23-24学年六十五中九年级（上）9月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州六十五中九年级（上）月考数学试卷（9 月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) 1 A．x2 x3 B．x2  y2 0 C．2(x3)5x D．x 0 x 2．（3分）方程(x3)(x2)0的根是( ) A．x 3，x 2 B．x 3，x 2 C．x 3，x 2 D．x 3，x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3．（3分）解一元二次方程x2 4x20，用配方法可变形为( ) A．(x2)2 6 B．(x2)2 6 C．(x4)2 18 D．(x4)2 18 4．（3分）一元二次方程x2 2x10的根的情况为( ) 学 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．升没有实数根 5．（3分）某商品原价200元，经连续两哥次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面 所列方程正确的是( ) 水 A．200(1x)2 162 B．162(1x)2 200 C．200(12x)2 162 D．162(12x)2 200 6．（3分）抛物线y3x2不具有的性质是( ) A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 1 7．（3分）已知点(x ，y )和(x ，y )在抛物线y x2上，若x  x 0，则y 与y 的大小关系( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 A．y  y B．y  y C．y  y D．无法确定 1 2 1 2 1 2 8．（3 分）若关于x的一元二次方程x2  pxq  0的两根分别为x 2，x 1，则 p、q的值 1 2 分别是( ) A．3、2 B．2、3 C．3、2 D．2、3 9．（3分）若等腰三角形的两边是方程x2 6x80的两根，则此三角形的周长为( ) 第1页（共23页）A．8 B．10 C．8或10 D．6或8 10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数yax2 c的图象大致为( ) A． B． C． D． 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）设一元二次方程x2 5x30的两个实数根分别是x 和x ，则x x  ，x x  ． 学1 2 1 2 1 2 12．（3分）二次函数y2x2向上平移3个单位长度升，则平移后二次函数解析式为 ． 13．（3分）已知xa是一元二次方程x2哥3x40的一个实数根，则代数式2a2 6a的值为 ． 14．（3分）若关于x的一元二次 水 方程x2 2xm0没有实数根，则实数m取值范围是 ． 15．（3分）在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人 数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是 ． 16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 分别是边AD、AB上 的点，连接OE、OF 、EF ，若AB 3，BC 2，DAB30，则OEF 周长的最小值是 ． 三.解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解方程： （1）x2 3x； （2）x2 4x50； （3）x(x3)x30； （4）2x2 13x． 第2页（共23页）18．（4分）关于x的一元二次方程x2 3xm10的两个实数根为x ，x ． 1 2 （1）求m的取值范围； （2）若3(x x )xx 80，求m的值． 1 2 1 2 19．（8分）已知二次函数yx2 4．   x 2 1 0 1 2 y   （1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2）由图可知抛物线开口方向为 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，当x0时，y随x的增大 而 ． （3）利用图象写出当2x 1时，y的取值范围是 ． 学 升 哥 水 20．（6分）某市2020年底已有绿化面积300亩，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2022年底增加 到363亩． （1）求绿化面积年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2023年底绿化面积是多少亩？ 21．（6分）已知关于x方程x2 axa50． （1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22．（6分）某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个， 每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元， 平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价x元． 第3页（共23页）（1）每个模型可盈利 元，平均每天可售出 个（用含x的式子表示）． （2）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 23．（6分）如图，在RtABC中，C 90，AC 6cm，BC 8cm．点P、Q同时由A、C 两点出发， 分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC  ，CQ ； 1 （2）几秒后，PCQ的面积是ABC面积的 ？ 3 24．（12分）如图，ABC 中，BC a，AC b，ABc，且关于x的方程(ac)x2 2bxca有两个 学 相等的实数根． 升 （1）判断ABC 的形状． 哥 （2）若CD平分ACB，且ADBD，AD、BD为方程x2 kxk30的两根，求k的值． （3）在（2）的条件下，若BC 水 2，求CD的长． 