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2007 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分） 的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【微点】相反数．
【思路】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
【解析】解：根据相反数的定义，得 的相反数是 ．
故选：D．
【点拨】本题考查的是相反数的求法．
2．（3分）保护水资源，人人有责．我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为
899000亿米3，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．8.99×105亿米3 B．0.899×106亿米3
C．8.99×104亿米3 D．89.9×103亿米3
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：899 000用科学记数法表示为8.99×105亿米3．
故选：A．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【微点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
第 1 页 / 共 20 页B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．不确定事件发生的概率为0
【微点】概率的意义．
【思路】必然事件就是一定发生的事件，概率是1；不可能发生的事件就是一定不发生
的事件，概率是0；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，概率＞0且＜1；不确定
事件就是随机事件．
【解析】解：不确定事件就是随机事件，因而概率＞0且＜1．
故选：D．
【点拨】必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为
0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．
5．（3分）学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计
用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则甲票、乙票的票价分别是（ ）
A．甲票10元∕张，乙票8元∕张
B．甲票8元∕张，乙票10元∕张
C．甲票12元∕张，乙票10元∕张
D．甲票10元∕张，乙票12元∕张
【微点】二元一次方程组的应用．
【思路】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．
本题中2个等量关系为：购买甲票钱数+购买乙票钱数＝112元，甲票单价﹣乙票单价＝
2元．
【解析】解：设甲票、乙票的单价分别是x元，y元，
第 2 页 / 共 20 页则 ，解得 ．
故甲票10元∕张，乙票8元∕张．
故选：A．
【点拨】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等
量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
6．（3分）下列三视图所对应的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
【微点】由三视图判断几何体．
【思路】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解析】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下
面的长方体的顶面的两边相切高度相同．只有C满足这两点，故选C．
【点拨】本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的
大小关系，错选B．
7．（3分）若A（a ，b ），B（a ，b ）是反比例函数 图象上的两个点，且a ＜
1 1 2 2 1
a ，则b 与b 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．b ＜b B．b ＝b C．b ＞b D．大小不确定
1 2 1 2 1 2
【微点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
第 3 页 / 共 20 页【思路】根据题意画出函数图象，再根据其反比例函数增减性解答即可．
【解析】解：函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，a ＜a ．
1 2
无法确定这两个点是在那个象限，也就无法确定出b ，b 的大小关系．
1 2
故选：D．
【点拨】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只
指在同一象限内．
8．（3分）初三•一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x，8，如果这
组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【微点】算术平均数；中位数；众数．
【思路】众数可能是10，也可能是12或8，因此应分众数是10或者众数是12，或者众
数三种情况进行讨论．
【解析】解：当众数是10时，
∵众数与平均数相等，
∴ （10+10+12+x+8）＝10，解得x＝10．
这组数据为：8，10，10，10，12，
∴中位数为10；
当众数是12时，∵众数与平均数相等，
∴ （10+10+12+x+8）＝12，此题解出x＝20，故不可能；
当众数是8时，∵众数与平均数相等，
∴ （10+10+12+x+8）＝8，此题解出x＝0，故不可能．
所以这组数据中的中位数是10．
故选：B．
第 4 页 / 共 20 页【点拨】正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
9．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，
设△CDH、△GHE的面积分别为S 、S ，则（ ）
1 2
A．3S ＝2S B．2S ＝3S C．2S S D． S ＝2S
1 2 1 2 1 2 1 2
【微点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】本题中很明显△EGH∽△EBC，根据两三角形的高的比可得出GH和BC的比
例关系；然后通过证△ABG≌△DCH，可得出AG＝DH，那么可设正方形的边长，即可
表示出GH、DH以及△GHE的高，进而可根据三角形的面积公式分别得出△CDH和
△EGH的面积表达式，得出两三角形的比例关系．
【解析】解：作EF垂直于AD，则△EFH∽△CDH，
又∵EF：CD＝EF：AD ：2，
∴S△EHF ：S
1
＝3：4
∵△EGH为等腰三角形，S△ABG ＝S
1
，S
2
＝2S△EFH ，
∴3S ＝2S
1 2
故选：A．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
①如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
③平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平
分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似
