文档内容
《数学》三色速记手册
第三部分 教学知识
【考点一】教学原则
一、抽象与具体相结合原则
在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型。形成鲜明的表象，又
要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理。
二、严谨性与量力性相结合的原则
数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数
学内容被组织成一个严谨的逻辑系统。
所谓量力性，简而言之就是量力而行。这主要是针对数学教学对象的接受能力而提出的，它
要求教师应充分考虑学生的思维发展水平、理解程度和已有的知识技能来组织教学，既不要
求过高，也不要求过低，要使所授的知识可以让学生接受。
运用严谨性与量力性相结合的原则来进行教学
1、认真钻研课程标准、教材，明确把握教材的严谨性要求。
2、在具体的概念和定理等内容的教学中，不要一下子和盘托出所要学习的概念和定理等全
部内容，要体现出逐层逐步严谨的过程。
3、在教学中，要有意识地逐步培养学生言必有据、思考缜密、思路清晰的良好的思维习惯，
这些思维习惯是学生的数学思维严谨性程度高低的主要标志。
4、在平时，要在研究学生的年龄特点、个性特点、智力、能力水平方面下功夫。数学教育
一方面要面向全体学生，不能只顾少数“尖子生”；另一方面学生的能力水平又参差不齐，
差别很大，这就形成了尖锐矛盾。
三、理论与实践相结合的原则
1、这一原则是数学特点所决定的
2、此原则体现了严密的逻辑系统这一数学特点
3、此原则也体现了应用广泛性这一数学特点
4、此原则也是为培养学生分析问题与解决问题能力所需要的
四、巩固与发展相结合的原则
1、这一原则要求教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传授与能力发展的关系。
其含义有二：
（1）要求学生牢固地掌握所学的知识，随时在记忆中再现这些知识。温故而能知新，探新
也可习故，应结合新知识的学习巩固旧知识；
（2）在传授知识的同时使学生能力得到发展。
2、这一原则是符合当前数学教学实际的。在数学知识结构中，某一数学知识常常是多个数
学知识的交叉点，故应在知识与知识的有机联系中去巩固与发展知识，在知识的巩固中发展
能力，以能力的培养求知识的发展。
3、这一原则是适合学生的心理发展规律的，在数学学习中，学生心理发展既有连续不断的
继承性特点，又有产生质变的阶段性特点。
【考点二】教学过程的基本环节
数学教学过程是指数学教师策划、组织、调控数学教学活动，让学生掌握数学知识，获得
数学基本技能，领悟数学思想、方法，形成数学思维能力等数学认识与发展的育人过程。
数学教学过程由备课、上课、课外活动的指导、作业布置与批改、数学教学评价等环节构
成。
一、备课
教师在课前的一系列准备工作叫做备课。备课是教学的基础，备课的主要工作包括：
1、分析教材和课程标准、阅读参考资料。
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2、深入了解学生。教师深入了解学生才能有的放矢、因材施教，以取得良好的教学效果。
教师应了解所教学生的知识结构、学习能力、思维特点、心理特征、兴趣爱好、学习习惯等。
3、制订计划（学期计划、单元计划和教案）。
二、课堂教学
课堂教学是数学教学过程中的重要环节，传统阶段教学把教学程序分成四个阶段：明了，
联想，系统和方法，随后其发展为当今的五段教学法：引入（提出问题，说明目的），讲解
（讲解新课程、教材），联系（比较），总结，应用。
具体来说，这五个阶段在中学数学课堂教学中，我们可见的教师实施环节如下：
引入——启发讲授——练习和巩固——小结——作业
三、课外工作
1、作业批改
2、课外辅导
课外辅导分为集体辅导和个别答疑两种形式。
3、数学课外活动
四、成绩的考核与评定
1、成绩考核的目的与作用
2、成绩考核类型
五、教学评价
数学教学评价的主要内容有对数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法与数学活动经
验的掌握程度以及学生数学能力的发展水平。
根据评价的不同目的，数学教学评价可以分为：诊断性评价、形成性评价和总结性评价。
【考点三】常见的数学教学方法
一、讲授法
讲授法是教师运用语言对数学教学内容进行解释、分析和论证的一种讲授方法。该方法在数
学概念引入、定理与公式的论证与推导等新授课运用较多。
优点：突出教师的主体地位，能够保持教师讲授知识的主动性、连贯性，教学时间和进度容
易控制。
缺点：容易形成“满堂灌”的局面，学生的主体性不能得到充分体现。
