文档内容
第1讲 整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方
法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8;
答案：484
解析：原式=121×（32÷8）=121×4=484
(2) 4×(250÷8)
答案：125
解析：原式=(4×250)÷8=1000÷8=125
(3) 25×83×32×125
答案：8300000
解析：原式=（25×4）×（8×125）×83=100×1000×83=8300000
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44
答案：5544
解析：原式=56×（22+33+44）=56×99=56×（100-1）=56×100-56×1=5600-56=5544
(2) 222×33+889×66.
答案：66000
解析：原式=111×66+889×66=66×（111+889）=66×1000=66000
3. 计算：(1) 37×47+36×53
答案：3647
解 析 ： 原 式 = （ 36+1 ） ×47+36×53=36×47+1×47+36×53=36×
（47+53）+47=36×100+47=3600+47=3647
(2) 123×76－124×75
答案：48
解析：原式=（124-1）×76－124×75=124×76-1×76－124×75=124×（76-75）-76=124-
76=48
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
答案：55
解析：原式=（100-99）+（98-97）+（96-95）+…+（12-11）+10=1×45+10=55
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
答案：51解析：原式=（50+49－48－47）+（46+45－44－43）+…+（6+5－4－
3）+2+1=4×12+2+1=51
6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).
答案：101
解析：原式=1+3+5+7+…+199+201-2-4-6-8-…-198-200=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+…
+（199-198）+（201-200）=1+1×100=101
7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
答案：2500
解析：原式=（1+49）×49÷2×2+50=50×49+50=50×（49+1）=50×50=2500
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干
个7和8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新
生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个
口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数
的和是多少？
答案：22478
解析：6595→695→9695→995→9995→999→99
695+9695+995+9995+999+99=22478
9. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8 10; (2) 10 8.
答案：81；77
解析：（1)原式=（8+1）×（10-1）=9×9=81
（2）原式=（10+1）×（8-1）=11×7=77
10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)☺4; (4)6☺ (5☺4)
答案：27；27；53；49
解析：（1）原式=5×8-（5+8）=40-13=27
（2）原式=8×5-（8+5）=40-13=27
（3）原式=【6×5-（6+5）】☺4=【30-11】☺4=19☺4=19×4-（19+4）=76-
23=53
（4）原式=6☺【5×4-（5+4）】=6☺【20-9】=6☺11=6×11-（6+11）=66-17=49
拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);
答案：144
解析：原式=72×27×88÷9÷11÷12=（72÷12）×（27÷9）×（88÷11）=6×3×8=144(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).
答案：2420
解析：原式=31×121－11×（8×125）÷1000×121=31×121－11×1000÷1000×121=31×121－
11×121=（31-11）×121=20×121=2420
2. 计算：(1) 555×445－556×444;
答案：111
解析：原式=（556-1）×445－556×444=556×445-1×445－556×444=556×（445-444）-
445=556-445=111
(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.
答案：13748
解 析 ： 原 式 =42×137+58×138 － 80÷15 － 70÷15=42× （ 138-1 ） +58×138 －
（80÷15+70÷15）=42×138-42×1+58×138－（80÷15+70÷15）=（42+58）×138-（80+70）
÷15-42=100×138-150÷15-42=13800-10-42=13748
3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.
答案：2009
解 析 ： 原 式 = （ 20092008+1 ） ×2009 － 20092008×2008 －
20092008=20092008×2009+1×2009－20092008×2008－20092008=20092008×（2009-2008-
1）+2009=2009
4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
答案：1584
解析：原式=（1+2－3）+（4+5－6）+（7+8－9）+……+（97+98－99）=0+3+6+……
+96=（0+96）×33÷2=48×33=1584
5. 计算：100×99－99×98+98×97－97×96+96×95－95×94+…+4×3－3×2+2×1.
答案：5000
解 析 ： 原 式 =99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+… … +3×(4-
2)+2×1=2×(99+97+95+……+3+1)=2×(1+99)×50÷2=5000
6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的
数之和. A与B的差是多少？
答案：500
解析：从1到10，从11到20，从21到30，……这样每10个数中都有一个个位数字是
3和一个个位数字是8的数。且每一组两个数的差都是8-3=5,1000÷10=100,100×5=500
7. 求图1-1中所有数的和.答案：495
解析：每一列的数字和构成等差数列求和=中间项×项数，即3×5+5×5+×7×5+……+19×5=
（3+5+7+……+19）×5=（3+19）×9÷2×5=11×45=495
8. 已知平方差公式： ，计算：
答案：210
解析：原式=（20+19）×（20-19)+(18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
=20+19+18+17+……+2+1=（20+1）×20÷2=210
9. 计算：951×949－52×48.
