文档内容
第18讲 行程问题三
内容概述
运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑
多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找
到规律.
典型问题
兴趣篇
1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，
便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果
莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米?
答案：159
详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一
共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍
53×3=159
2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分
钟．求小燕往返都骑车所需的时间．
答案：30分钟
详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50
步行+步行=70得知
一个全程 骑车比步行多用20分钟
70－2×20=30分钟
3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家
走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走
了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行 260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥
家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点
了?
答案：差4分钟
详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分， 在这段时间小悦行走了
4000/260×60=12000/13米 同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程
差，路程差÷速度差=追及时间， 所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追
上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800
米，走这2800米的速度为175米/分 所以用的时间是2800÷175=16分，
因此本题所用总时间分三部分 从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去
时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午 2点时培英学校派车去电视机厂接劳
模来校作报告，往返需用1小时．实际上这位劳模在下午l点便提前离厂步行向学校走来，
途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达 问：汽车行
驶速度是劳模步行速度的几倍?
答案：8倍
详解：由题意知汽车单程走了40÷2=20分钟。比计划时间60÷2=30少用10分钟，这10分
钟是劳模从1点到1点20共80分钟走出来的路程，所以在同样的路程汽车要10分钟，而
步行要80分钟，所以汽车速度是步行速度的8倍。
40÷2=20 60÷2=30 30－20=10 1时20分=80分 80÷10=8
5．快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 4小时在途中相遇．相遇后两
车继续向前行驶．慢车到达甲地后停留1小时再返回乙地．快车到达乙地后停留2.5小时再
返回甲地．已知慢车从乙地到甲地用了12小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要
多长时间
答案：10小时。
详解：慢车行完全程要12小时，相遇前行了4小时，那么相遇后应该还要走8小时，相遇
后走的8小时是快车相遇前走的4小时的路程，所以快车慢车的速度比是2：1，所以快车
走完全程需要6小时，那么快车走从相遇地点到达乙地用的时间是慢车的二分之一，2小
时，所以快车到达乙地，再停留2.5小时，所以第一次相遇后4.5小时开始往回走，慢车从
相遇后到达甲地用的时间是甲相遇前的2倍，4×2=8小时，停留1小时，所以相遇后9小时
慢车开始从甲地往回走，这时快车已经走了 9-4.5=4.5小时，还余下1.5小时的路程，这段
路程有两个人合走，要1.5×2÷3=1，所以从第一次相遇到第二次相遇，共用9+1=10小时。
12-4=8 8÷4=2 12÷2=6 4÷2/=2 2+2.5=4.5 6-4.5=1.5
1.5×2÷3=1 1+9=10
6．甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行
驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：
(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?
(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次相遇?
(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?
答案（1） 6小时 （2）12小时 （3）12小时
详解：合走一个全程 路程和÷速度和300÷（30+20）=6
（2） 第二次相遇合走2×2－1=3个全程 3×6=18 18-6=12
（3） 第三次相遇合走2×3-1=5个全程 5×6=30 30-18=12
相对出发 迎面相遇n次 合走2n-1个全程
7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲
车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：
(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?(2)第一次迎面相遇后又经过多长时问甲、乙两车第二次迎面相遇?
(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇?
答案：（1） 12 （2） 12 （3）12
详解：（1）第一次相遇 两个人合走2个全程 300×2=600 600÷50=12小时。
（2） 第一次相遇到第二次相遇 合走2个全程 答案同第一
（3） 每两次相遇都用12小时
8．A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行．在距甲站50千米处两车第一次迎面
相遇，相遇后两车继续前进(保持原速)各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回．在距乙
站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远?若两车继续前进，则在何处
第三次迎面相遇?
答案：120千米。 在距离甲地10千米处相遇
详解：选取A为研究对象。第一次相遇两人合走一个全程，A走50千米，第二次相遇合走
3个全程，A走3×50=
150千米，150千米比一个全程多了30千米，所以全程是150－30=120千米。
第三次相遇合走5个全程，那么A走50×5=250 250÷120=2...10 所以在距离甲地10千
米处相遇。
9．A、B两辆汽车同时从甲地出发，在甲、乙两地间不断往返行驶．第一次迎面相遇距离
甲地40公里，第二次迎面相遇距离乙地10公里．求甲、乙两地之间的距离．
答案：120公里
详解：第一次相遇时两车合走了一个全程，A车走了0公里，即两车每合走一个全程A车
就走40公里，第二次相遇时，两车合走了3个全程，那么A车走了3个40即3×40=120公
里。
10．A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米．请问：
(1)如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?
