文档内容
方法精讲-数量 2
（笔记）
主讲教师：贾慕白
授课时间：2024.04.12
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 2（笔记）
数量关系 方法精讲 2
学习任务：
1.课程内容：代入排除法、倍数特性法、方程法
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 210～215页
4.重点内容：
（1）掌握代入排除法的适用范围及使用方法
（2）掌握倍数特性的基础知识，以及余数型和比例型的解题思路
（3）掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的解题思路
第一节 代入排除法
什么时候用？
①特定题型：多位数、年龄、不定方程、余数
②看选项：选项为一组数
③剩二代一：只剩两项时，代入一项即可
【注意】代入排除法是将选项代入到题干中，符合题干条件的为正确选项，
排除不符合题干条件的选项，重点是什么样的题目可以用代入排除法。
1.特定题型（优先考虑代入排除法）：多位数、年龄、不定方程、余数。
2.看选项：选项为一组数（每个选项都有两个数或三个数）。
3.剩二代一：根据某一个条件排除 2 项，只剩两项时，如排除 A、C 项，剩
余B、D项时，可以代入 B项（代入一项即可），若符合直接选择，若不符合选择
D项。
什么时候用？——①特定题型-题型示例
➢多位数问题：涉及到一个数各个位数上的数字
【例 1】有一个三位数，其百位数是个位数的 2倍，十位数等于百位数和个
位数之和，那么这三位数是：
1A.211 B.431
C.693 D.825
➢余数问题：出现“剩”、“余”、“缺”等关键字
【例 2】某班学生若按照每组 3名男生 2名女生分组，则余下 3名学生，那
么该班总人数是多少？
A.41 B.42
C.43 D.44
➢不定方程：未知数个数＞方程个数（第三节详细讲）
【例 3】3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
➢年龄：涉及到年龄的问题
【例 4】小龙的年龄……
【注意】什么时候用？——①特定题型，题型示例：
1.多位数问题：涉及到一个数各个位数上的数字，如涉及到百位数，给出个
位、十位、百位上的数据分别是多少。
例.有一个三位数，其百位数是个位数的 2 倍，十位数等于百位数和个位数
之和，那么这三位数是：
A.211 B.431
C.693 D.825
答：不能设未知数解题，直接代入验证，验证哪个选项百位不是个位的 2
倍，可以直接排除 B、D 项，“十位数等于百位数和个位数之和”→中间的数=两
边数之和，A项：1+2=3≠1，排除，对应C 项。
2.余数问题：不会将余数说的很直白，会以分组的形式，此时题干会出现
“剩”、“余”、“缺”等关键字，正常的余数表达，会描述为“每组 5 人还剩 3
人”，若描述为“每组 5人，还缺 2人”，属于广义余数的表达，相当于余数为负
数。
例.某班学生若按照每组 3 名男生 2 名女生分组，则余下 3 名学生，那么该
班总人数是多少？
2A.41 B.42
C.43 D.44
答：每组3名男生 2名女生分组→每组 5人，余下3名学生→总人数/5是3
的倍数，验证选项，只有 C项符合，当选。
3.不定方程：未知数个数＞方程个数（其他解法会在今晚内容的第三节详细
讲）。常见的方程是一个未知数一个方程，如 3x+6=18，移项得到 x=12。若一个
方程中存在2个未知数，正面不好解，可以从选项代入。
例.3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
答：验证 A项：3*2+2*2=6+4=10，符合方程，直接选择，无需验证其他选项。
4.年龄：涉及到年龄的问题。如很长的一段话中，提到了“小龙的年龄……”，
优先考虑代入排除法。
什么时候用？——②看选项
看选项：选项为一组数
【例】甲、乙两人共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个苹果。则甲、乙的苹果
数分别为：
A.90，10 B.85，15
C.80，20 D.75，25
【注意】什么时候用？——②看选项。
1.看选项：选项为一组数。
2.例.甲、乙两人共有 100个苹果，甲比乙多 70个苹果。则甲、乙的苹果数
分别为：
A.90，10 B.85，15
C.80，20 D.75，25
答：代入验证，A项：90+10=100、90-10=80，排除，B项：85+15=100、85-15=70，
满足题干条件，当选。
3什么时候用？——③剩二代一
排除两个后，代入剩下两个中的一个即可
【例】某工厂车间，甲组人数是乙组人数的 3倍，如果从甲组调 5人到乙组，
则甲组现在的人数是乙组现在人数的 2倍。则甲组原来有多少人？
A.30 B.45
C.50 D.65
【注意】什么时候用？——③剩二代一。
1.排除两个后，代入剩下两个中的一个即可。
2.例.某工厂车间，甲组人数是乙组人数的 3倍，如果从甲组调 5人到乙组，
则甲组现在的人数是乙组现在人数的 2倍。则甲组原来有多少人？
A.30 B.45
C.50 D.65
答：甲组人数是乙组人数的 3 倍，所求为甲的人数→甲是 3 的倍数，A、B
项是3的倍数，C、D项不是3的倍数，3的倍数只需要判断各位数字加和，看加
和的结果是否为 3 的倍数即可，排除 C、D 项；求甲组的人数，若代入 A 项，甲
