文档内容
2024 学年初三上学期期中考联考试卷数学
本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题
卡上．用2B铅笔把考号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．
不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 5，7， B. ，7，1 C. 5， ， D. 5， ，0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，
一元二次方程的一般形式是： （ ， ， 是常数且 ）特别要注意 的条件，其
中 叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程 化成一般形式是 ，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为 、 、 ，
故选：D．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由
黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不
是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3. 已知二次函数 ，若 随着 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函
数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴在对称轴右侧 随着 的增大而增大，
∴ 的取值范围是 ，
故选：B．
4. 如图，圆心角 ，则圆周角 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．欲求圆周角
，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】解： ， ，
；
故选：B．
5. 将抛物线 向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可
【详解】解：由题意得，平移后解析式为 ，
故选：D．
6. 若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元二次方程根与系数 关系，本题的关键是明确两根之和为 ．先根据一元
的
二次方程根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
，
，
故选：A．
7. 如图，在 中， ， ， ，将 绕点C按逆时针方向旋转得
到 ，此时点 恰好在 边上，则点 与点B之间的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，根据已知条件以及旋转的性质可得 ，进而可得 是等边三角形，可得
旋转角为60°，即可得 是等边三角形，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，连接
将 绕点C按逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好在 边上，
， ，
又 ，
是等边三角形，
旋转角 ，
，
是等边三角形，
，
在 中， ， ， ，
，
，
，
点 与点B之间的距离为 ，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角
是解题的关键．
8. 观察表格，估算一元二次方程 的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
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学科网（北京）股份有限公司0.19 0.44
由此可确定一元二次方程. 的一个近似解x的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出 位于哪两个数之间即可．
【详解】解：由表格可知， 当 时， 与 时，
∴ 时， ，
故选C．
9. 在同一直角坐标系中，函数 和 （ 是常数，且 ）的图象可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，根据一次函数的图象得出 的符号，进而判断出
二次函数的图象即可求解，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解： 、∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数 的图象开口向上，该选项错误，不合题意；
、∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，该选项错误，不合题意；
、∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，该选项正确，符合题意；
、∵一次函数 的图象经过一、二、三象限，
∴m>0，
∴ ，
∴二次函数 的图象开口向下，该选项错误，不合题意；
故选： ．
10. 如图， 为直径， ，C、D为圆上两个动点，N为 中点， 于M，当C、D在圆
上运动时保持 ，则 的长（ ）
A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4
B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2
D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】连接： 、 、 ，证明O、N、C、M四点共圆，求得 ，再根据等
边三角形的性质可得．
【详解】解；连接： 、 、 ．
∵N是 的中点，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴O、N、C、M四点共圆．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，圆的性质，解题的关键是是作辅助线并运用圆的性质以及等边三
角形的性质解答．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的
方程即可求得代数式 的值．
将x=1代入到 中求得 的值，然后求代数式的值即可．
【详解】解：将x=1代入方程 ，得 ，
，
．
故答案为1.
