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C H A O G E J I A O Y U
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第8节课（ ）
第八章 容斥原理
主讲老师： 高 照第八章 容斥原理
1.两集合
2.三集合
3.画图法
4.容斥原理结合不定方程（最值）
5.容斥原理和周期结合（1）两集合公式
两集合
（2）两集合公式变形两集合𝐀 + 𝐁 − 𝐀 ∩ 𝐁 = 总 − 都不【例1】（2022广东）某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层
经历和计算机等级证书。已知，单位内有40人有基层经历，有46人有计算机等级证书，既没有基层经历
又未获得计算机等级证书的有10人。那么能够进入工作组的员工有（ ）人。
A.16
B.40
C.46
D.54【例2】（2023浙江）某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不
2
及格。已知有 的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
3
A.31
B.37
C.41
D.44（1）两集合公式
两集合
（2）两集合公式变形
识别：都比都不（都—都不）
𝐀 + 𝐁 − 𝐀 ∩ 𝐁 = 总 − 都不
𝐀 + 𝐁 − 总 = 𝐀 ∩ 𝐁 − 都不【例3】（2025国考）某研发小组员工中，60％的人参与了A项目，45％的人参与了B项目，两个项目都
参与的人比两个项目都不参与的多2人。问该研发小组有多少人？
A.100
B.50
C.40
D.20第八章 容斥原理
（1）两集合公式
1.两集合
（2）两集合公式变形
（1）三集合标准型
2.三集合
（2）三集合非标准型
（3）三集合非标准型变形
3.画图法
4.容斥原理结合不定方程（最值）
5.容斥原理和周期结合三集合三集合
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 总 − 都不【例4】（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，
订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，
此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78（注：满足两个条件=只满足两个条件）
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 满足两项－满足三项×2＝总－都不三集合标准型和非标准型区分：
①标准型 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 总 − 都不
②非标准型 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 满足两项－满足三项×2＝总－都不三集合标准型与非标准型的区分
➢标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）
【例4】某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126 人，订阅C 期刊的有135
人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订
阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人？
➢非标准型判定： 给出只满足两种（满足两种）
【例5】某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25
人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？【例5】（2019河北）某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的
有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7【例6】（2022北京）单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名职工至少去1
个基地。已知有48人去了甲基地，有42人未去乙基地，去丙基地的人中，去1个、2个、3个基地的人数
比为3：2：1。如仅去2个基地和去3个基地的职工分别有x人和y人，则x和y的关系为：
A.x=4y+6
B.x=4y-6
C.x=3y+6
D.x=3y-6（3）三集合非标准型变形
特征：至少满足两个条件=满足两个条件+满足三个条件
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 满足两项－满足三项×2＝总－都不
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 满足两项－满足三项－满足三项＝总－都不
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − （满足两项+满足三项）－满足三项＝总－都不
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − （ ）－满足三项＝总－都不【例7】（2025江苏）某单位组织45名员工参观第十五届中国国际航空航天博览会。其中，21人参
观了新一代隐身战斗机歼-35A，22人参观了嫦娥六号取回的月背月壤样品，19人参观了大型无人机
战舰“虎鲸”。所有员工中，这三种展览都未参观的有5人，至少参观两种的有12人，则这三种展览
都参观的有（ ）。
A.7人
B.8人
C.9人
D.10人第八章 容斥原理
（1）两集合公式
1.两集合
（2）两集合公式变形
（1）三集合标准型
2.三集合
（2）三集合非标准型
（3）三集合非标准型变形
3.画图法
4.容斥原理结合不定方程（最值）
5.容斥原理和周期结合画图法容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分（清晰明了，快准狠）
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足一个条件）
特征：只参加A；参加A但不参加B ；或者缺少代公式必要的数据
画图法：三步走
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式【例8】（2024江苏）某基层工会共有180名会员，举行甲、乙两项工会活动，60%的会员参加甲活
动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有80人，则只参加乙活动的会员有( )
A.10人
B.28人
C.62人
D.90人【例9】（2025国考）某单位65名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的职工正好占80%，
没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有丙认证的职工有3人，三项认证都有的职工有6
人，问有多少人仅拥有甲、乙两项认证？
A.10
B.13
C.16
D.19容斥原理结合不定方程（最值）
问法：求最值
方法：此消彼长【例10】（2023广东）某单位共有员工200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数多88%。则
报纸和杂志均未订阅的员工有（ ）人。
A.36
B.56
C.76
D.96【例11】（2021四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发现，适合
4
种植A作物的自然村占 。适合种植B作物的自然村有25个，同时适合种植两种作物的自然村占总数的
13
1
，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个?