组原来有 30 人，甲组人数是乙组人数的 3 倍，则乙组人数为 10，从甲组调入 5
人到乙组时，甲的人数为 30-5=25，25不是偶数，不可能是某个数据的 2倍，直
接排除A项，选择 B项。
什么时候用？
①特定题型：多位数、年龄、不定方程、余数
②看选项：选项为一组数
③剩二代一：只剩两项时，代入一项即可
怎么用？
第一步，先排除：
奇偶、倍数、尾数
第二步，再代入：
最值原则：问最大从最大代入，问最小从最小代入
好算原则：如整十、整百等
4【注意】怎么用？
1.第一步，先排除：先根据奇偶（答案一定是偶数或奇数）、倍数、尾数（如
可以判定答案的尾数为 6），进行排除；若运气比较好，可以根据一个特征排除 3
个选项，剩余的选项无需代入，直接选择即可。如根据条件“甲是乙的 3 倍”，
只有一个选项满足 3的倍数，剩余三个选项都不符合，直接选择即可，无需再代
入。
2.第二步，再代入：
（1）最值原则：问最大从最大代入，问最小从最小代入。如有两个选项，
分别为 A.150、B.300，若题目问最大，A、B 项都满足题干条件，答案一定选择
B项。因此问最大要从最大的数据开始代入。
（2）好算原则：如整十、整百等。如选项为 100 和 102，优先代入 100 计
算。
【例 1】（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干
辆客车。其中，一辆大型客车可容纳 5 个小组，一辆中型客车可容纳 3 个小组，
大型客车比中型客车多容纳 16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各
多少辆？
A.3；5 B.5；3
C.4；3 D.5；6
【解析】1.设大型客车 x量，中型客车 y量，根据题意列式：5x-3y=16，两
个未知数一个方程，不定方程问题，正面求解比较麻烦，可以代入，或根据选项
为一组数，也可以考虑代入。题目求“至少”，正常来说，求最小，要从最小值
开始代入，但题干没有强调大型客车最小还是中型客车最小，因此要从总和最小
的开始代入，代入 C项：5*4-3*3=20-9=11，排除，此时可以代入 A、B项，但如
果数字敏感度比较好，可以直接分析，11 与 16 之间相差 5，可以令大型客车多
一辆（一辆大型客车可以容纳 5个小组），大型客车从 4辆变成5辆，对应 B项。
【选B】
5【注意】若选项不是一组数，选项为“A.3、B.5、C.4、D.5”，只问大型客
车租了多少量，要根据不定方程求解，根据题干列方程：5x-3y=16，不存在“至
少”的问题，验证的目的是 x、y 都是正整数，选项均为正整数，则 y 要是正整
数，代入 A 项：5*3=15＜16（15 减去一个正整数不可能为 16），排除；代入 B
项：5*5-3y=16→3y=9→y=3，x、y为正整数，满足题干要求，选择 B项。
【例 2】（2023 联考）美术培训班有 3 名学员，他们的年龄满足以下条件：
他们的年龄都是正整数；2 号学员的年龄是 1 号学员年龄的一半；3 号学员比 2
号学员大 7 岁；3 名学员的年龄之和是不超过 70 的素数，且该素数的各位数字
之和为13，那么这 3位学员的年龄分别是多少岁？
A.12；6；13 B.20；10；17
C.24；12；19 D.30；15；22
【解析】2.出现“年龄”→年龄问题，优先考虑代入排除，或根据选项为一
组数判断，考虑代入排除法；默认选项的年龄顺序为 1、2、3 号学员，“2 号学
员的年龄是1号学员年龄的一半”，选项均满足；“3号学员比2号学员大 7岁”，
选项均满足；“3名学员的年龄之和是不超过 70的素数”，不超过→“≤”，素数
=质数，“且该素数的各位数字之和为 13”，代入 A项：12+6+13=31，若不确定 31
是否为素数，根据“该素数的各位数字之和为 13”，1+3=4，排除 A 项；代入 B
项：20+10+17=47，4+7=11≠13，排除；代入 C 项：24+12+19=55，5+5=10≠13，
排除，或根据55一定不是质数，排除 C项；选择 D项。【选D】
6【注意】
1.验证 D项（做题过程中无需验证），30+15+22=67，6+7=13，符合题意，当
选。
2.如何验证质数？按照质数找约数，找到开根号等达到的整数为止，√67=8+，
只需要找到达到 8 的质数即可，约数一定是成对存在的，4 的倍数首先一定是 2
的倍数，67无法拆分为 2*一个数、3*一个数、5*一个数、7*一个数、11*一个数，
因此67 为质数。
【例 3】（2023 广东）某工厂加工出一批正方体奶酪，抽检时质检员从奶酪
中切下了一个厚度为 2 厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为 144
立方厘米，则奶酪原本的边长为多少厘米？
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】3.设原本的边长为 x，求剩余部分的体积，剩余部分为空白部分长
方体，V=长*宽*高，由于原来为正方体，则原来的长、宽、高均为 x，切掉部分
的厚度为 2，则剩余部分长方体的高为（x-2），列方程：x*x*（x-2）=144，此
7时方程出现x³，多次方正面不好求解，考虑代入，代入 A项：4²*（4-2）=32≠
144，排除；代入 B 项：6²*（6-2）=144，满足条件，对应 B项。【选 B】
【注意】若根据尾数法判定 B项的尾数为 4，此时不能直接选择，需要排除
