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2017 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）3的相反数是（ ）
1 1
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
3 3
2．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000
这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108
3．（3分）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
{&x-1≤0
4．（3分）不等式组 的解集为（ ）
&2x-5＜1
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1D．x＜3
5．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，DE∥BC．若
∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A．54° B．62° C．64° D．74°
6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．
若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长
的边长为（ ）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交
OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．29° B．32° C．42° D．58°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶点A的坐标为
（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：
k
1．若函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
x
❑√3 ❑√3 2❑√3
A． B． C． D．❑√3
3 2 3
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）计算：❑√2×❑√3= ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的
值是 ．
11．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点 A，
1 2
B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．12．（3分）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长
为半径作圆弧，交BC于点D，则^AD的长为 ．（结果保留π）
13．（3分）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出
的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和
四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三
角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，
C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．
若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15．（6分）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．
16．（6分）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母 a，b，c，每
个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下
字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图
（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．
17．（6分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12
米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，
cos31°=0.857，tan31°=0.60）
18．（7分）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排
球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900
元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．19．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连
结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F
的度数．
20．（7分）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学
们某天的睡眠时长t（小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜
9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，
随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统
计图提供的信息解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．21．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批
服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工
前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设
甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），
y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为
件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．22．（9分）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，
1
可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）
2
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边
形EFGH是菱形？你添加的条件是： ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的
中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影
部分图形的面积和为 ．23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出
发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，
在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒
4
个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停
3
止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为
AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q
在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF
分成两部分的面积比为1：2时t的值．24．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值，当x＜0
时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们
称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为
{&-x+1(x＜0)
y= ．
&x-1(x≥0)
（1）已知点 A（﹣5，8）在一次函数 y=ax﹣3 的相关函数的图象上，求 a 的
值；
1 3
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m， ）在这个函数的相关函数
2 2
的图象上时，求m的值；
1
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值；
2
1 9
（3）在平面直角坐标系中，点 M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1}），
2 2
连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个
公共点时n的取值范围．2017 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•长春）3的相反数是（ ）
1 1
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
3 3
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．
【解答】解：3的相反数是﹣3
故选A．
【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另
一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
2．（3分）（2017•长春）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人
次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
【解答】解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
3．（3 分）（2017•长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】I6：几何体的展开图．
【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．
【解答】解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是 ，
故选D
【点评】此题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题关