25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片 的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们 的延长线）于点E、F ，EDF 60，当CE AF 时，如图①小芳同学得出的结论是DE DF ． （1）继续旋转三角形纸片，当CE AF 时，如图②，小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成 立，请说明理由． （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F 分别在CB、BA的延长线上时，如图③，请写出DE与DF的数 量关系，并加以证明． （3）连接EF ，若DEF 的面积为y，CEx，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值， 第4页（共23页）最小值是多少？ 学 升 哥 水 第5页（共23页）2023-2024 学年广东省广州六十五中九年级（上）月考数学试卷（9 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) 1 A．x2 x3 B．x2  y2 0 C．2(x3)5x D．x 0 x 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、x2 x3是一元二次方程，符合题意； B、x2  y2 0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、2(x3)5x，即3x60未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 1 D、x 0不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； x 学 故选：A． 升 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数， 哥 并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．（3分）方程(x3)(x2)0 水的根是( ) A．x 3，x 2 B．x 3，x 2 C．x 3，x 2 D．x 3，x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【分析】根据题意得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可． 【解答】解：(x3)(x2)0， x30或x20， 解得x 3，x 2， 1 2 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（3分）解一元二次方程x2 4x20，用配方法可变形为( ) A．(x2)2 6 B．(x2)2 6 C．(x4)2 18 D．(x4)2 18 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【解答】解：x2 4x20， 第6页（共23页）x2 4x2， x2 4x424， (x2)2 6， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（3分）一元二次方程x2 2x10的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】先计算判别式得到△(2)2 4(1)80，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据题意△(2)2 4(1)80， 学 所以方程有两个不相等的实数根． 升 故选：B． 哥 【点评】本题考查了一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根的判别式△b2 4ac：当△0，方程有两 水 个不相等的实数根；当△0，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根． 5．（3分）某商品原价200元，经连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面 所列方程正确的是( ) A．200(1x)2 162 B．162(1x)2 200 C．200(12x)2 162 D．162(12x)2 200 【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是200(1x)2，根据关键语句“连续两次降 价后为162元”可得答案． 【解答】解：由题意得：200(1x)2 162． 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均 变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1x)2 b． 6．（3分）抛物线y3x2不具有的性质是( ) 第7页（共23页）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、a30， 开口向下，故不符合题意； B、抛物线y3x2，对称轴是y轴，故不符合题意； C、x0时y随x增大而减小，故不符合题意； D、顶点坐标(0,0)，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 1 7．（3分）已知点(x ，y )和(x ，y )在抛物线y x2上，若x  x 0，则y 与y 的大小关系( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 A．y  y B．y  y C．y  y 学D．无法确定 1 2 1 2 1 2 【分析】由抛物线的解析式可知对称轴为y轴，a升 0，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大． 【解答】解：由抛物线的解析式可知： 哥 对称轴是直线x0，抛物线开口方向向下， 水 x  x 0， 1 2 y随x的增大而增大． y  y ． 1 2 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 8．（3 分）若关于x的一元二次方程x2  pxq  0的两根分别为x 2，x 1，则 p、q的值 1 2 分别是( ) A．3、2 B．2、3 C．3、2 D．2、3 【分析】根据根与系数的关系得到21p，21q，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：根据题意得21p，21q， 所以 p 3，q2． 第8页（共23页）故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)的两根 1 2 b c 时，x x  ，x x  ． 1 2 a 1 2 a 9．（3分）若等腰三角形的两边是方程x2 6x80的两根，则此三角形的周长为( ) A．8 B．10 C．8或10 D．6或8 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：解方程x2 6x80得，x 2，x 4； 1 2 当底为2，腰为4时，42442，能构成三角形，等腰三角形的周长为10； 当底为4，腰为2时，224，不能构成三角形． 