12. 如图，将一个含 角的直角三角板 绕点 A顺时针旋转至 ，使得B，A， 三点在同一
条直线上，则旋转角 的度数是______．
【答案】 ##150度
【解析】
【分析】本题考查旋转性质，根据旋转性质得旋转角 ，然后利用邻补角定义求解即可．
【详解】解：由题意，旋转角 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 用反证法证明命题：“已知 ，求证： ．”第一步应先假设__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进
行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：第一步应先假设 ，
故答案为： ．
的
14. 以原点 为位似中心，作 位似图形 ， 与 相似比为 ，若点 的
坐标为 ，点 的对应点为 ，则点 的坐标为___．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，
那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解： 与 相似比为3，若点 的坐标为 ，
点 的坐标为 或 ，
点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如
果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．
（只考虑小于90°的角度）
【答案】70°
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．
然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．
【详解】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，
∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对
应的度数为70°．
故答案为70°；
的
【点睛】本题主要考查了直径所对 圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
16. 已知抛物线 （ ， ， 是常数， ）
①若抛物线的顶点在第二象限，且 ， ，则当 时， 随 的增大而增大；
②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且 ，对称轴是 ，方程
有整数根，则对应的 值有 个；
③若对任意实数 都有 ，则 ；
④若 ， 在抛物线上，则当 时， ．
上述结论中，一定正确的是___．
【答案】②④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关键，关键是要牢记抛物线图
象和系数的关系，牢记判别式的性质．根据抛物线的顶点在第二象限，可得抛物线的对称轴在 轴的左侧，
再根据 ，可得抛物线的与 轴的一个交点为 ，得出 ，设抛物线与 轴的另一个交
点为 ，根据根与系数的关系得出 ，进而得出抛物线对称轴在 的左边，即可判断①，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得抛物线的与 轴的一个交点为 ，再由对称轴是 ，可得抛物线的与 轴
的另一个交点为 ，再由方程 有整数根，可得抛物线
与 交点横坐标为整数，即可判断②，由对任意实数 都有 ，即
，可得 且 ，即 ，可得 ，即可判
断③，由 ， 在抛物线上，可得抛物线对称轴为 ，即 ，
可得当 时， ．，即可判断④，
【详解】解：① 抛物线的顶点在第二象限，
抛物线的对称轴在 轴的左侧，
，
抛物线的与 轴的一个交点为 ，则得出 ，抛物线开口向下，
设抛物线与 轴的另一个交点为
∴ ，即
∴抛物线的对称轴为直线 ，即抛物线对称轴在 的左边，
故①错误
② ，
抛物线的与 轴的一个交点为 ，
对称轴是 ，
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学科网（北京）股份有限公司抛物线的与 轴的另一个交点为 ，
方程 有整数根，
抛物线 与 交点横坐标为整数，
与 交点横坐标为 和-2，或者 与 交点横坐标
为 ，
对应的 值有 个，
故②正确；
③ 对任意实数 都有 ，即 ，
且 ，
即 ，
可得 ，
故③错误；
④ ， 在抛物线上，
抛物线对称轴为 ，即 ，
当 时， ．
故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题（共72分）
17. 解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
【答案】x＝﹣5，x＝1
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】(x+5)(x﹣1)＝0，
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学科网（北京）股份有限公司x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x＝﹣5，x＝1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这
种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 如图，在 中， ， ． 将 绕点B按逆时针方向旋转得 ，使
点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求 的度数．
【答案】25度
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由
旋转得 ，通过等腰三角形及直角三角形可求 度数，进而求 的度数．
【详解】证明： 是由 旋转得到
， ，
，
19. 已知关于 的一元二次方程 有实数根，是否存在实数 ，使方程的两个
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学科网（北京）股份有限公司实数根的平方和等于 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程
的 两 个 根 为 ， ， 则 ； 若 一 元 二 次 方 程
有实数根，则 ．先根据根与系数的关系得到 ，
解出方程，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：设方程的两个实数根为 ， ，
则 ，
，
令 ，即 ，
解得： ， ，
方程 有实数根，
，
即： ，
综上所述： ．
20. 如图，点 ， ， ， 在 在中，若 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明
，进而证明 ，则 ．
【详解】解：
，
，
，
．
21. 如图，已知坐标系中 ．
（1）画出 关于原点O对称的 ；
（2）直接写出 各顶点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了中心对称的相关知识点，熟记相关结论是即可．
（1）确定 各顶点关于原点O的对称点即可完成作图；
（2）关于原点O对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示： 即为所求：
【小问2详解】
解：由（1）中图可得：
22. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是
抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量
得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．
x（米） 0 1 2 3 4
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学科网（北京）股份有限公司y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2
请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为 米
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可；
（2）把 代入解方程即可．
【小问1详解】
解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
可设抛物线的函数表达式为 ．
将 代入 ，
得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