键．
{&x-1≤0
4．（3分）（2017•长春）不等式组 的解集为（ ）
&2x-5＜1
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1D．x＜3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的公共部分即可．
{&x-1≤0①
【解答】解：
&2x-5＜1②
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为x≤1，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不
等式组的解集是解此题的关键．
5．（3分）（2017•长春）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，
DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）A．54° B．62° C．64° D．74°
【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到
结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=54°，
∵∠A=62°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角
和是解题的关键．
6．（3分）（2017•长春）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形
和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，
则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【考点】4D：完全平方公式的几何背景．
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的长=边长为3a的正方形的边长﹣边长
2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a﹣2b+2b×2
=3a﹣2b+4b=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的长与两个正方形边长的
关系．
7．（3分）（2017•长春）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作
⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．29° B．32° C．42° D．58°
【考点】MC：切线的性质．
【分析】作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，由等腰三
角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=54°，接下来，由切线的性质
可证明∠OCD=90°，最后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．
【解答】解：作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，
∵OA=OB′，
∴∠AB′C=∠OAB=29°．
∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB=58°．
∵CD是⊙的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠D=90°﹣58°=32°．
故选B．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的
性质、三角形的内角和定理，求得∠ABC=∠OAB=29°是解题的关键．
8．（3分）（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶
点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，
k
DB：DC=3：1．若函数 y= （k＞0，x＞0）的图象经过点 C，则 k 的值为
x
（ ）
❑√3 ❑√3 2❑√3
A． B． C． D．❑√3
3 2 3
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出点B的横坐标，再由DB：DC=3：1得出点
C的横坐标，由∠BAO=60°，得∠COD，即可得出点C坐标，即可得出k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴BC=4，
∵DB：DC=3：1，
∴B（﹣3，OD），C（1，OD），
∵∠BAO=60°，
∴∠COD=30°，
∴OD=❑√3，
∴C（1，❑√3），
∴k=❑√3，
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函
数图象上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）（2017•长春）计算：❑√2×❑√3= ❑√6 ．
【考点】75：二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：❑√2×❑√3=❑√6；
故答案为：❑√6．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则
❑√a⋅❑√b=❑√ab是本题的关键，是一道基础题．
10．（3分）（2017•长春）若关于 x的一元二次方程 x2+4x+a=0有两个相等的
实数根，则a的值是 4 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣4a=0，解之即可得
出a值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数
根”是解题的关键．
11．（3分）（2017•长春）如图，直线a∥b∥c，直线l ，l 与这三条平行线分
1 2
别交于点 A，B，C 和点 D，E，F．若 AB：BC=1：2，DE=3，则 EF 的长为 6
．【考点】S4：平行线分线段成比例．
AB DE
【分析】由a∥b∥c，可得 = ，由此即可解决问题．
BC EF
【解答】解：∵a∥b∥c，
AB DE
∴ = ，
BC EF
1 3
∴ = ，
2 EF
∴EF=6，
故答案为6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分
线段成比例定理，属于中考常考题型．
12．（3分）（2017•长春）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B
8π
为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则^AD的长为 ．（结果保留
9
π）
【考点】MN：弧长的计算．
【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数，再代入弧
长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，
1
∴∠B=∠C= （180°﹣100°）=40°，
2∵AB=4，
40π×4 8π
∴^AD的长为 = ．
180 9
8π
故答案为 ．
9
nπR
【点评】本题考查了弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径
180
为R），也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
13．（3分）（2017•长春）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀
算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四
边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个
全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 1 0 ．
【考点】KR：勾股定理的证明．
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2
∴BF=BG﹣BF=6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB=❑√AF2+BF2=❑√82+62=10．
故答案是：10．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边
的长度．
14．（3分）（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第
一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB
交 x 轴于点 P．若△ABC 与△A'B'C'关于点 P 成中心对称，则点 A'的坐标为（﹣ 1 ，﹣ 2 ） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；KW：等腰直角三角形．
【分析】根据等腰直角三角形，可得 AB 的长，再根据锐角三角函数，可得
AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对
应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．
【解答】解：如图 ，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=❑√2，∠ABD=45°，
∴BD=AD=1，
A（3，2），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
{&2k+b=1
，
&3k+b=2
{&k=1
解得 ，
&b=-1
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得x =2x ﹣x =2﹣3=﹣1，
A′ P A
y =2y ﹣y =0﹣2=﹣2，
A′ A′ A
A′（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出 AB的长是解题
关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15．（6分）（2017•长春）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其
中a=2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得
到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，
当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2═36．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
16．（6分）（2017•长春）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字
母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出