C、D项后，再选择 B项，因为尾数为4，但结果不一定为 144。
【注意】居中代入：若根据题意列式为 x²*（x-2）=144，此时答案为 3、4、
5、6，居中代入 5 进行验证，5²*（5-2）=25*3=75＜144，代入 5 结果小了，说
明答案要大于5，选项中只有 6满足，直接选择。居中代入有一定的概率性，可
以将居中和好算结合运用。
第二节 倍数特性法
◼基础知识：整除判定方法
◼三种题型：
➢基础型
➢余数型
➢比例型
【注意】倍数特性法：秒杀方法，如题干给出甲是乙的 3倍，还有其他条件，
求甲的值，选项分别为 11、12、13、14，甲是乙的 3 倍，说明甲是 3 的倍数，
选项中只有12是3 的倍数，直接选择。
1.基础知识：整除判定方法。
2.三种题型：
（1）基础型：基础整除知识。
（2）余数型：重点。
8（3）比例型：考频最高。
◼整除判定方法
1、口诀法（针对常见数）
2、因式分解
3、拆分法（通用）
【注意】整除判定方法：判定某个数据的倍数特征（如何判定 9、4、11 的
倍数等）。
1.口诀法（针对常见数）。
2.因式分解。
3.拆分法（通用）。
1、口诀法（针对常见数）
➢3/9 看各位数字之和
各位数字和是 3或9的倍数，则这个数是 3或9的倍数
➢2/5 看末1位
末 1位是2或 5的倍数，则这个数是2 或5的倍数
➢4/25 看末2 位
末 2位是4或 25的倍数，则这个数是 4或25的倍数
【注意】口诀法（针对常见数）：
1.3/9 看各位数字之和：各位数字和是 3或9的倍数，则这个数是 3或9的
倍数。
（1）判定 123 是否为 3 或 9 的倍数。1+2+3=6=3 的倍数，则 123 是 6 的倍
数；6不是9的倍数，则123不是9的倍数。原理（了解即可）：123=1*100+2*10+3*1，
100=99+1，10=9+1，123=1*（99+1）+2*（9+1）+3=1*99+2*9+1+2+3，1*99+2*9
为9和 3的倍数，因此若要判定123是否为 9或3的倍数，只需要看 1+2+3是否
为3的倍数即可。
（2）判断2016 是否为3或9的倍数。2016=2+0+1+6=9，9既是 9的倍数也
是3的倍数，则 2016 是9和3的倍数。
92.2/5 看末1位：末1位是2或5的倍数，则这个数是 2或5的倍数。
（1）判断 125 是否为 2 或 5 的倍数。125 的末位 5 不是 2 的倍数，是 5 的
倍数，因此 125 不是 2 的倍数，是 5 的倍数。原理：125=120*10+5=120*2*5+5，
120*2*5一定是2和 5的倍数，此时只需要判定 5是否为2或5的倍数即可。
（2）判断2016 是否为2或6的倍数。6是2的倍数，则 2016是 2的倍数，
但6不是 5的倍数，因此 2016不是5的倍数。
3.4/25 看末2 位：末2位是4或25的倍数，则这个数是 4或 25的倍数。
（1）判断125 是否为4或25的倍数：看末两位，无论前面是什么数据，都
可以写成一个数乘以 100的形式，如125=1*100+25，100=4*25，前面的数据是 4
和25的倍数，因此只需要判断25是否为4或25的倍数即可，25不是4的倍数，
是25的倍数。
（2）判断 2024 是否为 4 或 25 的倍数：2024 的末两位为 24，24 是 4 的倍
数不是 25 的倍数，因此 2024 为 4 的倍数，说明 2024 年为闰年，闰年的 2 月份
有29天。
2、因式分解
验证 X是否12 的倍数：12=3*4
只需判断 X是否 3和4的倍数即可
注意：分解后的 2个数必须互质（互质即除了 1以外没有公约数）
①432 是否12 的倍数？
②372 是否18 的倍数？
【注意】因式分解：本质是拆分。
1.验证 X是否 12的倍数：12=3*4，只需判断 X是否3和4的倍数即可。
2.注意：分解后的 2 个数必须互质（互质即除了 1 以外没有公约数），如
12=3*4，但不可以拆分为 2*6，如 18即是2 的倍数又是6的倍数，但 18不是12
的倍数，因此6的倍数已经包含 2的倍数。
3.例：
（1）432是否 12的倍数？
答：12=3*4，看末两位，32 是 4 的倍数，4+3+2=9 为 3 的倍数，说明 432
10为3、4 的倍数，则 432为12的倍数。
（2）372是否 18的倍数？
答：18=2*9=3*6，3、6 不互质，因此将 18拆分成2*9，3+7+2=12 不是9的
倍数，因此372不是 18的倍数。
3、拆分法（通用）
验证 X是否a 的倍数：
X=a*m±n，若 n是a的倍数，则X是a 的倍数
①294 是否7的倍数？
②378 是否13 的倍数
【注意】拆分法（通用）：
1.验证 X是否 a的倍数：X=a*m±n，若 n是a的倍数，则X是 a的倍数。
2.例：
（1）294是否 7的倍数？
答：找 7 的整数倍，40*7=280，294=280+14，14 是 7 的倍数，则 294 是 7
的倍数。
（2）378是否 13的倍数？
答：378=13*30-12=390-12，只需要判定 12 是否为 13 的倍数，12 不是 13
的倍数，则378不是 13的倍数。
整除判定方法
1.口诀法（针对常见数）
（3/9 看各位数字之和；2/5看末1位；4/25看末2位；8/125 看末3位）
2.因式分解
验证 X是否12 的倍数：只需判断X是否 3和4的倍数即可
注意：分解后的 2个数必须互质（互质即没有公约数）
3.拆分法（通用）
