补
内容概述
明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不
规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.
典型问题
兴趣篇
1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?
答案：4平方厘米 2平方厘米 8平方厘米
【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方
形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+10÷2-1)×1=4(平方厘
米)
有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+4÷2-1)×1=2(平方厘米)
有N=5，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（5+8÷2-1)×1=8(平方厘米)
2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?
答案：5平方厘米 5平方厘米 0.5平方厘米
【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方
形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米)
有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米)
有N=0，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（0+3÷2-1)×1=0.5(平方厘米)
3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案：19平方厘米
【分析】 方法：交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公
式：（N+ -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格
点数．
有N=7，L=17，则用粗线围成图形的面积为：（7+7÷2-1)×2=19(平方厘米)
4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 l平方厘米．三个
多边形的面积分别为多少平方厘米?
答案：6平方厘米 6平方厘米 14平方厘米
【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正
三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(0×2+8-2)×1=6(平方厘
米)．
有N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1=6(平方厘
米)．
有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+7-2)×1=14(平方厘米)．
5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角
形EFG的面积分别是多少平方厘米?
答案：20平方厘米 10平方厘米
【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正
三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘
米)．
有N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+4-2)×1=10(平方厘
米)．
6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)答案：32平方厘米
【分析】3×2+2×4+（5-2）×（3+1+2）=32
7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边
长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．
答案：16平方厘米
【分析】先算正方形面积6×6=36 再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2×2=4 后算左下
角和右上角三角形面积4×4÷2×2=16 36-4-16=16
8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边
形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?
答案：25平方厘米
【分析】 =DC×BC=5×7=35，HC=BC-BH=7-3=4，所以
= ×CD×HC= ×5×4=10．
= - =35-10=25(平方厘米).
9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方
形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图
中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米
【分析】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形．
其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角
形4个，B形三角形8个．
所以，阴影部分面积恰好为大 正方形面积的 ，即为
×10×10=50(平方厘米)．
10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．
答案：14平方厘米
【分析】 方法：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：
（N+ -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-1)×4=14(平方厘米)
拓展篇
1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 l平方厘米．这三个多边
形的面积分别是多少平方厘米?
答案：7.5平方厘米 6.5平方厘米 9平方厘米
【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方
形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（4+9÷2-1)×1=7.5(平方厘
米)
有N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（3+9÷2-1)×1=6.5(平方厘米)
有N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（4+12÷2-1)×1=9(平方厘
米)
2. (1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?
(2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?
答案：17平方厘米 56平方厘米
【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方
形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+13÷2-1)×2=17(平方厘
米)
【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正
三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+8-2)×4=56(平方厘米)．
3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?
答案：14平方厘米
【分析】 方法：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分
的面积。正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方形面积，其中
N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=21，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（21+8÷2-1)×1=24(平方厘
米)
有N=5，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（5+12÷2-1)×1=10(平方厘
米)
24-10=14平方厘米
4．如图19-15和图19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这
些分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图19-16中的阴影部分的
面积是多少平方分米?答案：200平方分米
【分析】 在图19-15中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部
分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原
正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．
而在图19-16中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴
影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．
5．如图19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是
36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?
答案：32平方厘米
【分析】在A中做一条对角线，三角形会被平分为4部分，整个三角形面积为72，在B
中连接两条对角线，整个图形被分为9部分，B占四部分。
36×2=72 72÷9×4=32
6．如图19-18所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中
点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?
答案：2.25平方厘米
【分析】 如下图，我们将图19-18分成大小、形状相同的三角形，有正六边
形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．
正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为 6÷24= ，所
以三角形MNP的面积为9× =2.25(平方厘米)．
7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?
答案:18平方厘米
【分析】先算两个正方形面积 4×4+6×6=52,再算两个空白三角形面积 6×6÷2=18
4×(4+6)÷2=20 最后算左上角小阴影三角形面积4×(6-4)÷2=4
52-18-20+4=18
8．图19-20中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，
CF长3厘米，求阴影部分的面积．
答案：27平方厘米
【分析】 如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．
△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有 6个小等腰三角形，S
=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.5÷9×6=27(平方
厘米)
9．图19-21是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5
米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为
0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?
答案： 平方米
【分析】：将下图中一些点标上字母．延长AB交正方形边EF于H点
我们先求出梯形 JICK与正方形IFEC的面积和，再求出三角形AFH与梯形
AHED的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求 阴
影部分的面积= ×(1.5+1)×0.5=0.625，
=1×1=1．
= ×AH×FH= ×（AB+BH）×( FE)= ×(0.5+1)-（ ×1）
=0.375，
= ×(AH+DE)×HE= ×(AB+BH+CE-CD)×( FE)= ×(0.5+1+1-
)×( ×1)= ．
有 = + - - =0.625+l-0.375- = ( 平 方
米)．
即阴影部分的面积为 平方米．
10．在图19-22中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多
少平方厘米?
答案：6.5平方厘米
【分析】 正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方形面积，
其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+ -1)×1=6.5(平方厘米)
11．如图19-23，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．答案：38平方厘米
【分析】 先算每个小正方形面积：96÷（6×8）=2平方厘米。正方形格
点阵中多边形面积公式：（N+ -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数
L为图形周界上格点数．
有N=8，L=21，则用粗线围成图形的面积为：（8+24÷2-1)×2=38(平方厘
米)
12．如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘
米?
答案：17平方厘米
【分析】正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形
面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=6，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(6×2+7-2)×1=17(平方厘米)．
超越篇
1．图19-25中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?
答案：34平方厘米
【分析】大面积减小面积：
（41+ -1）-（19+ -1）=34（平方厘米）
2．如图19-26，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米．在每个点都钉上钉子，形成4
行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?(面积
相同但形状不同的三角形算一种)
答案：9种【分析】由小到大，共9种。
3．已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图19-27中不同方式切割(切割点均为等分点)，
形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?
答案：18平方厘米 54平方厘米 24平方厘米
【分析】把每个图形分割成若干个相同的小正三角形
72÷24×6=18（平方厘米）
72÷24×8=54（平方厘米）
72÷18×6=24（平方厘米）
4. 图19-28为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分
的面积为多少平方厘米?
答案：0.8平方厘米
【分析】2×2÷5=0.8（平方厘米）
5．如图19-29所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积
是多少平方厘米?(单位：厘米)
答案：20平方厘米
【分析】 将AD、BC延长交于E，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE为
等腰直角三角形，有EC=DC．
而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有
EA=AB．有 = ×AB×EA= ， = ×EC×DC= ．
有 = - = - =20．
6. 如图19-30所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7．问：这个图形的
面积最大可能是多少?
答案：26平方厘米
【分析】5×4+2×3=26（平方厘米）
7．如图19-31，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A、B、C、D．已知图
中每一个小方格的面积都是l，请选出一个合适的格点P，使得三角形PAC的面积尽可能小
(不能等于0)，那么这个最小的面积是多少?
答案：10平方厘米
8．正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形(边长也为l厘米)，如图19-32．那
么空白部分面积等于多少平方厘米?
答案：6平方厘米
【分析】将每个正三角形的顶点与正十二边形的中心点连接，并将每两个正三角形顶点
顺次连接，即由一个阴影三角形和两个空白三角形组成一个正方形，面积是 1，两个空白
三角形面积是其中的一半0.5.图形中总共24个空白三角形，即面积为0.5 （ ）=6
（平方厘米）