一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字
母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同
的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情
况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
a b c
a （a，a） （b，a） （c，a）b （a，b） （b，b） （c，b）
c （a，c） （b，c） （c，c）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，
3 1
则P= = ．
9 3
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
17．（6 分）（2017•长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为
31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数
据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】利用余弦函数的定义即可求出AC的长．
【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3（米）．
即大厅的距离AC的长约为10.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的
夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，
坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直
角边，实质也是解直角三角形问题．
18．（7分）（2017•长春）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和
跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的 3倍，购买跳绳共花费 750元，购买排
球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．
【考点】B7：分式方程的应用．【分析】首先设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，根据题意可得等量
关系：750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30，依此列出方程，再
解方程可得答案．
【解答】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，
750 900
依题意得： ﹣ =30，
x 3x
解方程，得x=15．
经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．
答：跳绳的单价是15元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中
的等量关系，列出方程．
19．（7 分）（2017•长春）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，点 E 是菱形
ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若
∠E=86°，求∠F的度数．
【考点】R2：旋转的性质；L8：菱形的性质．
【分析】由菱形的性质有 BC=CD，∠BCD=∠A=110°，根据旋转的性质知
CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，于是得到∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，根据三角形
的判定证得△BCE≌△DCF，根据三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，
由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，
∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，
{
&BC=CD
在△BCE和△DCF中， &∠BCE=∠DCF，
&CE=CF
∴△BCE≌△DCF，∴∠F=∠E=86°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的性质和判定，由
旋转的性质得到CE=CF，∠ECF=∠BCD是解题的关键．
20．（7分）（2017•长春）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠
情况，将同学们某天的睡眠时长 t（小时）分为 A，B，C，D，E（A：
9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进
行了一次问卷调查，随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下
条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体．
【分析】（1）将各频数相加即可；
（2）先计算不足7小时（即最后两组：D和E组），两组的百分比，与总人数
600的积就是结果．
【解答】解：（1）n=12+24+15+6+3=60；
（2）（6+3）÷60×600=90，
答：估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）（2017•长春）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工
到加工完这批服装甲车间工作了 9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加
工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的
时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 80 件；这批服装的总件数为 1140
件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加
工服装件数，再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数+乙车间加工的件
数，即可求出这批服装的总件数；
（2）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件
数，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间，即可求出乙车间修
好设备时间，再根据加工的服装总件数=120+工作效率×工作时间，即可求出乙
车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间，求出甲车间加工服装数量
y与x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于 1000，求出x值，此
题得解．
【解答】解：（1）甲车间每小时加工服装件数为720÷9=80（件），
这批服装的总件数为720+420=1140（件）．
故答案为：80；1140．
（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60（件），
乙车间修好设备的时间为9﹣（420﹣120）÷60=4（时）．
∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 y 与 x 之间的函数关系式为
y=120+60（x﹣4）=60x﹣120（4≤x≤9）．（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x，
当80x+60x﹣120=1000时，x=8．
答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：
（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出乙车间维修设备
后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，找出
甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．
22．（9 分）（2017•长春）【再现】如图①，在△ABC 中，点 D，E 分别是
1
AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）
2
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边
形EFGH是菱形？你添加的条件是： AC=BD ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的
中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影
5
部分图形的面积和为 ．
4
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判
断出四边形EFGH的形状；
1
【应用】（1）同【探究】的方法判断出 EF= AC，即可判断出EF=FG，即可得
2出结论；
5
（2）先判断出S =4S ，同理：S =4S ，进而得出S = ，再判
△BCD △CFG △ABD △AEH 四边形EFGH
2
1
断出OM=ON，进而得出S = S 即可．
阴影
2
四边形EFGH
【解答】解：【探究】平行四边形．
理由：如图1，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
1
∴EF∥AC，EF= AC，
2
1
同理HG∥AC，HG= AC，
2
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
【应用】（1）添加AC=BD，
1
理由：连接AC，BD，同（1）知，EF= AC，
2
1
同【探究】的方法得，FG= BD，
2
∵AC=BD，
∴EF=FG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴ ▱EFGH是菱形；
故答案为AC=BD；
（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，
∵F，G是BC，CD的中点，
1
∴FG∥BD，FG= BD，
2
∴△CFG∽△CBD，
S 1
∴ △CFG = ，
S 4
△BCD
∴S =4S ，
△BCD △CFG同理：S =4S ，
△ABD △AEH
∵四边形ABCD面积为5，
∴S +S =5，
△BCD △ABD
5
∴S +S = ，
△CFG △AEH
4
5
同理：S +S = ，
△DHG △BEF
4
5 5
∴S =S ﹣（S +S +S +S ）=5﹣ = ，
四边形EFGH 四边形ABCD △CFG △AEH △DHG △BEF
2 2
设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，
1
∵FG∥BD，FG= BD，
2