由题可知，当喷泉落水时 ．即 ，
解得 ， （舍去）．
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为 米．
23. 如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图，作辅助线；证明OD AC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明AC＝AB＝13；证明△CDE∽△CAD，得到 ，求出CE的长即可解
决问题．
【详解】解：（1）连接OD；
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD AC；
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是圆O的切线．
（2）∵AB是直径，
∴AD⊥BC；
∵D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC＝AB＝13；
∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，
∴△CDE∽△CAD，
∴ ，而AC＝AB＝13，CD＝5，
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学科网（北京）股份有限公司∴CE＝ ．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、圆的切
线的判定定理．
24. 【模型提出】如图①，已知线段 的长度为4，在线段 所在直线外有一点C，且 ．
想确定满足条件的点C的位置，可以以 为底边构造一个等腰直角三角形 ，再以点O为圆心，
长为半径画圆，则点C在 的优弧 上．即：若线段 的长度．已知 的大小确定，则
点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】如图②，在正方形 中， ，点E、F分别是边 上的动点， ，
连接 ， 与 交于点G．
（1）求证： ；
（2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若点I是 的内心，连接 ，则线段 的最小值为______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明 ，可得 ，从而得到 ，即
可求证；
（2）根据 ，可得点G在以 为直径的圆上运动，取 的中点O，则
，以点O为圆心，以2为半径画 ，连接 相交于点 ，连接 ，则
，连接 ，则 ，进而得到点 在 上，继而得到点G的路径为
，求出 的长度，即可求解；
（3）根据点I是 的内心，可得 ，作 的外接圆 ，连接 ，
过点O作 的延长线于点M，则点I在 上运动，再证得 是等腰直角三角形，可得
，进而得到 是等腰直角三角形，可得到
，连接 ，与 交于点 ，当点I与点 重合时，此时线段
最短，即可求解．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：在正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图②，由（1）得 ，
点G在以 为直径的圆上运动，取 的中点O，则 ，
以点O为圆心，以2为半径画 ，连接 相交于点 ，连接 ，则 ，
连接 ，则 ，
∴点 在 上，
当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合，
第22页/共29页
学科网（北京）股份有限公司当E与C重合时，F与D重合，则G与 重合，
∴点G的路径为 ，
∵ ，O为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为 ，
即点G经过的路径为 ；
故答案为：
【小问3详解】
解：如图，连接 ，
∵点I是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 的延长线于点M，则点I在 上运动，
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
连接 ，与 交于点 ，
当点I与点 重合时，此时线段 最短，
∵ ，
∴ ，
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司即线段 最小值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三
角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 如图1，经过原点 的抛物线 （ 、 为常数， ）与 轴相交于另一点 ．直
线 ： 在第一象限内和此抛物线相交于点 ，与抛物线的对称轴相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 沿着 轴向右平移得到直线 ， 与线段 相交于点 ，与 轴下方的抛物线相交于点 ，
过点 作 轴于点 ．把 沿直线 折叠，当点 恰好落在抛物线上时（图2），求直线
的解析式；
（3）如图3，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，在抛物线对称轴上是否存在点
，使 是为以 为腰 的等腰三角形，若存在，请直接写出 点坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）
（2）
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）根据一次函数上点的特征求得点 的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求得抛物线的对称轴为 ，设直线 的解析式为 ，可得点
，根据点 的坐标可推得 为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边
形 是正方形，根据正方形的性质可求得点 的坐标，结合二次函数的性质可得
，列一元二次方程求解即可得到 的值，即可得出答案；
（3）根据旋转可得 ，求得 ， ，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，
结合勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线 ： 在第一象限内和此抛物线相交于点 ，
把 代入 得， ，
∴ ；
∵抛物线 与 轴相交于另一点 ，与直线 相交于点 ，
∴把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
解：如图，过点 作 轴交于点 ， 交直线 于点 ，
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为 ，
∵直线 与 轴相交于点 ，
将 代入 得 ，
∴点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
即直线 与 轴和 轴的夹角是 ，
∵直线 沿着 轴向右平移得到直线 ，且 轴，
∴ ， ，
根据题意可知， 是 沿直线 折叠得到的，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故点 的横坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
则 ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ 轴，
∴点 与点 关于抛物线的对称轴 对称，
即 ，
故 ，
整理得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴直线 的解析式为 ．
【小问3详解】
解：如图，直线 交 轴于点 ，作 于点 ，则 ，
由旋转得， ，
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
若点 为等腰三角形 的顶点，则存在两个满足条件的 点：
当 时，在 中， ，
∴ ；
当 时，在 中， ，
∴ ；
若点 为等腰三角形 的顶点，则存在两个满足条件的 点：
当 时，在 中， ，
则
∴ ；
当 时，在 中， ，
则
∴ ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移
的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据
等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键．
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