验证 X是否a 的倍数：
X=a*m±n，若 n是a的倍数，则X是a 的倍数
111.基础知识：整除型
怎么用：如果满足 A=B*C（B、C 均为整数），那么，A 能被 B 整除，且 A 能
被C整除
常见题型：①平均分配
②三量关系：A=B*C
【引例】一堆苹果分给一些人，平均每人分 3个恰好分完……，问这堆苹果
有多少个？
A.119 B.120
C.121 D.122
【例 2】小帅去买饮料，单价 6 元/瓶，买了若干瓶……小帅总共花了多少
钱？
A.23 B.24
C.25 D.26
【注意】基础知识：整除型，基础理论，讲义中没有放例题。
1.怎么用：如果满足 A=B*C（B、C 均为整数），那么，A 能被 B 整除，且 A
能被C整除。如12=3*4，则12是3和4的倍数。
2.常见题型：
（1）平均分配。
（2）三量关系：A=B*C。如行程问题→S=V*t（很多时候时间或速度不一定
为整数，但题目设置会优先将数据设为整数）、经济利润→总价=单价*数量、几
何问题→长方形面积=长*宽。
3.例：
（1）一堆苹果分给一些人，平均每人分 3 个恰好分完……，问这堆苹果有
多少个？
A.119 B.120
C.121 D.122
答：苹果数=3*人数，人数是整数，则答案一定是 3 的倍数，A、C、D 项均
不是3的倍数，对应 B项。
12（2）小帅去买饮料，单价 6 元/瓶，买了若干瓶……小帅总共花了多少钱？
A.23 B.24
C.25 D.26
答：总钱数=单价*数量=6*数量，数量是整数，则答案是 6 的倍数，只有 B
项符合。
【补例】（2021 北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企
业扩大招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生 240名，但实际招聘的高校毕业生
数量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7个部门
培训，并在培训结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作。问该企业实际招聘的
高校毕业生至少比计划招聘数多多少人？
A.6 B.12
C.14 D.28
【解析】“计划在年内招聘高校毕业生 240 名，但实际招聘的高校毕业生数
量多于计划招聘的数量”→实际招聘人数＞240 人，平均分配说明是倍数，“已
知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7 个部门培训，并在培训结束后将他们
平均分配到 9 个分公司工作”→既是 7 的倍数又是 9 的倍数，当两个数互质时，
为7*9=63 的倍数，问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人，
设人数为 63n，要让差值最小，则 63n 要最小，n 至少取 4，才能满足＞240，
63*4=252为实际最小值，此时差值最小，252-240=12，对应B项。【选 B】
一、余数型
特征：题干出现“剩”、“余”、“缺”等，
此时，总数=ax±b，那么，总数∓b 能被 a 整除（多退少补）；（a、x 均为整
数）
①一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个……，问这堆苹果有
多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
13②一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个……，问这堆苹果有
多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【注意】余数型：
1.特征：题干出现“剩”、“余”、“缺”等，此时，总数=ax±b，那么，总数
∓b能被 a整除（多退少补）；（a、x均为整数）。
2.例：
（1）一堆苹果分给一些人，平均每人分 10个，还剩3个……，问这堆苹果
有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：设人数为 x人，总数=10x+3→总数-3=10x，即总数-3是10 的倍数，验
证选项，只有C项满足，选择 C项。多退少补，还剩 3个，即多 3个，需要退掉，
总数-3=10 的倍数，利用口诀，可以不用列式。
（2）一堆苹果分给一些人，平均每人分 10个，还缺3个……，问这堆苹果
有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：“缺3个”→“少”，需要补上，总数+3是10的倍数，只有 A项符合。
【例 1】（2023 广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。
如果每支团队由3名社工组成，则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工组成，
同样剩余 2名社工，则该社区可能招募了多少名社工？
A.32 B.34
C.36 D.38
【解析】1.出现剩余，为余数型问题，对退少补，多 2人，退掉 2人，选项
-2分别为 30、32、34、36，“如果每支团队由 4名社工组成，同样剩余 2名社工”，
说明选项-2既是3 的倍数又是4的倍数，即选项-2为12的倍数，对应 D项。【选