(2)如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆
电车迎面开来?每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他?
答案：（1） 6分钟（2） 10分钟 15分钟
详解： 12分钟=1/5小时 相邻两辆车的间隔路程 25×1/5=5千米，
（1） 迎面相遇 路程和÷速度和 5÷50=:1/10小时=6分钟
（2）同第一 5÷30=1/6小时=10分钟
追及问题 路程差÷速度差 5÷20=1/4小时=15分钟
拓展篇
1. 甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲出发 6分钟到达A地．此时
乙距离起点150米．又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米．问：乙比甲晚出
发多长时间?
答案：5分钟详解：设起点为O点，设甲到达A地时，乙到达B地，距离O点150米，当乙到达A地时
设甲到达C地。
甲从O到A用了6分钟， 从A到C用了3分钟，从A到C共用了9分钟，走了900米，
所以速度是100米每分，所以A地距离O地是6×100，所以AB两地间距离是600-150=450.
450÷3=150 150÷150=1 6－1=5分钟
2．自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行
车队．然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次
追上时恰好离出发点18千米．自行车队每分钟行多少千米?摩托车每分钟行多少千米?
答案：
自行车队500米/分 摩托车速度为1500米/分
详解：当摩托车第一次追上自行车队时，距离出发点是 9千米，再次追上时自行车队距离
出发点是18千米，所以在两次追及期间自行车队前进了9千米，而摩托车共行驶了9×3千
米，所以，摩托车的速度是自行车的3倍，所以可知当第一次追上时自行车队行了9千米，
而摩托车也行了9千米，而摩托车的速度是自行车的3倍，所以走同样的路程摩托车所用
时间是自行车的1/3. 差 2/3 差12分钟，所以12÷2/3=18分钟，即自行车走9千米
用了18分钟，速度为9000÷18=500米/分 摩托车速度为500×3=1500米/分
3．乌龟与兔子进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍．当它们从起点一起出
发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它5000
米，于是奋起直追．当乌龟到达终点时，兔子仍落后 100米．请问：兔子睡觉期间，乌龟
跑了多少米?
答案：8020米
详解：当乌龟到终点时，兔子跑了10000-100=9900米，假如兔子没有睡觉，那么当它跑
9900米时，乌龟的路程只能是它的1/5 9900×1/5=1980 而实际当兔子跑了9900米
时，乌龟跑了10000米，所以在兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米。
4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇．相遇后，两
车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的
速度返回A地．请问：
(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A地?
(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了．而且当它经过C地的时候，
乙车正好到达A地．甲车返回的速度是原来速度的多少倍?
答案：（1）28小时 （2）1/8
详解：（1）相遇后甲车用了4小时走了相遇前乙车12小时走的路程，即走同样的路
程甲车用的时间是乙车的1/3 即甲车速度是乙车速度的3倍，所以乙车在相遇后从C点
行驶到A地所用时间应该是甲车所用时间的3倍即12×3=36小时，甲车从C点到B点再从
B点回到C点用4×2=8小时，36－8=28小时。
（2）由第一知乙车从C地到A地用36小时，甲车从C地到B地用4小时，那么当乙
车到达A地时，甲车用了36-4=32小时从B地到达C地，原来用4小时，所以速度是原来
的4÷32=1/85．某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他上班．但今天早晨，工程师临时决定
提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽
车，他马上上车赶到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是几点几分?
答案：7点45分
详解：由于平时是8点上车，准时到，今天比准时早到了30分钟，说明提前上车了30分
钟，所以单程少了15分钟，是7点45上车。
6．甲、乙两车分别从相距900千米的A，B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．
已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：
(1)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?
(2)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?
(3)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?
