2025年考研真题试题（数学一）_数学一真题+解析[87-25]

2025 年全国硕士研究生招生考试
试题（数学一）
（科目代码：301）2025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
一、选择题:1～10 小题,每小题 5 分,共 50 分,下列每题给出的四个选项
中,只有一个选项是符合题目
要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．
(1) 已知函数 f  x  x et2 sintdt ， g  x   x et2 dtsin2x ，则
0 0
(A) x0 是 f  x 的极值点，也是 g  x 的极值点
(B) x0 是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线 y  g  x 的拐点
(C) x0 是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线 y f  x 的拐点
(D)  0,0 是曲线 y f  x 的拐点，也是曲线 y  g  x 的拐点
(2) 已知级数：①  sin n3 ；②  (1)n( 1 tan 1 ) ，则
n1
n2 1
n1
3 n2 3 n2
(A) ①与②均条件收敛 (B) ①条件收敛，②绝对收
敛
(C) ①绝对收敛，②条件收敛 (D) ①与②均绝对收敛
(3) 设数 f  x 在区间 0,上可导，则
(A) 当 lim f  x 存在时， lim f x 存在 (B) 当 lim f x 存在时，
x x x
 存在
lim f x
x
 x f  t  dt
(C) 当 lim 0 存在时, lim f  x  存在 (D)当 lim f  x  存在时，
x x x x
 x f  t  dt
存在
lim 0
x x
(4) 设函数 f  x,y 连续，则  2 dx 4 f  x,y  dy
2 4x2
(A)  4 [  4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx]dy
0 2 4y
12025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
(B)  4 [ 4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx]dy
0 2 4y
(C)  4 [  4y f  x,y  dx 4y f  x,y  dx]dy
0 2 2
(D) 2 4 dy[ 2 f  x,y  dx
0 4y
(5) 二次型 f(x ,x ,x ) x22x x 2x x 的正惯性指数为
1 2 3 1 1 2 1 3
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 3
(6) 设 ,,, 是 n 维向量， , 线性无关， ,, 线性相关，且
1 2 3 4 1 2 1 2 3
，在空间直角坐标系 中，关于 的方程组
 1  2  4 0 Oxyz x,y,z
的几何图形是
x y z 
1 2 3 4
(A)过原点的一个平面 (B) 过原点的一条直线
(C)不过原点的一个平面 (D) 不过原点的一条直线
(7) 设 n 阶矩阵 A,B,C 满足 r(A)r(B)r(B)r(ABC)2n ，给出下列四个结
论 ： ① ； ② ； ③
r(ABC)nr(AB)r(C) r(AB)nr(A)r(B)
；④ ，其中正确的选项是
r(A)r(B)r(C)n r(AB)r(BC)n
(A) ①② (B) ①③
(C) ②④ (D) ③④
(8) 设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(0,0;1,1;P) ，其中 P(1,1) ，若 a,b
为满足 a2+b2 1 的任意实数，则 D(aX bY) 的最大值为
(A) 1 (B) 2
(C) 1|P| (D) 1P2
20
(9) 设 X ,X ,...,X 是来自总体 B(1,0.1) 的简单随机样本，令 T X ，利用
1 2 20 i
i1
泊松分布近似表示二项分布的方法可得
P{T1}
22025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
1 2
(A) (B)
e2 e2
3 4
(C) (D)
e2 e2
1 n
(10) 设x ,x ,,x 为来自正态总体N ,2 的简单随机样本，记X  x ，
1 2 n n i
i1
Z 表示标准正态分布的上侧分位数，假设检验问题：H :1,H :1
 0 1
的显著性水平为的检验的拒绝域为
 2   2 
(A)   x ,x ,,x  X 1 Z  (B)   x ,x ,,x  X 1 Z 
 1 2 n n    1 2 n n  
 2   2 
(C)   x ,x ,,x  X 1 Z  (D)   x ,x ,,x  X 1 Z 
 1 2 n n    1 2 n n  
二、填空题:11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分．
xx 1
(11) lim ________.
x0 lnxln(1x)
 1
0 , 0 x
(12) 已知函数 f  x     2 的傅里叶级数为  b sinnx , S  x  为
1 n
 x2,  x 1 n1
 2
  b sinnx 的和函数,则 S    7  ________.
n  2
n1
(13) 已知函数 U  x,y,z  xy2z3，向量 n 2,2,1 ，则
v
________.
n
(1,1,1)
(14) 已知有向曲线 L 是沿抛物线 y 1x2从点 1,0 到1，0 的段，则曲线
积分
32025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
 (ycosx)dx(2xcosy)dy ________.
L
4 2 3
(15) 设矩阵 A  a 3 4  ，若方程组 A2X 0 与 AX 0 不同解，则
 
 
b 5 7
ab________.
(16) 设 A,B 为 两 个 不 同 随 机 事 件 ， 且 相 互 独 立 ， 已 知
5，则 中至少有一个发生的条件下， 中恰好
P(A)2P(B),P(AB) A,B A,B
8
有一个发生的概率为________.
三、解答题:17～22 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(17) (本题满分 10 分)
计算 1 1
 dx.
0 (x1)(x22x2)
(18) (本题满分 12 分)
已知函数 f  u 在区间 0,内具有二阶导数，记 g  x,y  f


x
 ，若 g  x,y 
 y
满足
x2 2g xy 2g  y2 2g 1 ，且 g  x,x 1 ， g  2，求 f  u .
x2 xy y2 x x
x,x
(19) (本题满分 12 分)
42025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
设函数 f(x) 在区间 a,b 内可导，证明：导函数 f(x) 在 a,b 内严格单调增
加的充分必要条件是：对  a,b  内任意的 x ,x ,x ，当 x  x  x 时，
1 2 3 1 2 3
f(x ) f(x ) f(x ) f(x )
2 1  3 2
x x x x
2 1 3 2
(20) (本题满分 12 分)
x t
x0 
设 是由直线 绕直线 （ 为参数）旋转一周得到的曲面， 是
  y t t 
y 0

1
z t
介于平面

与 之 间 部 分 的 外 侧 ， 计 算 曲 面 积 分
x yz 0 x yz 1
xdydz(y1)dzdx(z2)dxdy

1
 0 1 2
(21) (本题满分 12 分) 设矩阵 A  1 0 2 ，已知 1 是 A 的特征多项式的
 
 
1 1 a
重根
(1)求 的值
a
(2)求所有满足
A
，
A22
的非零列向量

，

(22) (本题满分 12 分)
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 与投保人的损失额 的
Y X
关系为
 0,X 100
，设损失事件发生时，投保人的损失额 的概率密度
Y  X
X 100,X 100
为
52025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
 21002
 ,x0
f(x)(100x)3

 0,x0
(1)求 P  Y＞0 及 E(Y)
(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为
N
,保险公司在一年内就这
种损失事件产生的理赔次数记为
M
,假设
N
服从参数为
8
的泊松分布，
在 N n  n1 的条件下， M 服从二项分布 B  n,P ，其中 P  P  Y 0 ,求 M 的
概率分布.
6