故此等腰三角形的周长为10． 故选：B． 学 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 升 10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数yax2 c的图象大致为( ) 哥 水 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象． 【解答】解：一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c)， 两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C 选项错误； 当a0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是 第9页（共23页）图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象 限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）设一元二次方程x2 5x30的两个实数根分别是x 和x ，则x x  5 ，x x  ． 1 2 1 2 1 2 【分析】先根据一元二次方程x2 5x30的两个实数根分别是x 和x ，求出x x 5，xx 3，即可． 1 2 1 2 1 2 【解答】解：一元二次方程x2 5x30的两个实数根分别是x 和x ， 1 2 x x 5，xx 3； 1 2 1 2 故答案为：5，3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，关键掌握若x ，x 是方程x2  pxq0的两根时，则x x p， 1 2 1 2 xx q． 1 2 学 12．（3分）二次函数y2x2向上平移3个单位长度，则平移后二次函数解析式为 y2x2 3 ． 升 【分析】先得到抛物线y2x2的顶点坐标(0,0)，再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标 哥 为(0,3)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 水 【解答】解：抛物线y2x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)先向上平移3个单位得到对应点的坐标为(0,3)， 所以平移后的抛物线解析式为y2x2 3． 故答案为：y2x2 3． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换，解答本题的关键要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不 变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利 用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 13．（3分）已知xa是一元二次方程x2 3x40的一个实数根，则代数式2a2 6a的值为 8 ． 【分析】根据方程的解的定义把xa代入一元二次方程x2 3x40，得到a2 3a4，然后将其整体代 入所求的代数式进行求值． 【解答】解：a是一元二次方程x2 3x40的一个实数根， a2 3a40， a2 3a4， 2a2 6a2(a2 3a)8 第10页（共23页）故答案为：8． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程定义是关键． 14．（3分）若关于x的一元二次方程x2 2xm0没有实数根，则实数m取值范围是 m1 ． 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到 m的范围． 【解答】解：根据方程没有实数根，得到△b2 4ac44m0， 解得：m1． 故答案为：m1． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0， 方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根． 15．（3分）在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人 1 数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是 x(x1)28 ． 2 学 1 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为： 聚会 升 2 人数（聚会人数1)总握手次数，把相关数值代入即可求解． 哥 【解答】解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手(x1)次，根据题意得： 水 1 x(x1)28， 2 1 故答案为： x(x1)28． 2 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 分别是边AD、AB上 13 的点，连接OE、OF 、EF ，若AB 3，BC 2，DAB30，则OEF 周长的最小值是 ． 2 【分析】作点O关于AB的对称点M ，点O关于AD的对称点N，连接MN ，MF ，NE，AN，AM ， 则OEF 的周长OEOF EF MEEF MF，故当M 、E、F 、N四点共线时MEEF MF ，即 此时OEF 的周长最小，最小值为MN 的长，证明MAN 是等边三角形，得到MN  AM  AO；过D作 1 DP AB交直线AB于P，由平行四边形的性质得到ADBC 2，ODOB BD，由含30度角的直 2 第11页（共23页）1 1 角三角形的性质得到 DP AD1，则 AP 3 ，ODOB ，即可得到点 P 与点 B 重合，则 2 2 13 OA AB2 OB2  ，由此即可得到答案． 2 【解答】解：作点O关于AB的对称点M ，点O关于AD的对称点N， 连接MN ，MF ，NE，AN，AM ， 由作图得：AN  AO AM ，NADDAO，MABBAO，NEOE，MF OF ， OEF 的周长OEOF EF MEEF MF， 当M 、E、F 、N四点共线时MEEF MF ，即此时OEF 的周长最小，最小值为MN 的长， DAB30， MAN 60， MAN 是等边三角形， MN  AM  AO； 过D作DP AB交直线AB于P， 学 四边形ABCD是平行四边形， 升 1 ADBC 2，ODOB BD， 哥 2 在RtADP中，DAP30，DPA90， 水 1  DP AD1， 2 1 1  AP AD2 BD2  3，ODOB BD ， 2 2  AB AP 3， 点P与点B重合， 13 OA AB2 OB2  ， 2 13 MN  ， 2 13 OEF 的周长最小值为 ， 2 第12页（共23页）13 故答案为： ． 