14D】
【例 2】（2021 联考）不超过 100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开始
依次按 1，2，3，……，9的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 7；如果按1，
2，3，……，11的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 9，那么一共有多少名
小朋友？
A.98 B.97
C.96 D.95
【解析】2.“不超过 100 名的小朋友站成一列，选项均不到 100”，无法排
除；“如果从第一人开始依次按 1，2，3，……，9 的顺序循环报数”，本质为 9
人一组，“最后一名小朋友报的是 7”，则剩余 7人，多退少补，剩余几人就要退
掉几人，即选项-7 是9的倍数，选项-7依次为 91、90、89、88，只有 B项符合。
【选B】
二、比例型
男生人数/女生人数=5/3，则：
（1）男生人数是 5的倍数
（2）女生人数是 3的倍数
（3）全班人数是 5+3的倍数
（4）男女生人数差是 5-3的倍数
如果，A/B=m/n（m、n互质）
那么，
A是 m的倍数
B是 n的倍数
A+B 是m+n的倍数
A-B 是m-n的倍数
【注意】比例型：
1.男生人数/女生人数=5/3，则男生人数为 5 份、女生人数为 3 份，每 1 份
的人数相同，则：
15（1）男生人数是 5的倍数。
（2）女生人数是 3的倍数。
（3）全班人数是 5+3=8的倍数。
（4）男女生人数差是 5-3=2的倍数。
2.如果：A/B=m/n（m、n 互质），题干中 A、B 为真实的人数或物品，m、n
为具体数字，m、n 一定要互质，除了 1 以外没有其他公约数，即不能再约分，
如5/3是互质，但 10/6不是互质，那么：
（1）A是m的倍数。
（2）B是n的倍数。
（3）A+B是m+n 的倍数。
（4）A-B是m-n的倍数。
【注意】比例型问题三步走：
1.识别：出现比例（比例、分数、百分数、倍数），且求与比例相关的具体
量时，可优先考虑比例倍数。
2.转化：A/B=m/n
3.求谁分析谁
【注意】比例型问题三步走：
1.识别：出现比例，比例→3：5、分数→3/5、百分数→60%、倍数→0.6倍，
四种表达形式均为比例，且求与比例相关的具体量时，可优先考虑比例倍数。如
给出男生人数/女生人数=3/5，所求为男生人数，则男生人数为 3 的倍数，若所
求为男生的平均年龄，不能说男生的平均年龄为 3的倍数。
2.转化：A/B=m/n。
3.求谁分析谁。A是m的倍数，B是n 的倍数，A+B是m+n的倍数。
【例 1】（2022 联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志
愿服务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以
上的人数是不到 20 岁人数的 7 倍。已知 30 岁以下的人数比 30 岁及以上的人数
多66人，问这支服务队共多少人？
16A.90 B.120
C.150 D.180
【解析】1.“临时抽调一支一百多人的志愿服务队”→人数＞100，排除 A
项；68%是百分数，即比例，出现人数相关的比例，所求为人数，考虑倍数特性，
“20至30岁（不含30岁）的人数占总人数的68%”→20～30人数/总人数=68/100，
但不能说明总人数是 100的倍数，需要化成最简形式，68/100=17/25，则总人数
是25的倍数，看末两位，20、80都不是25 的倍数，只有 C项满足，对应 C项。
【选C】
【拓展】（2021 重庆选调）不到30岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5
倍，若干年后哥哥的年龄就是弟弟的4倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟
的3倍，则今年两兄弟的年龄差是多少岁？
A.12 B.13
C.14 D.15
【解析】拓展.方法一：出现 5倍，属于比例，给出年龄的倍数，求年龄差，
本质是年龄，说明今年哥哥年龄/今年弟弟年龄=5/1，求两兄弟的年龄差，即今
年哥哥年龄-今年弟弟年龄，根据比例关系，今年哥哥年龄-今年弟弟年龄为
5-1=4的倍数，对应 A项。
方法二：利用份数思维，今年哥哥是弟弟的 5 倍，则今年哥哥的年龄为 5
份，今年弟弟的年龄为 1份，年龄差=5份-1份=4份，即年龄为 4的倍数，对应
A项。【选A】
【注意】若问十年后年龄差，注意年龄差是不变的。
【例 2】（2023 河南事业单位）前年，某制衣车间共生产两个品牌服装 10
万件。去年，A品牌多生产 10%，B 品牌多生产 15%，两个品牌生产总量增加 12%。
则去年生产了 B品牌服装多少万件？
A.6.6 B.5.4
C.4.6 D.4.5
17【解析】2.出现百分数，属于比例的一种，给出 B品牌的比例，求 B品牌服
装的数量，求去年的产量，去年相对于前年增加，“去年……，B品牌多生产 15%”，
即去年B品牌/前年 B品牌=1+15%，相当于去年为现期，前年为基期，现期/基期
=1+r，转化为比例形式，1+15%=115%=115/100=23/20，即去年 B 品牌为 23 的倍
数，虽然选项带小数点，但题干单位是万件，本质上四个选项为 66000、54000、
