2025年考研真题试题（数学一）_数学一真题+解析[87-25]

2025 年全国硕士研究生招生考试 试题（数学一） （科目代码：301）2025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题 一、选择题:1～10 小题,每小题 5 分,共 50 分,下列每题给出的四个选项 中,只有一个选项是符合题目 要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置． (1) 已知函数 f  x  x et2 sintdt ， g  x   x et2 dtsin2x ，则 0 0 (A) x0 是 f  x 的极值点，也是 g  x 的极值点 (B) x0 是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线 y  g  x 的拐点 (C) x0 是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线 y f  x 的拐点 (D)  0,0 是曲线 y f  x 的拐点，也是曲线 y  g  x 的拐点 (2) 已知级数：①  sin n3 ；②  (1)n( 1 tan 1 ) ，则 n1 n2 1 n1 3 n2 3 n2 (A) ①与②均条件收敛 (B) ①条件收敛，②绝对收 敛 (C) ①绝对收敛，②条件收敛 (D) ①与②均绝对收敛 (3) 设数 f  x 在区间 0,上可导，则 (A) 当 lim f  x 存在时， lim f x 存在 (B) 当 lim f x 存在时， x x x  存在 lim f x x  x f  t  dt (C) 当 lim 0 存在时, lim f  x  存在 (D)当 lim f  x  存在时， x x x x  x f  t  dt 存在 lim 0 x x (4) 设函数 f  x,y 连续，则  2 dx 4 f  x,y  dy 2 4x2 (A)  4 [  4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx]dy 0 2 4y 12025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题 (B)  4 [ 4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx]dy 0 2 4y (C)  4 [  4y f  x,y  dx 4y f  x,y  dx]dy 0 2 2 (D) 2 4 dy[ 2 f  x,y  dx 0 4y (5) 二次型 f(x ,x ,x ) x22x x 2x x 的正惯性指数为 1 2 3 1 1 2 1 3 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (6) 设 ,,, 是 n 维向量， , 线性无关， ,, 线性相关，且 1 2 3 4 1 2 1 2 3 ，在空间直角坐标系 中，关于 的方程组  1  2  4 0 Oxyz x,y,z 的几何图形是 x y z  1 2 3 4 (A)过原点的一个平面 (B) 过原点的一条直线 (C)不过原点的一个平面 (D) 不过原点的一条直线 (7) 设 n 阶矩阵 A,B,C 满足 r(A)r(B)r(B)r(ABC)2n ，给出下列四个结 论 ： ① ； ② ； ③ r(ABC)nr(AB)r(C) r(AB)nr(A)r(B) ；④ ，其中正确的选项是 r(A)r(B)r(C)n r(AB)r(BC)n (A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④ (8) 设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(0,0;1,1;P) ，其中 P(1,1) ，若 a,b 为满足 a2+b2 1 的任意实数，则 D(aX bY) 的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) 1|P| (D) 1P2 20 (9) 设 X ,X ,...,X 是来自总体 B(1,0.1) 的简单随机样本，令 T X ，利用 1 2 20 i i1 泊松分布近似表示二项分布的方法可得 P{T1} 22025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题 1 2 (A) (B) e2 e2 3 4 (C) (D) e2 e2 1 n (10) 设x ,x ,,x 为来自正态总体N ,2 的简单随机样本，记X  x ， 1 2 n n i i1 Z 表示标准正态分布的上侧分位数，假设检验问题：H :1,H :1  0 1 的显著性水平为的检验的拒绝域为  2   2  (A)   x ,x ,,x  X 1 Z  (B)   x ,x ,,x  X 1 Z   1 2 n n    1 2 n n    2   2  (C)   x ,x ,,x  X 1 Z  (D)   x ,x ,,x  X 1 Z   1 2 n n    1 2 n n   二、填空题:11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分． xx 1 (11) lim ________. x0 lnxln(1x)  1 0 , 0 x (12) 已知函数 f  x     2 的傅里叶级数为  b sinnx , S  x  为 1 n  x2,  x 1 n1  2   b sinnx 的和函数,则 S    7  ________. n  2 n1 (13) 已知函数 U  x,y,z  xy2z3，向量 n 2,2,1 ，则 v ________. n (1,1,1) (14) 已知有向曲线 L 是沿抛物线 y 1x2从点 1,0 到1，0 的段，则曲线 积分 32025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题  (ycosx)dx(2xcosy)dy ________. L 4 2 3 (15) 设矩阵 A  a 3 4  ，若方程组 A2X 0 与 AX 0 不同解，则     b 5 7 ab________. (16) 设 A,B 为 两 个 不 同 随 机 事 件 ， 且 相 互 独 立 ， 已 知 5，则 中至少有一个发生的条件下， 中恰好 P(A)2P(B),P(AB) A,B A,B 8 有一个发生的概率为________. 三、解答题:17～22 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. (17) (本题满分 10 分) 计算 1 1  dx. 0 (x1)(x22x2) (18) (本题满分 12 分) 已知函数 f  u 在区间 0,内具有二阶导数，记 g  x,y  f   x  ，若 g  x,y   y 满足 x2 2g xy 2g  y2 2g 1 ，且 g  x,x 1 ， g  2，求 f  u . x2 xy y2 x x x,x (19) (本题满分 12 分) 42025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题 设函数 f(x) 在区间 a,b 内可导，证明：导函数 f(x) 在 a,b 内严格单调增 加的充分必要条件是：对  a,b  内任意的 x ,x ,x ，当 x  x  x 时， 1 2 3 1 2 3 f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) 2 1  3 2 x x x x 2 1 3 2 (20) (本题满分 12 分) x t x0  设 是由直线 绕直线 （ 为参数）旋转一周得到的曲面， 是   y t t  y 0  1 z t 介于平面  与 之 间 部 分 的 外 侧 ， 计 算 曲 面 积 分 x yz 0 x yz 1 xdydz(y1)dzdx(z2)dxdy  1  0 1 2 (21) (本题满分 12 分) 设矩阵 A  1 0 2 ，已知 1 是 A 的特征多项式的     1 1 a 重根 (1)求 的值 a (2)求所有满足 A ， A22 的非零列向量  ，  (22) (本题满分 12 分) 投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 与投保人的损失额 的 Y X 关系为  0,X 100 ，设损失事件发生时，投保人的损失额 的概率密度 Y  X X 100,X 100 为 52025年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题  21002  ,x0 f(x)(100x)3   0,x0 (1)求 P  Y＞0 及 E(Y) (2)这种损失事件在一年内发生的次数记为 N ,保险公司在一年内就这 种损失事件产生的理赔次数记为 M ,假设 N 服从参数为 8 的泊松分布， 在 N n  n1 的条件下， M 服从二项分布 B  n,P ，其中 P  P  Y 0 ,求 M 的 概率分布. 6