2 【点评】此题主要考查轴对称最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质， 勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 三.解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解方程： （1）x2 3x； （2）x2 4x50； （3）x(x3)x30； （4）2x2 13x． 【分析】（1）移项，提取公因式然后解方程； （2）利用因式分解解方程 （3）提取公因式然后解方程； 学 （4）利用求根公式解方程． 升 【解答】解：（1）移项得x2 3x0， 哥 提取公因式得x(x3)0， 水 解得x 0，x 3； 1 2 （2）因式分解得(x5)(x1)0， 解得x 5，x 1； 1 2 （3）提取公因式得(x3)(x1)0， 解得x 3，x 1． 1 2 （4）移项得：2x2 3x10 △b2 4ac981 b b2 4ac 3 1 x  ， 2a 4 1 x 1，x  ． 1 2 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18．（4分）关于x的一元二次方程x2 3xm10的两个实数根为x ，x ． 1 2 第13页（共23页）（1）求m的取值范围； （2）若3(x x )xx 80，求m的值． 1 2 1 2 【分析】（1）根据方程有两个实数根，可知方程的判别式大于等于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出x x 3，xx m1代入3(x x )xx 80中即可求解． 1 2 1 2 1 2 1 2 【解答】解：（1）方程有两个实数根， △ 0，即32 4(m1) 0， 13 m ； 4 （2）x x 3，xx m1， 1 2 1 2 由3(x x )xx 80得，9(m1)80， 1 2 1 2 m2． 学 【点评】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，若x ，x 是方程ax2 bxc0的两个根，则有 1 2 升 b c x x  ，xx  ，掌握该知识点是解答本题的关键． 1 2 a 1 2 a 哥 19．（8分）已知二次函数yx2 4． 水   x 2 1 0 1 2 y   （1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2）由图可知抛物线开口方向为 向下 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，当x0时，y随x的增 大而 ． （3）利用图象写出当2x 1时，y的取值范围是 ． 第14页（共23页）【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可． 【解答】解：（1）如下表所示： 学   x 2 1 0 1 2 升 y  0 3 4 3 0  哥 函数图象如图所示： 水 （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为(0,4)；当x0时，y随x的 增大而减小； 故答案为：向下；y轴；(0,4)；减小； （3）有函数图象可得：当2x 1时，y的取值范围是0 y 4， 故答案为：0 y 4． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二 次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 第15页（共23页）20．（6分）某市2020年底已有绿化面积300亩，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2022年底增加 到363亩． （1）求绿化面积年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2023年底绿化面积是多少亩？ 【分析】（1）本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量(1增长率），如果设绿化面积平均每 年的增长率为x，根据题意即可列出方程求解． （2）增长后的量增长前的量(1增长率），根据题意即可求解． 【解答】解：（1）设绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意即可列出方程300(1x)2 363． 解得：x0.110%或x2.1（舍去）， 答：绿化面积的年平均增长率为10%． （2）预计2023年底绿化面积是363(110%)399.3亩， 学 答：预计2023年底绿化面积是399.3亩． 升 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题，一般形式为a(1x)2 b，a为起始时间的有 哥 关数量，b为终止时间的有关数量是关键． 水 21．（6分）已知关于x方程x2 axa50． （1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据方程有一根为3，将x3代入方程求出a的值，确定出方程，即可求出另一根； （2）根据根的判别式判断可得结论． 【解答】解：（1）把x3代入方程得32 3aa50， a1， 方程为x2 x60， x 3，x 2，即方程另一个根是2； 1 2 （2）证明：△a2 4(a5)a2 4a20a2 4a416(a2)2 160 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系 是解本题的关键． 第16页（共23页）22．（6分）某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个， 每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元， 平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价x元． （1）每个模型可盈利 (40x) 元，平均每天可售出 个（用含x的式子表示）． （2）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【分析】（1）利用利润每个的销售利润降价的价格，利用平均每天的销售量202每个模型降低的 价格，可求出平均每天的销售量； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利(40x)元，平均每天可售出(202x)个，利用总利润每 个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个模型应降价x元， 则每个模型可盈利(40x)元，平均每天可售出(202x)个； 故答案为：(40x)；(202x)； 学 （2）设每个模型应降价x元， 根据题意得：(40x)(202x)1200， 升 整理得：x2 30x2000， 哥 解得：x 10，x 20， 水 1 2 又每个模型盈利不少于25元， x10． 