二、讨论法
讨论式教学法是指在教师的指导下，学生以全班或者小组为单位，围绕中心问题，并通过
学生间的相互交流讨论，进一步完善和深化对问题的理解、评价或者判断而完成既定的教
学任务的教学方法。
优点：
1、体现了学生是学习的主体
2、学生之间取长补短，在合作学习过程中，发现自己的长处和知识漏洞，并从他人那里学
习到很多东西。
3、能够培养学生的学习兴趣
4、能够培养学生的批判精神与言必有据的良好习惯。
缺点：容易使讨论陷于松散，不易控制讨论的话题与讨论的结果。
三、自学辅导法
自学辅导教学法的教学过程分为四个阶段：
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第一阶段：领读练习阶段
第二阶段：启发自学阶段
第三阶段：自学辅导阶段
第四阶段：教学研究阶段
优点：能培养学生的研究能力和养成认真钻研课本的好习惯。
缺点：时间不易掌握。
四、发现法
发现式教学法是在一定教学目的指引下，在教师引导或鼓励中；学生通过类比、归纳、质
疑和反思等思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法等的一种教
学方法。
优点：1、提高学生的智慧潜力
2、使学生的学习动机由外在向内在转移
3、使学生学会发现的探究方法
4、有助于学生记忆知识
缺点：不容易把控时间
教学方法的选择依据
1、依据教学目标和任务选择教学方法
2、根据教材内容的特点选择教学方法
3、依据学生的实际情况选择教学方法
4、教师本身的素质选择教学方法
5、依据各种教学方法的职能、适用范围和使用条件选择教学方法
6、依据教学时间和效率的要求选择教学方法
【考点四】中学数学学习基本方法
学习方式是指个体在学习过程中表现出来的相对稳定的行为方式。
一、合作学习
合作学习是指学生为了完成共同的数学任务，有明确的责任分工的互助性学习。
小组合作学习的实施
1、小组合作的准备
2、明确小组合作学习的任务
3、使学生明确合作的规范
4、使学生明确在小组中的责任
二、探究学习
探究学习，亦称发现学习，是指学生在学习情境中通过观察、阅读、发现问题、搜集数据、
形成解释，获得答案并进行交流、检验，从而自主构建知识体系的一种积极的学习方式。
三、自主学习
自主学习是在教师指导下，自觉地制定学习计划、确定学习目标、组织学习活动、自我监控
学习过程与效果、主动选择学习策略、自我评价学习结果、积极创设最优化的学习内部环境
与外部环境、自我指导、自我强化来进行高效学习的一种学习方式。
【考点五】概念教学
一、概念的内涵与外延
1、内涵和外延的含义
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反映的事物的
总和（或范围）。概念的内涵和外延是分别对事物的质和量的规定。
一元二次方程定义：
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内涵：只有一个未知数且未知数最高次数是二次。
外延：
二、概念之间的逻辑关系
1、相容关系
如果两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的，则二者具有相容关系。
相容关系又分以下三种情形。
①同一关系
如果两个概念A和B的外延完全重合，那么就说这两个概念具有全同关系。
举例：三线合一
②交叉关系—正数与整数
外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系，这两个概念称为交叉概
念。
③从属关系—有理数与实数
如果A概念的外延包含B概念的外延．那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念
叫做B概念的属概念（或上位概念），B概念叫做A概念的种概念（或下位概念）。
2、不相容关系
如果两个概念是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空集，那么称
这两个概念间的关系是不相容关系、全异关系或排斥关系。不相容关系又分为矛盾关系和反
对关系。
①对立关系
在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概
念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。
②矛盾关系
在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念
具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。