答案：相对出发迎面相遇N次，共同行驶2N-1个全程，
（1）第二次相遇共行驶2×2－1=3个全程，900×3÷（25+20）=60小时
（2）相邻两次相遇间差两个全程的距离即路程和，900×2÷（25+20）=40小时
（3）180小时
7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲
车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：
(1)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?
(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙车?
(3)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?
答案：（1）180小时（2）180小时（3）80小时
详解：同地点出发，后面追上走的快的比走的慢的要多走一个全程，
（1）路程差÷速度差 900÷5=180
（2）同第一 900÷5=180
（3）第二次迎面相遇 合走4个全程 路程和÷速度和 900×4÷45=80
8．A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并在两地间不断往返行驶．两车在距离甲
地40公里处第一次迎面相遇，在距离甲地10公里处第二次迎面相遇．求甲、乙两地之问
的距离．
答案：65公里或者55公里
详解：第一次相遇两人合走一个全程，每合走一个全程 A走40公里，第二次相遇合走了
2×2-1=3个全程，A走3×40=120公里，这时距离甲地还有10公里，
第一种情况：A 走了不到两个全程，即两个全程是 120+10=130 公里，一个全程是
130÷2=65公里。第二种情况：A走了两个多全程，即120公里比两个全程多10公里，(120-10）÷2=55公里。
9．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走．当甲走了3个来
回的时候，乙恰好走了5个来回．在甲、乙两人行进的过程中，两人一共相遇了多少次?
(迎面碰到和追上都算相遇)
答案：10次
详解：相对出发，两个人共走了8个来回，共16个全程，迎面相遇了（16+1）÷2=8次，
相对出发，甲比乙多走了4个全程，第一次追上甲比乙多走一个全程，第二次甲追上乙多
走两个全程，所以共追上2次。共10次
10．小明和小刚的速度分别为每分钟90米和每分钟70米．早上8：00他们分别从A、B两
站同时出发，相向而行，第一次相遇后两人继续前进，分别到达B、A后返回并在途中第
二次相遇．第二次相遇地点距离 A、B两站的中点450米．从两人同时出发到第二次相遇
总共经历了多少分钟?A、B两站的距离为多少米?他们第一次相遇是几点几分?
答案：AB两站相距2400米 第一次相遇是8：15分
详解：第二次相遇地点距离中点450米，即小明比小刚多走了450×2=900米，他们速度差
是90－70=20米，要形成900米的路程差要900÷20=45分，共走了45×（90+70）=7200米，
第二次相遇共走了3个全程，一个全程7200÷3=2400米
第一次相遇用时：2400÷（90+70）=15分 所以第一次相遇是8点15分。
11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度
是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到
达同一地点即称为相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米．请问：两地之间的
距离是多少千米?
答案：250千米
详解：甲乙两车速度分别是15和35 可以看成是3分份和7份，即每和走一个全程甲走
3份，乙走7份，全程共10份
取甲为研究对象，第三次相遇合走3×2－1=5个全程，甲走3×5=15份，15÷10...5
第四次相遇合走4×2－1=7个全程，甲走3×7=21份，21÷10...1
两次相遇地点差4份，差100千米， 5－1=4 每份 100÷4=25 25×10=250
12．某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔
都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地
的公共汽车．问：公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车?
答案：8分
详解：相邻两辆车的间距是相等的，设人的速度为 a. 电车速度为 b. 根据题意得
6(a+b）=12(b_a)整理得b=3a.设相邻两趟车的时间间隔为t分 由题意得12(b-a)=b×t即24b=b×t. 所以t=8
超越篇
1．每天早上7：30王经理都从家出发，由司机开车前往公司，8：00准时到达．然后司机
开车原速返回王经理家．一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果
9：00才到．而司机8：10就已经回到王经理家中．请问：车速是王经理步行速度的多少
倍?如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，结果
8：30就赶到了公司．司机回到王经理家应该是几点几分?
详解：（1）从早上7：30到8：00共30分钟；第二天从早上7：30到9：00共90分钟，
而王经理坐车时间是20分钟，所以坐车10分钟相当于步行70分钟，所以
车速是步行的7倍。
（2）因为车速是步行的7倍，车速与步行的差为：30÷（7－1）=5分钟，所以
车的时间为：（20+5）×2=50分钟，从早上7：30开始经过50分钟为：8：
20.