答案：900003
解析：平方差公式，原式=（950+1）×（950-1）-（50+2）×（50-2）=9502-12-（502-22）=
（ 9502-502 ） + （ 22-12 ） = （ 950+50 ） × （ 950-50 ） + （ 2+1 ） × （ 2-1 ）
=1000×900+3×1=9000003
10. 规定运算“ ”为：a b=a+2b－2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6)
（1）答案：30
（2）答案：40
（1）解析：原式=（8+2×7-2） 6=20 6=20+2×6-2=30
(2) 解析：原式=8 （7+2×6-2）=8 17=8+2×17-2=40
11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么
数？
答案：4
解析：6 x=（6+1）×(x-2)=91 x=15
y 5=(y+1)×(5-2)=15 y=4
12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如：3 5=5，3 5=3请计算：1 2 3 4 5 6 7 … 100.（运算的顺序是从
左至右）
答案：99
解析： =大数， =小数，100前面为 ，99前面为 ，最后为99 100=99
超越篇
1. 观察下面算式的规律：
2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样
写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多
少？
答案：-20，-14，+8，+2；2002
解析：原式按符号分组
（2000+1994-1988-1982）+（1976+1970-1964-1958）+（1952+1946-1940-
1934）+……
每组第一个数公差为24
2000÷24=83……8
所以最后4个自然数为-20，-14，+8，+2
原式为等差数列，项数为：（2000-14）÷6+1=332
共有332÷4=83组
每一组和为24，所以原式=24×83+8+2=2002
2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘
积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？
答案：750
解析：1×（2+4+6+8+10)+3×（2+4+6+8+10)+5×（2+4+6+8+10)+7×（2+4+6+8+10)+9×
（2+4+6+8+10)=(1+3+5+7+9)×（2+4+6+8+10)=30×25=750
3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
答案：2500
解析：原式=(1－3+6－10+15－21+28－……+4950)×2÷2
=(99×100-98×99+97×98-96×97+……+3×4-2×3+2)÷2
=[(99+97+95+……+3)×2+2]÷2
=(3+99)×49÷2+1
=25004. 已知平方差公式： , 计算：
答案：10100
解析：原式=
…… +
=（100+98）×（100-98）+（99+97）×（99-97）+（96+94）×（96-94）+……
（4+2）×（4-2）+（3+1）×（3-1）
=394×2+378×2+……10×2
=（394+378+……10）×2
=10100
5. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 3=4+5+6=15, 5
4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4 15 (2) 在算式（ 7） 11=1056中，方框里的数
应该是多少？
答案：165；10
解析：（1）原式=4+5+6+……17+18
=（4+18）×15÷2=165
（2）小括号外等差数列中间数：1056÷11=96
小括号内等差数列和：96-5=91
小括号内等差数列中间数：91÷7=13
所以方框里的数为：13-3=10
6. 定义两种运算：a b=a－b+1, a b=a×b+1, 用“ ”、“ ”和括号填入下面的式子，
使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=2
答案：（7 A3）Ω（4 5）=2
7.现定义四种操作的规则如下：
①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上1， 然
后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304
可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）
③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一
个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从98707可以得到77908，
从802可以得到28. （不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）
④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0. 例如从111可以得到110，从905可以
得到900. (个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作)
(1) 请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果：
(2) 从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？
(3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
答案：700；6次；18个
解析：（1）4716——7416——3708——7308——708——700
(2)655687——327844——278——728——364——6——0 共6次
（3）161——178 共18个
8. 求有多少个这样的三位数.
图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？
答案：1155
解析：（1+2+3+……+8+9）+（4+6+8+……+16+18）+（9+12+……24+27）+（16+20+……
32+36） +（25+30+……+40+45）+（36+42+48+54）+（49+56+63）+（64+72）+81
=45+88+126+156+175+180+168+136+81
=1155
