2025年考研真题试题（数学二）_数学二真题+解析[87-25]

年全国硕士研究生招生考试试题 2025 （数学二） （科目代码： ） 3022025年全国硕士研究生招生考试（数学二）真题试题 一、选择题:1～10 小题,每小题 5 分,共 50 分,下列每题给出的四个选项 中,只有一个选项是符合题目 要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置． 1.设函数 z  z(x,y) 由 zlnz x et2 dt 0 确定，则 z  z ( ) y x y z z A. (ex2 ey2 ) B. (ex2 ey2 ) z1 z1 z z C. (ex2 ey2 ) D. (ex2 ey2 ) z1 z1 2.已知函数 f(x) x et2 sintdt ， g(x)  x et2 dtsin2x, 则( ) 0 0 A.x0 是 f(x) 的极值点，也是 g(x) 的极值点 B.x0 是 f(x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  g(x) 的拐点 C.x0 是 f(x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  f(x) 的拐点 D.(0,0) 是曲线 y  f(x) 的拐点，也是曲线 y  g(x) 的拐点 3.如果对微分方程 y2aya2y0 的任一解 yx ，反常积分   yxdx 均收 0 敛，那么 的取值范围是( ) a A.2,1 B.,1 C.2,0 D.,0 4.设函数 f(x) ， g(x) 在 x0 的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当 x0 时， f(x) 是 g(x) 的高阶无穷小，则当 x0 时，( ) A. f(x)g(x)(g(x)) B. f(x)g(x) (f 2(x)) C. f(x)(eg(x)1) D. f(x)(g2(x)) 5.设函数 f(x,y) 连续，则  2 dx 4 f (x,y)dy ( ) 2 4x2 4  4y 2  A.  f(x,y)dx f(x,y)dx dy   0  2 4y  12025年全国硕士研究生招生考试（数学二）真题试题 4 4y 2  B.  f(x,y)dx f(x,y)dx dy   0  2 4y  4  4y 4y  C.  f(x,y)dx f(x,y)dx dy   0  2 2  4 2 D.2 dy f(x,y)dx 0 4y 6.设单位质点 P,Q 分别位于点 0,0 和 0,1 处， P 从点 0,0 出发沿 x 轴正向移 动，记 为引力常量，则当质点 移动到点 时，克服质点 的引力 G P l,0 Q 所做的功为( ) A. l G dx B. l Gx dx 0 x2 1 0 x2 1  3 2 C. l G dx D. lGx1 dx 0 x2 1  3 2 0 x2 1  3 2 7.设函数 f(x) 连续，给出下列四个条件 f x  f 0 存在； f x f 0 存在； ①lim ②lim x0 x x0 x f x 存在； f x  f 0 存在； ③lim ④lim x0 x x0 x 其中能得到“ f(x) 在 x0 处可导”的条件个数是( ) A.1 B.2 C. 3 D.4 1 2 0 8.设矩阵 有一个正特征值和两个负特征值，则( ) 2 a 0     0 0 b A. a4,b0 B. a4,b0 C. a4,b0 D. a4,b0 1 1 0 1 9.下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 的是( ) 0 0 1 2     0 0 0 0 22025年全国硕士研究生招生考试（数学二）真题试题 1 1 0 1 1 1 0 1     A. B. 1 2 1 3 1 1 2 5         2 3 1 4 1 1 1 3 1 0 0 1 1 1 2 3     C. D. 0 1 0 3 1 2 2 3         0 1 0 0 2 3 4 6 10.设 3 阶矩阵 A, B 满足 r(AB)r(BA)1, 则( ) A.方程组 (AB)x0 只有零解 B.方程组 Ax0 与方程组 Bx0 均只有零解 C.方程组 Ax0 与方程组 Bx0 没有公共非零解 D.方程组 ABAx0 与方程组 BABx0 有公共非零解 二、填空题:11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分． 11.设   a dx ln2, 则 a ________. 1 x  2xa  12.曲线 y  3 x33x2 1 的渐近线方程为________. 1  1 2 n1 13.lim  ln 2ln  n1  ln   ________. nn2  n n n   xln  12t  14.已知函数 y  y  x 由     2t yt2 eu2 du 0 确定，则d d y x t0 ________. 1 15.微分方程 2y3x  dx 2x5y  dy 0 满足条件 y  1 1 的解为________. 16.设矩阵 A,,, ，若 ,, 线性无关，且     ，则方 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 程组 Ax  4 的通解为 x________. 1 4 三、解答题:17～22 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 32025年全国硕士研究生招生考试（数学二）真题试题 计算 1 1  dx. 0 (x1)(x22x2) 18. (本题满分 12 分) xf(x)e2sinx 1 设函数 f  x 在 x=0 处连续，且 lim 3, 证明 f  x 在 x=0 处 x0 ln(1x)ln(1x) 可导，并求 f 0  . 19. (本题满分 12 分) 设函数 f(x,y) 可微且满足 df(x,y)2xeydxey  x2y1  dy ， f(0,0)2, 求 f(x,y), 并求 f(x,y) 的极值. 20. (本题满分 12 分) 已知平面有界区域 D x,y x2  y2 4x,x2  y2 4y  , 计算 x y2 dxdy. D 21. (本题满分 12 分) 设函数 f(x) 在区间 a,b 内可导，证明导函数 f x 在 a,b 内严格单调增 加的充分必要条件是： f  x  f  x  f  x  f  x  对 a,b 内任意的 x ,x ,x ，当 x  x  x 时， 2 1  3 2 . 1 2 3 1 2 3 x x x x 2 1 3 2 22. (本题满分 12 分)  4 1 2 k 0 0 已知矩阵 A  1 1 1 与 B  0 6 0 合同.         2 1 a  0 0 0 (1)求 的值及 的取值范围； a k (2)若存在正交矩阵 Q, 使得 QTAQB, 求 k 及 Q. 4