第 5 页 / 共 20 页比的平方．
10．（3分）将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆
锥的高为（ ） π
A． B． C． D．
【微点】勾股定理；弧长的计算．
【思路】根据弧长公式计算出半径和母线长，然后运用勾股定理求出圆锥的高．
【解析】解：∵ ，
∴母线长为R＝1，
又∵ ＝2 r，
∴r π ，π
设高为H，则H，R，r构成以H为斜边的直角三角形，
所以H ．
故选：B．
【点拨】此题要结合图形，通过对图形的理解达到解题的目的，而且要能灵活的运用弧
长公式，运用已给的已知条件 来解答．
11．（3分）身边没有量角器时，π怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解
“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操
作可以得到一个特定的角：
（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；
（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕
EF交AD于F．
则∠AFE＝（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
【微点】翻折变换（折叠问题）．
【思路】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可求出．
第 6 页 / 共 20 页【解析】解：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC
交于E点，∠AEB＝45°，
（2）中，可得∠FEC 67.5（度）
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC＝67.5°．
故选：B．
【点拨】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最
好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
12．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过点（﹣2，1），则关于抛物线y＝ax2﹣bx+3
的三条叙述： 过定点（2，1）； 对称轴可以是x＝1； 当a＜0时，其顶点的纵坐
标的最小值为①3．其中所有正确叙述②的个数是（ ） ③
A．0 B．1 C．2 D．3
【微点】二次函数的性质．
【思路】由y＝ax+b过（﹣2，1）可得a、b的关系﹣2a+b＝1，即2a﹣b＝﹣1，根据这
个关系可以对各个选项进行判断．
【解析】解：由y＝ax+b过（﹣2，1），可得﹣2a+b＝1，即2a﹣b＝﹣1．
当x＝2时，代入抛物线的右边得到4a﹣2b+3＝2（2a﹣b）+3＝﹣2+3＝1，故 正确；
①由题意得b＝2a+1，由对称轴x ，对称轴为x 1，故 错①误．
② ②
由 2a﹣b＝﹣ 1 得到： b＝2a+1．抛物线的顶点 坐标公 式可知 纵坐标
③
3 ，因此当a＜0时，即顶点的纵坐标
的最小值是3，故 正确．
故选：C． ③
【点拨】本题运用了整体代入思想，利用了抛物线对称轴和顶点坐标公式．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）因式分解：2m2﹣8n2＝ 2 （ m + 2 n ）（ m ﹣ 2 n ） ．
第 7 页 / 共 20 页【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最
大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
【解析】解：2m2﹣8n2，
＝2（m2﹣4n2），
＝2（m+2n）（m﹣2n）．
【点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不
能再分解为止．
14．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若
∠1＝35°，则∠D＝ 11 0 度．
【微点】梯形．
【思路】先根据平行线的性质和AD＝CD求出∠DAC与∠DCA都等于∠1的度数，再根
据三角形内角和定理即可求出．
【解析】解：∵梯形ABCD中，AB∥CD
∴∠DCA＝∠CAB
∵AD＝CD
∴∠DCA＝∠DAC
又∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF∥AC，∠1＝∠CAB＝∠DCA＝∠DAC＝35°
在△ADC中，∠DCA＝∠DAC＝35°
∴∠D＝180°﹣∠DCA﹣∠DAC
＝180°﹣35°﹣35°
＝110°
故应填110．
【点拨】解答此题要用到以下概念：（1）三角形的内角和等于180°，（2）两直线平行，
同位角相等．平行线的性质和三角形内角和定理是主要考查点．
15．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马
上回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为
第 8 页 / 共 20 页6 千米∕小时．
【微点】函数的图象；分段函数．
【思路】由图象可以看出，小明家离学校有6千米，小明用（3﹣2）小时走回家，由此
即可求出速度．
【解析】解：速度为：6÷1＝6千米/时．
【点拨】应找到相应的路程与时间，根据速度＝路程÷时间得到小明回家的速度．
16．（4分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），
以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为
1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为 （ 2 ， ）或（﹣ 2 ， ） ．
【微点】位似变换．
【思路】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是
以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．本题中
k＝2或﹣2．
【解析】解：∵两个图形的位似比是1：（ ）或1： ，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（2， ）或（﹣2， ）．
【点拨】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
17．（4分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这
三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为
第 9 页 / 共 20 页．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】至少两辆车向左转，则要将两辆车向左转和三辆车向向左转的概率相加．或用
1减去一辆车或没车向左转的概率．
【解析】解：三辆车经过十字路口的情况有 27种，至少有两辆车向左转的情况数为 7
种，所以概率为： ．
【点拨】本题考查的是概率的公式，本题易错，要仔细分析可能出现的情况．用到的知
识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（4分）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
以 的长为边的三条线段能组成一个三角形
①
②以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