14
A.57
B.67
C.114
D.134容斥原理和周期结合
题型特点：某高校举办春季运动会，共有1000名学生报名参加竞赛项目。为从运动员中选拔人员参加开幕式
和闭幕式队列，现把所有运动员从1到1000进行编号，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号
为7的倍数的运动员参加闭幕式队列。
方法：
（1）求A、B、𝐀 ∩ 𝐁
（2）容斥原理公式【例12】（2018山东选调）某高校举办春季运动会，共有1000名学生报名参加竞赛项目。为从运动
员中选拔人员参加开幕式和闭幕式队列，现把所有运动员从1到1000进行编号，选出编号为3的倍数
的运动员参加开幕式队列，而编号为7的倍数的运动员参加闭幕式队列。问：既不参加开幕式队列也
不参加闭幕式队列的运动员有多少人？
A.428
B.475
C.525
D.572【例13】（2019江苏）某公司年终联欢，准备了52张编号分别为1至52的奖券用于抽奖。如果编号是
2、3的倍数的奖券可分别兑换2份、3份奖品，编号同时是2和3的倍数的奖券只可兑换3份奖品，其他
编号的奖券只可兑换1份奖品，则所有奖券可兑换的奖品总数是：
A.99份
B.100份
C.102份
D.104份第八章 容斥原理
（1）两集合公式
1.两集合
（2）两集合公式变形
（1）三集合标准型
2.三集合
（2）三集合非标准型
（3）三集合非标准型变形
3.画图法
问法：求最值
4.容斥原理结合不定方程（最值）
方法：此消彼长
选出编号为3的倍数
5.容斥原理和周期结合
选出编号为5的倍数
选出编号为 的倍数专项拔高练习八【练习1】（2022联考）某社区积极为某受灾地区捐款捐物，其中30%的人员捐赠了物品，70%的
人员捐了款，总计有80%的人员进行了捐赠。问该社区既捐赠物品又捐款的人员占该社区人员的比
例为：
A.15%
B.20%
C.21%
D.25%【练习2】（2022联考） 某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物
理及格的人数比化学及格的人数多10人，且化学及格的人数占全班的60%。已知全班人数不超过70
人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？
A.25
B.26
C.27
D.28【练习3】（2019江苏）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中
108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天
晚上两个频道均未看过的人数是：
A.17
B.22
C.29
D.38【练习4】（2020山东选调）某一个专业共有100名学生，在第一次考试中有52人得90分以上（含
90分），在第二次考试中有42人得90分以上（含90分）。已知这两次考试都没得90分以上（含90
分）的有34人，那么这两次考试都得90分以上（含90分）的有多少人？（ ）
A.14
B.28
C.8
D.4【练习5】（2018联考）联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌
又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有
6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A.12
B.18
C.24
D.32【练习6】（2018联考）有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68
种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂
白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么
三种食品添加剂都不达标的有多少种？
A.14
B.16
C.18
D.20作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷。就是重复，认识题，理解题，认同题）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）抓住问题，根据题干条件，判定题型：容斥原理问题，两集合？
三集合？标准还是非标准？公式还是画图？。（变形考法的表述是什么？如何快速做？）
2：计算2遍：容斥原理无计算量，尾数法很好用。
预习：第九章 等差和等比数列问题学进去习能使我们快乐
与独处相安，学会成长。
越：越己、悦己、阅己
我：自行、自省、自清欢
享受知识的收获，感受自己的成长，学习才会有学习的成就感。
打破原有思维，纠正自己的格局，提升你的认知和境界
上岸有我，有我必胜，岗位第一。