46000、45000，由于 1000=（2*5）³，在这四个数据中判断是 23 的倍数，只需
要看前两位即可，对应 C项。【选C】
【例 3】（2023 联考）某高校今年共有 231 名本科毕业生被录取为硕士研究
生。其中推荐录取人数比上年度减少 1/6，而考试录取人数比上年度增加 31/150，
总体录取人数比上年度高 10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为：
A.40 人 B.45 人
C.50 人 D.55 人
【解析】3.出现 1/6，以分数形式出现增长率，出现与人数相关的比例，所
求为人数，考虑倍数特性，求今年推荐录取的人数，“推荐录取人数比上年度减
少1/6”→今年推荐录取人数/去年推荐录取人数=1+（-1/6）=5/6，即今年推荐
录取人数为5的倍数，选项均为 5的倍数，研究生要么是推荐录取，要么是考试
录取，“考试录取人数比上年度增加 31/150”→今年考试录取人数/去年考试录
取人数=1+31/150=181/150，今年考试的人数为 181 的倍数，今年推荐的人数+
今年考试的人数=231，今年考试的人数为181 的倍数，因此今年考试的人数只能
是181，则今年推荐的人数=231-181=50；或根据 231-今年推荐的人数=今年考试
的人数，则231-选项为 181的倍数进行判断，两个思路都可以，本质是相同的，
对应C项。【选 C】
【例 4】（2022 国考）高校某专业 70多名毕业生中，有 96%在毕业后去西部
省区支援国家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的 20%，
比任职大学生村官的毕业生少 2人，比在西部地区参军入伍的毕业生多 1人，其
余的毕业生选择去国有企业西部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作
的毕业生有多少人？
18A.32 B.29
C.26 D.23
【解析】4.“高校某专业 70多名毕业生”，近年的考试热点，给出人数的范
围，同时给出人数相关的比例，确定人数。96%=96/100=24/25，即有 24/25在毕
业后去西部省区支援国家建设→去西部/总人数=24/25，说明总人数是 25的倍数，
且人数为 70 多名（人数为 71～79），故总人数为 75 人，“去偏远中小学支教的
毕业生占该专业毕业生总数的 20%”→去中小学支教的人数=75*20%=15 人，“比
任职大学生村官的毕业生少 2人”→村官=15+2=17 人；“比在西部地区参军入伍
的毕业生多1人”→参军=15-1=14 人，“其余的毕业生选择去国有企业西部边远
岗位工作”，指在支援西部的人数中，其余的人数，总人数中有一部分的人没有
去西部地区，支援西部的人数=75*（24/25）=72 人，所求=72-15-17-14，选项
尾数不同，考虑尾数法，尾数 2-尾数5=尾数 7，尾数 7-尾数7=尾数 0，尾数 0-
尾数4=尾数6，对应 C项。【选C】
19【注意】倍数特性法：
1.基础知识：
（1）当 B、C 为整数时（S=V*t，即使速度和时间不一定为整数，一般也会
设置为整数，故可以使用），如果 A=B*C，则 A能被B、C整除。
（2）口诀。
（3）因数分解：因数必须互质。
（4）拆分：拆成两个数的和或差。
2.余数型：
（1）出现剩、余、缺。
（2）口诀：多退少补。
3.比例型：
（1）比例、分数、百分数、倍数（都是 A/B的形式）。
（2）A/B=m/n，当 A、B 是整数时，且m/n 是最简整数比，则A是 m的倍数，
B是n的倍数，A±B是m±n的倍数。
第三节 方程法
什么时候用：若题目没有明显特征或其它技巧没法用时
怎么用：设未知数-找等量关系-列方程-解方程
普通方程
不定方程
不定方程组
20【注意】方程法：是大家非常熟悉的，且是第一选用的方法。
1.什么时候用：若题目没有明显特征或其它技巧没法用时，考虑方程法（如
果题目可以用倍数特性，则先考虑用方法秒杀，如果无法使用，则考虑设未知数、
列方程）。
2.怎么用：设未知数（重点回顾）→找等量关系→列方程→解方程。
（1）普通方程。一元一次方程、二元一次方程组。
（2）不定方程。
（3）不定方程组。
设未知数的技巧：
1.设小不设大（避免分数）
2.设比例份数（出现比例）
3.设中间量（方便列式）
4.同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）
【注意】设未知数的技巧：有时设好未知数会事半功倍。
1.设小不设大（避免分数）。比如甲=3 乙，考虑设乙为 x，则甲为 3x（如果
设甲为x，则乙为 x/3，会出现分数）。
2.设比例份数（出现比例）。比如甲：乙=5：3，考虑设一份为x，则甲为 5x，
乙为3x（做题时直接设 5x、3x）。
3.设中间量（方便列式）。比如出现“每人 5个”，求总数，不要直接设总数
为x，则人数会出现分数；考虑设人数为 x，则总数为5x。
4.同等条件下（不存在倍数关系），求谁设谁（避免陷阱）。比如甲+乙=100，
求乙，可以设乙为 x，不然容易掉坑（比如设甲为 x，求出 x=80，可能直接选择
了80的选项）。
【例 1】（2022 联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加 2 人
并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加 10