③以 的长为边的三条线段能组成直角三角形
④
其中所有正确结论的序号为 ．
【微点】三角形三边关系；勾②股定③理的逆定理．
【思路】由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2＝c2，然后根据三角形三边关系即任意一
边长＞其他二边的差，＜其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．
【解析】解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2＝c2，因而以a2，b2，c2的
长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在 三个数中
最大，如果能组成一个三角形，则有 成立，即 ，即a+b
，（由 a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以
第 10 页 / 共 20 页的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2＝a2+b2+2ab+h2，（c+h）2＝
c2+h2+2ch
又∵2ab＝2ch＝4S△ABC
∴（a+b）2+h2＝（c+h）2，根据勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以 的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a＝3，b＝4，c＝5，
∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故填 ．
【点②拨】③本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用
反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．
三、解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算： ；
（2）化简： ，并指出x的取值范围．
【微点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）题中关键是0指数幂的计算和负指数幂的计算；（2）题中要先通分再化
简．
【解析】解：（1）原式＝1+3 1 ；
（2）原式 ，x的取值范围是x≠﹣2且x≠1的实数．
【点拨】（1）题中主要考查了0次幂，负指数幂及特殊角的三角函数以及绝对值的定
义；
（2）题中则注意先通分再合并．要注意常数把它看作分母是1的分式进行计算即可．
第 11 页 / 共 20 页20．（12分）小明对本班同学上学的交通方式进行了一次调查，他根据采集的数据，绘制
了下面的统计图1和图2．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）计算本班骑自行车上学的人数，补全图1的统计图；
（2）在图2中，求出“乘公共汽车”部分所对应的圆心角的度数，补全图2的统计图
（要求写出各部分所占的百分比）；
（3）观察图1和图2，你能得出哪些结论（只要求写出一条）．
【微点】扇形统计图；条形统计图．
【思路】由图可知：
（1）小明所在的全班乘公共汽车的人数、步行人数、其它方式的人数，根据扇形统计
图可知乘公共汽车所占的比例是28%，即可求得学生总人数，则骑自行车上学的人数学
生总人数减去其余的各项人数即可求解；
（2）乘公共汽车、骑自行车、步行、其它所占全班的比分别为 14÷50，16÷50，
12÷50，8÷50 即 28%，32%，24%，16%，它们所对应的圆心角分别是 360×28%＝
100.8°，360×32%＝115.2°，360×24%＝86.4°，360×16%＝57.6°；
（3）小明所在的班的同学上学情况是：骑自行车的学生最多．
【解析】解：（1）∵小明所在的全班学生人数为14÷28%＝50人，
∴骑自行车上学的人数为50﹣14﹣12﹣8＝16人；其统计图如图：
第 12 页 / 共 20 页（2）乘公共汽车、骑自行车、步行、其它所占全班的比分别为14÷50＝28%，16÷50＝
32%，12÷50＝24%，8÷50＝16%，
它们所对应的圆心角分别是100.8°，115.2°，86.4°，57.6°，其统计图如图：
（3）小明所在的班的同学上学情况是：骑自行车的学生最多．
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（12分）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现
计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装
枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王
灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
【微点】一元一次不等式组的应用．
【思路】（1）本题可设甲、乙的货车分别为x和8﹣x，然后根据题意列出不等式：
4x+2（8﹣x）≥20和x+2（8﹣x）≥12，化简后得出x的取值范围，看其中有几个整数
即可得知有几种方案．
（2）本题可根据第一题列出的几种方案分别计算甲、乙所需的运费，比较哪个少即可
得出答案．
【解析】解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8﹣x）辆，依题意
得
第 13 页 / 共 20 页解此不等式组得2≤x≤4．
∵x是正整数
∴x可取的值为2，3，4．
∴安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车 乙种货车
方案一 2辆 6辆
方案二 3辆 5辆
方案三 4辆 4辆
（2）解法一：
方案一所需运费为300×2+240×6＝2040元；
方案二所需运费为300×3+240×5＝2100元；
方案三所需运费为300×4+240×4＝2160元．
∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
解法二：
设运输费为y元，根据题意可得，y＝300x+240（8﹣x）＝1920+60x，（2≤x≤4）
∵60＞0，
∴y随x增大而增大，
∴x＝2时，y有最小值：2040，
∴王灿应选择方案一：2辆甲种货车，6辆乙种货车．运费最少，最少运费是2040元．
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目要注意根据题意列出不同
的式子比较值大小．
22．（12分）如图，AB是 O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线
与AC的延长线交于点Q⊙，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．
【微点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质．
第 14 页 / 共 20 页【思路】（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，所以∠ABC＝30°，而OB＝OC，则有
∠OCB＝30°，再结合CD时切线，可求∠BCD＝60°，那么∠DCQ可求，即可得出
△CDQ是等腰三角形；
（2）可以假设 AB＝2，则 OB＝OA＝OC＝1，利用勾股定理可得 BC ；由于
△CDQ≌△COB，那么有CB＝CQ，即可求出AQ的长；在直角三角形APQ中，利用
30°所对的边等于斜边的一半，又可求AP，而OP＝AP﹣OA，即可求OP，BP也就可求，
从而得出BP：PO的值．