答：每个模型应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键． 23．（6分）如图，在RtABC中，C 90，AC 6cm，BC 8cm．点P、Q同时由A、C 两点出发， 分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC  (6t)cm ，CQ ； 1 （2）几秒后，PCQ的面积是ABC面积的 ？ 3 第17页（共23页）【分析】（1）根据路程速度时间，结合线段的和差关系即可求解； 1 （2）根据PCQ的面积是ABC面积的 ，列出方程计算即可求解． 3 【解答】解：（1）PC (6t)cm，CQ2t cm． 故答案为：(6t)cm，2t cm； 1 1 1 （2）依题意有： 2t(6t) 68 ， 2 2 3 解得t 2，t 4． 1 2 1 故2或4秒后，PCQ的面积是ABC 面积的 ． 学 3 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面升积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要 注意结合图形找到等量关系． 哥 24．（12分）如图，ABC 中，水BC a，AC b，ABc，且关于x的方程(ac)x2 2bxca有两个 相等的实数根． （1）判断ABC 的形状． （2）若CD平分ACB，且ADBD，AD、BD为方程x2 kxk30的两根，求k的值． （3）在（2）的条件下，若BC 2，求CD的长． 【分析】（1）根据有两个相等的实数根可得△0即可得出结论； （2）过D作CA的垂线DE，作CB的垂线DF，由ASA定理得出ADEBDF ，可得ADBD，再由 根与系数的关系即可得出结论； （3）由（2）求出DB的长，再由勾股定理求出DF的长即可． 第18页（共23页）【解答】解：（1）关于x的方程(ac)x2 2bxca有两个相等的实数根 △4b2 4(ac)(ac)4(a2 b2 c2)0， a2 b2 c2  0，即a2 b2 c2， ABC是直角三角形； （2）如图，过D作CA的垂线DE，作CB的垂线DF， 由（1）知，ACB90， 学 CD平分ACB， DE DF，DCBDCE 45， 升 EDC FDC 45，即EDF 90哥， ADBD， 水 ADBEDF 90， ADEFDB， 在ADE与BDF 中， ADE FDB  DE DF ，  AEDBFD ADEBDF(ASA)， ADBD， 方程x2 kxk30有两个相等的实数根， △k2 4(k3)0， 解得k 6，k 2， 1 2 当k 6时，原方程为x2 6x90， 解得x  x 3，即ADBD3， 1 2 第19页（共23页）当k 2时，原方程为x2 2x10， 解得x  x 1，不符合条件， 1 2 k 6； （3）由（2）可得DCB45， DF CF，CD 2DF ， BC 2， BF CF BC DF 2 在RtBDF中，BF2 DF2 BD2， (DF2)2 DF2 32， 42 14 解得DF  ， 4 42 14， 学 2 14 DF  ， 升 2 哥 CD 2DF  2 7 ． 【点评】本题考查的是全等三角水形的判定与性质，一元二次方程的解法，根与系数的关系、勾股定理，角 平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片 的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们 的延长线）于点E、F ，EDF 60，当CE AF 时，如图①小芳同学得出的结论是DE DF ． （1）继续旋转三角形纸片，当CE AF 时，如图②，小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成 立，请说明理由． （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F 分别在CB、BA的延长线上时，如图③，请写出DE与DF的数 量关系，并加以证明． （3）连接EF ，若DEF 的面积为y，CEx，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值， 最小值是多少？ 第20页（共23页）【分析】（1）由菱形的性质得到ABD是等边三角形，再证明ADF BDE 即可； （2）由菱形的性质得到ABD是等边三角形，再证明ADF BDE 即可； （3）由（1）（2）可知，DEF 是等边三角形，当DE BC时，DEF 的面积最小． 【解答】（1）DF DE ． 证明：如图2，连接BD， 学 四边形ABCD是菱形， 升 AD AB． 哥 又A60， 水 ABD是等边三角形， ADBD，ADB60， DBE A60 EDF 60， ADF BDE， 在ADF 与BDE中， ADF BDE  ADBD ，  ADBE ADF BDE(ASA)， DF DE； （2）DF DE ． 如图3，连接BD． 第21页（共23页）四边形ABCD是菱形， AD AB． 又A60， ABD是等边三角形， ADBD，ADB60， DBE DAF 120 EDF 60， ADF BDE． 学 在ADF 与BDE中， 升 ADF BDE  ADBD ， 哥  DAF DBE 水 ADF BDE(ASA)， DF DE； （3）由（1）（2）可知，DEF 是等边三角形， 过点D作DG  BC ，则DG 3，BG CG 1， DE2 DG2 EG2 (x1)2 3， 3 3 3 3 y DE2  (x1)2 ， 4 4 4 当DE BC时，DEF 的面积最小， 3 3 3 此时当x1时，DE  3，y有最小值 ( 3)2  ． 4 4 【点评】本题考查几何变换综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等 第22页（共23页）知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，判断三角形是等边三角形(ABD是等边三角形）是解 本题的突破点． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:00:38；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第23页（共23页）