1
∴CM=OM= OC，
2
1
同理：AN=ON= OA，
2
∵OA=OC，
∴OM=ON，
易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，
1 5
∴S = S = ，
阴影
2
四边形EFGH
4
5
故答案为 ．
4【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形
的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出
1 5
HG∥AC，HG= AC，解【应用】的关键是判断出 S = ，是一道基础题
2
四边形EFGH
2
目．
23．（10 分）（2017•长春）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，
BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单
位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点 Q从点C出
4
发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停
3
止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为
AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q
在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF
分成两部分的面积比为1：2时t的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC﹣CQ即可解决问题；（2）分两种情形列出方程求解即可；
3
（3）①分三种情形 a、如图 1中，当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形 PEQF．
2
3
b、如图2中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形 PNQE．C、如图3中，当2＜
2
t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．分别求解即可；
②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分
的面积比为1：2．b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两
部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=❑√AB2-BC2=❑√102-62=8，
4
∵CQ= t，
3
4
∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）．
3
AP AQ
（2）①当PQ∥BC时， = ，
AB AC
4
5t 8- t
∴ = 3 ，
10
8
3
∴t= s．
2
CQ CP
②当PQ∥AB时， = ，
CA CB
4
t 6-3(t-2)
∴3 = ，
6
8
∴t=3，
3
综上所述，t= s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．
23
（3）①如图1中，a、当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF．
2
4
S=PE•EQ=3t•（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t．
3
3
b、如图2中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．
2
1 4 16 3 16 688 88
S=S ﹣S =（16t2﹣24t）﹣ • （ t﹣8）• （ t﹣8）= t2﹣ t
四边形PEQF △PFN
2 5 3 5 3 75 25
384
﹣ ．
25
C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．4 1 4 3 4
S=S S = t•[6﹣3（t﹣2）]﹣ •[ t﹣4（t﹣2）]• [ t﹣4（t﹣
四边形 PBQF △FNM 3 2 3 4 3
20
2）]=﹣ t2+30t﹣24．
3
3
-16t2+24t (0≤t≤ )
2
688 88 384 3
综上所述，S={ t2- t- ( ＜t≤2)．
75 25 24 2
20
- t2+30t-24 (2＜t≤3)
3
②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为
1：2．
4 9
则有（3﹣3t）：（3﹣ t）=1：2，解得t= s，
3 14
b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：
2．∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，
4
∴（3t﹣3）：（3﹣ t）=1：3，
3
36
解得t= s，
31
9 36
综上所述，当t= s或 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
14 31
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质
和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思
想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个
值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当 x≥0时，它们对应的函数
值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们
{&-x+1(x＜0)
的相关函数为y= ．
&x-1(x≥0)
（1）已知点 A（﹣5，8）在一次函数 y=ax﹣3 的相关函数的图象上，求 a 的
值；
1 3
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m， ）在这个函数的相关函数
2 2
的图象上时，求m的值；
1
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值；
21 9
（3）在平面直角坐标系中，点 M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1}），
2 2
连结MN．直接写出线段MN与二
次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
{&-ax+3(x＜0)
【分析】（1）函数 y=ax﹣3 的相关函数为 y= ，将然后将点 A
&ax-3(x≥0)
（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；
1
{&x2-4x+
(x＜0)
1 2
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数为y= ，①分为m＜
2 1
&-x2+4x- (x≥0)
2
0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0
1
时，y=x2﹣4x+ ，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数 y=﹣
2
1
x2+4x﹣ ，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和
2
最小值；
（3）首先确定出二次函数 y=﹣x2+4x+n 的相关函数与线段 MN 恰好有 1 个交
点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
{&-ax+3(x＜0)
【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y= ，将点A（﹣
&ax-3(x≥0)
5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．
1
{&x2-4x+
(x＜0)
1 2
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数为y=
2 1
&-x2+4x- (x≥0)
2
3 1 1 3
①当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，解得：m=2+❑√5
2 2 2 2
（舍去）或m=2﹣❑√5．3 1 1 3
当 m≥0 时，将 B（m， ）代入 y=﹣x2+4x﹣ 得：﹣m2+4m﹣ = ，解得：
2 2 2 2
m=2+❑√2或m=2﹣❑√2．
综上所述：m=2﹣❑√5或m=2+❑√2或m=2﹣❑√2．
1
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+ ，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而
2
减小，
43
∴此时y的最大值为 ．
2
1
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ ，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，
2
1 7
最小值为﹣ ，当x=2时，有最大值，最大值y= ．
2 2
1 43
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值为 ，最
2 2
1
小值为﹣ ；
2
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1
个公共点．
所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共
点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n=1，解得：n=﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有
2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共
点．
∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共
点．1
∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣ ，1），
2
1 5
∴ +2﹣n=1，解得：n= ．
4 4
5
∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公
4
共点．
5
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ ．
4
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函
数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数 y=
﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值
是解题的关键．