【解析】（1）证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°；
∵CD是 O的切线，CO是半径，
∴CD⊥C⊙O，
∴∠DCQ＝∠BCO＝30°，
∴∠DCQ＝∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．
（2）解：设 O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC ．
∵等腰三角形⊙CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ＝BC ．
∴AQ＝AC+CQ＝1 ，
∴AP AQ ，
∴BP＝AB﹣AP ，
∴PO＝AP﹣AO ，
∴BP：PO ．
【点拨】此题综合考查了等腰三角形的判定和圆周角的性质．
23．（12分）已知x ，x 是关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝（p﹣2）（p﹣m）的两个实
1 2
数根．
（1）求x ，x 的值；
1 2
（2）若x ，x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直
1 2
角三角形的面积最大？并求出其最大值．
第 15 页 / 共 20 页【微点】二次函数的最值．
【思路】（1）化简方程，用分解因式法求出两根；
（2）直角三角形的面积为 x x ，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后
1 2
利用二次函数可以求出什么时候有最大值．
【解析】解：（1）原方程变为：x2﹣（m+2）x+2m＝p2﹣（m+2）p+2m，
∴x2﹣p2﹣（m+2）x+（m+2）p＝0，
（x﹣p）（x+p）﹣（m+2）（x﹣p）＝0，
即（x﹣p）（x+p﹣m﹣2）＝0，
∴x ＝p，x ＝m+2﹣p；
1 2
（2）根据（1）得到
直角三角形的面积为 x x p（m+2﹣p）
1 2
p2 （m+2）p
（p ）2 ，
∴当p （m＞﹣2）时，以x ，x 为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大
1 2
面积为 ．
【点拨】本题是综合性较强的题，利用了分解因式法求方程的根，利用了二次函数求最
值．
24．（12分）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
AD平分∠BAC， DE⊥AB，DF⊥AC， AD⊥EF．
①以此三个中的两个为②条件，另一个为结论，可③构成三个命题，即：
， ， ．
①（1②）⇒试③判断①上述③三⇒个②命题②是③否⇒正①确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
第 16 页 / 共 20 页【微点】圆内接四边形的性质．
【思路】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题的真假．
【解析】解：（1） ，正确； ，错误； ，正确．
①②⇒③ ①③⇒② ②③⇒①
（2）先证 ．如图．
∵AD平分①∠B②AC⇒，③DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证 ．如图2，
②③⇒①
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE AD，OF AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心， AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是 O的弦．
∵EF⊥A⊙D，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．
第 17 页 / 共 20 页【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合
运用．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上， M的半径为
．设 M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． ⊙
（1）求⊙m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC＝ ，∠CBE＝ ，求sin（ ﹣ ）的值；
（3）探究坐标轴α上是否存在点β P，使得以α P、β A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若
存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据
对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；
（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，
得∠CBE＝∠OBD＝ ，因此 sin（ ﹣ ）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC
β α β
；
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P （0，0），
1
过A作AP ⊥AC交y正半轴于P ，由Rt△CAP ∽Rt△BCE，得P （0， ），
2 2 2 2
过C作CP ⊥AC交x正半轴于P ，由Rt△P CA∽Rt△BCE，得P （9，0），
3 3 3 3
故在坐标轴上存在三个点P （0，0），P （0， ），P （9，0），使得以P、A、C为
1 2 3
顶点的三角形与△BCE相似．
第 18 页 / 共 20 页【解析】解：（1）由题意可知C（0，﹣3）， 1，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN＝1，CM ，
∴CN＝2，于是m＝﹣1．
同理可求得B（3，0），
∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．
∵M到AB，CD的距离相等，OB＝OC，
∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（0，1），
∴在Rt△BCO中，BC 3 ，
∴ ，
在△BCE 中，∵BC2+CE2＝（32+32）+[（1﹣0）2+（﹣4+3）2]＝20＝（3﹣1）
2+（0+4）2＝BE2
∴△BCE是Rt△
，
∴ ，
即 ，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝ ，
β
因此sin（ ﹣ ）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC ．
α β
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P （0，0）．
1
过A作AP ⊥AC交y正半轴于P ，
2 2
由Rt△CAP ∽Rt△BCE，得P （0， ）．
2 2
第 19 页 / 共 20 页过C作CP ⊥AC交x正半轴于P ，由Rt△P CA∽Rt△BCE，得P （9，0）．
3 3 3 3
故在坐标轴上存在三个点P （0，0），P （0， ），P （9，0），
1 2 3
使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．
【点拨】此题考查了二次函数与圆的知识的综合应用，要注意分析图形，应用相似三角
形的性质与判定，要注意数形结合思想的应用．
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