人，第二小组人数减少 1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原
先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
21A.15 人 B.21 人
C.24 人 D.32 人
【解析】1.出现原来、现在，还有 4个小组，考虑列表梳理数据。已知“现……
四个小组人数相等”，考虑设现在人数都为 x。已知“与原先相比，第一小组人
数增加 10 人，第二小组人数减少 1 人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数
减半”，则原来第一、第二、第三、第四小组分别为 x-10、x+1、x/2、2x。已知
“ 现 增 加 2 人 并 重 新 分 配 ”， 即 原 来 人 数 = 现 在 人 数 -2 ， 列 式 ：
x-10+x+1+x/2+2x=4x-2，解得 x=14。原来最多的是第四小组，为 14*2=28 人；
原来最少的是第一小组，为 14-10=4人，所求=28-4=24，对应C项。【选 C】
二、不定方程
形式：ax+by=M
方法：代入排除
1.先排除
①奇偶性
②倍数特性
③尾数法
2.再代入
【注意】不定方程：未知数个数＞方程个数。
1.形式：ax+by=M，x、y是未知数，a、b、M是常数。
2.方法：代入排除。
22（1）先排除：奇偶性、倍数特性、尾数法。
（2）再代入。
1.奇偶性
（1）ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，可考虑奇偶性。
（2）例：3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）。
A.2 B.3
C.4 D.5
2.倍数特性
（1）ax+by=M，当a或b与M有公因子时，可考虑倍数特性。
（2）例：7x+3y=60，x可能为多少？（x、y均为正整数）。
A.5 B.6
C.7 D.8
3.尾数法
（1）ax+by=M，当a或b尾数是0或5 时，考虑尾数。
（2）37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）。
A.1 B.3
C.2 D.4
【注意】
1.奇偶性：
（1）ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，可考虑奇偶性。
（2）例：3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）。
A.2 B.3
C.4 D.5
答：5 是奇数，4y 是偶数，奇数+偶数=奇数，则 3x 是奇数，故 x 一定是奇
数（如果x是偶数，3x一定是偶数），排除A、C项。剩二代一，B项：3*3+4y=25，
解得y=4，满足所有条件，B项当选。如果代入 D项：3*5+4y=25，解得 y不是正
整数，排除D项，对应 B项。
2.倍数特性：
23（1）ax+by=M，当a或b与M有公因子（公约数）时，可考虑倍数特性。
（2）例：7x+3y=60，x可能为多少？（x、y均为正整数）。
A.5 B.6
C.7 D.8
答：60、3y 都有 3 因子，故 7x 一定有 3 因子，7 里面没有 3 因子，故 x 一
定有 3 因子，即 x 是 3 的倍数，推导：7x=60-3y→7x=3*（20-y）→x/（20-y）
=3/7，则 x是3的倍数，只有 B项满足。
3.尾数法：
（1）ax+by=M，当a或b尾数是0或5 时，考虑尾数。
（2）37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）。
A.1 B.3
C.2 D.4
答：20y的尾数一定为 0，尾数 1+尾数 0=尾数1，故37x的尾数为 1，看7*x
的尾数即可，只有 B项满足。
（3）37x+15y=271，x=？（x、y均为正整数）。
A.1 B.3
C.2 D.4
答：15y的尾数可能为 5或0，尾数 1（或 6）+尾数0（或5）=尾数 1，1*7=7，
2*7=14，3*7=21，4*7=28，只有 B 项满足尾数。如果还有一个选项为 8，8*7=56，
尾数满足，但 37*8=296＞271，此时 y 为负数，不满足，排除该项，选择 B 项。
【例 2】（2023 上海事业单位）为进一步推进垃圾分类工作，某街道准备张
贴宣传广告，设计了甲、乙两种广告准备印制。已知制作一张甲类宣传广告需要
4分钟，制作一张乙类宣传广告需要 7分钟，若只有一台机器且每次仅能制作一
张，恰好143分钟后所有宣传广告制作完毕，那么至多制作多少张乙类宣传广告？
（假设制作两张广告之间的时间忽略不计）
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】2.根据题意，设甲、乙分别为 x、y，已知“制作一张甲类宣传广
24告需要4分钟，制作一张乙类宣传广告需要 7分钟，若只有一台机器且每次仅能
制作一张，恰好143 分钟后所有宣传广告制作完毕”，列式：4x+7y=143。不定方
程问题，系数一奇一偶，考虑奇偶特性，143 是奇数，4x是偶数，则 7y是奇数，
故y一定是奇数，排除A、C项。剩二代一，问至多，先代入较大的D项：4x+7*19=143，
解得x=2.5，不是整数，排除 D项，对应B 项。【选B】