2．一辆大轿车与一辆小轿车从甲地驶往乙地．大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知
大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停留了5分钟，然后继续驶往乙地；小轿车
出发后中途没有停留，直接驶往乙地．最后小轿车比大轿车早 4分钟到达乙地．已知大轿
车是上午10点从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间．
详解： 16÷（5－4）=16分，16×5=80分钟；80×5=400份，（200－17×4）÷4=33分，
200÷5=40分钟，2×4=8分钟，总时间为：17+40+8=65分钟，
所以时间为：11：05.
3．A、B两地间相距950米．甲、乙两人同时由A地出发，并在A、B两地间往返行进．
共行讲了40分钟．甲步行速度是每分钟40米，乙跑步速度是每分钟150米．那么甲、乙
两人第几次迎面相遇时距B地最近，距离是多少米?
详解： 一次相遇时间为：2×950÷（150+40）=10分钟，
第一次相遇甲走的路程为：10×40=400米，
第二次相遇甲走的路程为：20×40=800米，
第三次相遇甲走的路程为：30×40=1200米，
第四次相遇甲走的路程为：40×40=1600米，
所以第二次相遇点距B地最近，距离为：950－800=150米。
4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶．甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米．已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千
米．问：A、B间的路程是多少千米?
详解： 把全程分为7份，第一次相遇甲走2份，乙走5份。10次相遇共走19个全程，18
次相遇共走 35 个全程。10 次相遇甲的路程为：2×19=38 份，共走全程
38÷7=5……3，共走 5 个全程零靠 B 地 3 份；18 次相遇甲的路程为、：
2×35=70份，共走全程70÷7=10，共走10个全程，在A地。所以10次与18
次相遇距4份，所以每份为：60÷4=15千米，AB间的路程为：15×7=105千米。
5．小明家在颐和园．如果他骑车到人大附中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面
开来；如果他步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．已知任
意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍．请
问：如果小明坐332路汽车到人大附中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开
来?
详解： 设全程为24份，图略，骑车与公共汽车的速度和每分钟为：24÷3=8份，步行与
公共汽车的速度和每分钟为：24÷4=6份；所以2倍=2份/分，走路：1倍=1份/分，所以
公共汽车的速度为：6－1=5 份/分，所以坐车看到公共汽车迎面开来的时间为：
24÷（5+5）=2.4分钟。
6．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行进．当甲第3次到达
B地的时候，乙恰好第5次回到了B地．请问：在甲、乙两人在行进的过程中，一共相遇
了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)
详解： 甲共走5个全程，乙共走10全程，所以乙的速度是甲的2倍，所以每次在B地都
相遇一次，共5次；路程差为：10-5=5个全程，所以3次相遇；共相遇为：5+3=8次。
7．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲
每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 60米，每隔10
分15秒遇上迎面开来的一辆电车．问：电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?
详解： 10分15秒=10.25分；鸡兔同笼：（82×10-60×10.25）÷0.25=820米/分，
时间为：（820+82）×10÷820=11分钟。
8．A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A地出发，向B地匀速前进；当游行队伍
队尾离开A地时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A地步行；甲骑车先追向
队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向
队尾，……，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头
时．甲恰好第一次到达B地，求此时乙离A地的距离．
详解A C D E F G H B
甲
乙
据题意知GB=5.6所以BH=HG=GF=FE=ED=CD=5.6/2=2.8千米
所以BC=2.8*6=16.8千米
AC=AB-BC=22.4-16.8=5.6千米
所以追击排头时行驶5.6千米，回到排尾时行驶5.6-2.8=2.8千米
当甲乙在G点相遇的时候，甲行驶5.6+2.8+5.6+2.8+5.6+2.8+5.6+2.8+5.6=39.2千米
乙行驶2.8+2.5=5.6千米
所以甲乙的速度比为39.2:5.6=7:1
当甲行驶到终点时甲行驶39.2+2.8+5.6+2.8+5.6=56千米
此时乙行驶56/7=8千米
乙距A地22.4-8=14.4千米