三、概念教学的基本要求
1、使学生明确概念的内涵和外延，熟悉概念的表达
2、使学生了解概念的来龙去脉，能够正确地使用概念
3、使学生了解概念间的关系，会对概念进行分类，形成概念体系
四、概念教学的一般过程
（一）引入概念
1、以学生的感性认识为基础引入概念
2、在学生原有知识基础上引入概念
（二）明确概念
1、明确概念的内涵，准确地给概念下定义
2、明确概念的外延，正确地给概念分类
3、明确概念的表达及限制条件
（三）巩固概念
1、当堂巩固
2、及时复习，整理所学概念，将概念纳入概念体系中
（四）应用概念
【考点六】命题教学
一、命题教学的基本要求
1、使学生深刻理解数学命题
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2、使学生了解命题的来龙去脉，能够灵活运用命题解决问题
3、使学生了解相关命题之间的内在联系，掌握命题的系统
二、命题教学的一般过程
（一）公式、定理的引入
1、发现式引入，即通过实践去发现
2、过渡性引入
（二）公式、定理的明确与理解
1、分清定理的条件和结论
2、分清公式的外形与特点
3、正确理解定理中关键词语的意义
4、注意公式、定理的应用范围
三、命题教学的策略
1、整体性策略
整体性策略是指在数学命题教学中，按知识结构的整体性进行组织教学的一种策略。
2、准备性策略
准备性策略是指在数学命题的教学实施之前，教师准备教学所采用的一项教学策略。
3、问题性策略
问题性策略是指在数学命题获得的教学中，教师为了引起学生注意，激发学生学习动机，
调动学生积极情感，有利于学生利用原有知识和经验学习当前新命题而采取的一种教学策
略。
4、情景化策略
情景化策略是指教学命题引入的教学过程中，教师旨在创设一种有利于引起学生思考、引发
学生积极学习动机、促进学生理解数学命题的教学策略。
5、过程性策略
过程性策略是指在数学命题获得、证明和应用阶段，教师暴露数学命题产生与证明及变化的
“所以然”过程，启发学生感受、体验数学命题产生、发展、演变的动态过程，引导学生在
命题学习过程中积极主动地进行思维活动的一种教学策略。
6、产生式策略
产生式策略是指在数学命题应用的教学过程中，通过变式练习等多种方式，促使学生对命题
成立与应用的前提条件和注意事项做到了如指掌，促进数学命题灵活运用的一种教学策略。
【考点七】数学思想方法的教学
一、中学数学常用的几种思想方法
1、函数思想
所谓函数思想，就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的
数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而
使问题获得解决。
2、方程思想
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程、方程组或者构造方程，
通过解方程、方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获解。
3、分类思想
数学中的分类，以比较为基础，通过比较识别出研究对象之间的相同点和差异点，然后，根
据相同点将数学对象归并为较大的部分，根据差异点将数学对象归并为较小的部分，从而将
数学对象区分为具有一定从属关系的等级类别。
4、数形结合思想
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5、化归思想
解数学题的主要思想过程是化归。通过化归，应该使要解决的问题由难变易，或者变为已经
解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中的问题，以利于问题的解
决。
二、教学中渗透数学思想方法的途径
1、挖掘隐藏于知识中的数学思想方法
2、注重将“方法”提升到“思想”的层面
3、在问题解决方法的探索中激活数学思想方法
4、在知识总结归纳的过程中概括数学思想方法
【考点八】数学化教学
一、数学化教学的概念
人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界
的种种现象，从客观世界的对象及其关系中抽象并形成数学的概念、法则和定理，以及为解
决实际问题而构造出数学模型的过程，就是一种数学化的过程。
二、数学化教学的步骤
步骤一是将现实世界问题模型化为数学问题；
步骤二是在数学范围内解决数学问题，产生数学问题的结果；
步骤三是带着数学问题的结果回到现实世界中去检验、解释、预测，并解决新的问题。
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