【例 3】（2020 四川下）某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙
三个品种的樱桃单价分别为 28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多
少盒丙品种的樱桃？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】3.根据题意，设甲乙丙分别为 x、y、z，已知“某人花 400元购买
了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为 28元/盒、32元/盒
和 33 元/盒”，列式：28x+32y+33z=400。28x、32y、400 都是 4 的倍数，则 33z
也是4的倍数，33 不是4的倍数，故z一定是 4的倍数，对应B项。【选 B】
【注意】
1.如果考虑奇偶性：28x、32y、400都是偶数，则 33z是偶数，故 z一定是
偶数，排除 A、C 项。剩二代一，B 项：28x+32y+33*4=400，转变为 2 个未知数
的不定方程，再进一步用不定方程的思维解除 x、y，看是否都符合正整数，但
是比较绕，考虑用倍数特性。
2.偶数的本质是 2的倍数，奇偶性属于倍数特性，但倍数不止是 2，更大的
倍数限制性更强。比如 1～5 中，2 的倍数有 2、4，而 4 的倍数只有 4，故倍数
更大时，限制更大，符合的数字更少，故优先使用倍数特性。
3.如果奇偶和倍数特性都不能用，就“硬代”，但考场上建议直接跳过。
【例 4】（2022 江苏）某企业年终评选了 30名优秀员工，分三个等级，分别
按每人 10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1 万
元奖金的员工有：
25A.14 人 B.19 人
C.20 人 D.21 人
【解析】4.设得到 10、5、1 万元的人数分别为 x、y、z，已知“评选了 30
名优秀员工”，则 x+y+z=30①；已知“共发放奖金 89万元”，则10x+5y+z=89②，
不定方程组问题，考虑消元，转化为不定方程问题。求的是 z，考虑保留 z，消
x 或 y，最起码可以代入排除；然后消掉 z，连代入排除都不好操作，①*5-②：
4z-5x=61。不定方程问题，系数一奇一偶（负号不影响奇偶性），考虑奇偶性。
4z是偶数、61是奇数，则 5x是奇数，x一定为奇数，但无法选择答案，5x还可
以看尾数，5x为奇数，故尾数一定为 5。尾数 6-尾数5=尾数1，即 4z 的尾数为
6，排除C、D项。剩二代一，A项：4*14-5x=61，4*14＜61，不满足题意，排除
A项，对应B项。【选 B】
【注意】方程法：
1.普通方程：
（1）设小不设大。
（2）设中间量。
（3）求谁设谁。
（4）出现比例，设分数。
2.不定方程：代入排除。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子、
（3）尾数特性：系数尾数为 0或5。
（4）直接代入选项。比如 3x+7y=23，求 x，选项分别为1、2、3、4。奇偶、
26倍数、尾数都不好用，直接代入，如果 x=1，7y=20，y不是整数，排除 A项；如
果x=2，6+7y=23，y不是整数，排除 B项；如果 x=3，9+7y=23，解得 y=2，选择
C项。
【练习 1】（2023 联考）如果四个连续的正整数之积是个位为 4 的四位数，
则这四个数中最小的是：
A.6 B.9
C.5 D.10
【解析】练习 1.多位数问题，考虑代入排除法。问“最小”，从最小的 C项
开始代入：5*6*7*8 的尾数一定为0，排除 C项；A项：6*7*8*9的尾数为 4，此
时不能直接选择 A 项，还要验证是否为四位数，可以继续验证其他选项的尾数；
B 项：9*10*11*12 的尾数一定为 0，排除 B 项；D 项：10*11*12*13 的尾数一定
为0，排除 D项。【选 A】
【注意】如果问男生人数最少为多少，50、100都符合题意，则答案要选 50，
这种题目要从最小开始代入。但本题问的是“四个数中最小的”，如果 5、6、7、
8满足，则最小是 5，如果 6、7、8、9满足，则最小是 6，本题不是让 5和6比
较，故本题不从最小开始代入也可以。
【练习 2】（2024 联考网友回忆版）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问
题，开设了暑托班。开班时男孩与女孩的比例为 3：4，后来有 2个男孩、1个女
孩退出暑托班，此时男孩与女孩的比例为 2：3。那么开班时女孩有多少人?
A.10 B.12
C.14 D.16
【解析】练习 2.方法一：出现比例，考虑倍数特性。开班时男/女=3/4，则
开班时女孩是 4 的倍数，排除 A、C 项。已知“后来有 2 个男孩、1 个女孩退出
暑托班，此时男孩与女孩的比例为 2：3”，则（男-2）/（女-1）=2/3，则“开
班时女孩-1”是3 的倍数，“B、D项-1”依次为 11、15，对应D项。
方法二：猜题，以坑治坑。可能会设置男孩为“坑”，观察选项，B 项：D
27项=3：4，说明B项对应男孩，D项对应女孩，猜 D项。【选D】
【答案汇总】
代入排除法 1-3：BDB
余数型 1-2：DB
比例型 1-4：CCCC
方程法 1-4：CBBB
28遇见不一样的自己
Be your better self
29
