文档内容
2010年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各数中，最小的实数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．
2．（3分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣5 B．x＜﹣5 C．x≠﹣5 D．x≥﹣5
3．（3分）数据1，2，x，﹣1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图所表示的是下面那一个不等式组的解集（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图在平面直角坐标系中，□MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐
标是（3，2），则点N的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）
6．（3分）小球从A点入口往下落，在每个交叉口都有向左向右的可能，且可能性相等．则小
球最终从E点落出的概率为（ ）
第1页（共21页）A． B． C． D．
7．（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB
＝12m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．5m B．15m C．20m D．28m
8．（3分）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（ ）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）
C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）
9．（3分）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成
一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）
A． B． C． D．2
10．（3分）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
11．（3分）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的
边数是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．以上都有可能
12．（3分）y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1
时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
13．（5分）关于x的一元二次方程﹣x2+（2m+1）x+1﹣m2＝0无实数根，则m的取值范围是
第2页（共21页）．
14．（5分）下表是我市今年某天各区县的降雨量分布情况统计图（单位：mm）
区县 自井 大安 贡井 沿滩 荣县 富顺
降雨量 22 23.8 19.2 23.6 20.3 23.6
则该组数据的中位数是 ，众数是 ，极差是 ．
15．（5分）为迎接省运会在我市召开，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站60
排，第一排40人，后面每一排都比前一排都多站一人，则每排人数y与该排排数x之间的
函数关系式为 ．
16．（5分）如图，点Q在直线y＝﹣x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q
的坐标为 ．
17．（5分）两个反比例函数y＝ ，y＝ 在第一象限内的图象如图所示，点P ，P ，P ，…，
1 2 3
P 在反比例函数y＝ 图象上，它们的横坐标分别是x ，x ，x ，…，x ，纵坐标分别是
2010 1 2 3 2010
1，3，5，…，共2010个连续奇数，过点P ，P ，P ，…，P 分别作y轴的平行线，与y＝ 的
1 2 3 2010
图象交点依次是Q（x ，y ），Q（x ，y ），Q（x ，y ），…，Q （x ，y ），则y ＝
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2010 2010 2010 2010
．
三、解答题（共11小题，满分89分）
第3页（共21页）18．（6分）计算（ ﹣ ）0+（ ）﹣1﹣ ．
π
19．（6分）解不等式组 ．
20．（6分）作出下面立体图形的三视图．
21．（6分）玉树大地震发生后，小超把本年级同学的捐款情况统计并制成图表如下：
金额（元） 人数 频率
10≤x＜20
20≤x＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
请根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中m和n所表示的数分别是多少？
（2）补全频数分布直方图；
（3）捐款金额的中位数落在哪个金额段？
22．（8分）如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA
于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，
请求出A、B两点间的距离．
第4页（共21页）23．（8分）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在
横 格 线 上 ， 已 知 ＝ 32° ， 求 长 方 形 卡 片 的 周 长 ． （ 参 考 数 据
sin32°≈0.5cos32°≈0.8tanα32°≈0.6）
24．（8分）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点
G、H．
（1）求证：△BAE∽△BCF；
（2）若BG＝BH，求证：四边形ABCD是菱形．
25．（9分）如图，有一直径是1cm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形
CAB．
（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？
（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少（结果可用根号表
示）．
26．（9分）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修
第5页（共21页）费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装
修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
27．（11分）如图， O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是 O的直径，过点C作 O的切线，
交AB延长线于⊙D，CD＝3 cm， ⊙ ⊙
（1）求 O的直径；
（2）若动⊙点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动，同时点N以1.5cm/s的速度从B
点出发沿BC方向运动．设运动的时间为（t 0≤t≤2），连接MN，当t为何值时△BMN为直
角三角形？并求此时该三角形的面积？
28．（12分）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在
点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x2图象于点C和D，
直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H．记C、D的横坐标分别为x ，x ，于点H的纵
c D
坐标y ．
H
（1）证明： S△CMD ：S梯形ABMC ＝2：3； x
c
•x
D
＝﹣y
H
；
（2）若将上述①A点坐标（1，0）改为A点坐标（②t，0）（t＞0），其他条件不变，结论S△CMD ：S梯
形ABMC
＝2：3是否仍成立？请说明理由．
（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y＝x2改为y＝ax（2 a＞0），其他条件不变，那么x ，
c
x 和y 又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明．
D H
第6页（共21页）2010年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】先比较四个选项的大小后即可确定最小的实数是﹣2，由此即可确定选择项．
【解答】解：∵ ≈﹣1.732，
∴﹣2＜ ＜ ＜ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小的比较．熟记常见的无理数近似值可使计算简便快捷．
如 ≈1.414， ≈1.732．
2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0．
【解答】解：依题意有x+5≥0，
即x≥﹣5时，二次根式有意义．
故选：D．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 （a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【解答】解：1+2+x﹣1﹣2＝0，解得x＝0，方差S2＝ （[ 1﹣0）2+（2﹣0）2+（0﹣0）2+（﹣1﹣
0）2+（﹣2﹣0）2]＝2．
故选：B．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
（[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
1 2 n
大，反之也成立．
4．【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子组成的不
等式组就满足条件．
【解答】解：由图示可看出，从﹣2出发向右画出的线且﹣2处是空心圆，表示x＞﹣2；
从1出发向左画出的线且1处是实心圆，表示x≤1，所以这个不等式组为 ．
第7页（共21页）故选：D．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解
集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在
表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．【分析】要求点N的坐标，根据平行四边形的性质和关于原点对称的规律写出点N的坐标．
【解答】解：在 ▱MNEF中，点F和N关于原点对称，∵点F的坐标是（3，2），∴点N的坐标
是（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
6．【分析】看小球最终从E点落出的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：由图易得共有4种情况，小球最终从E点落出的情况只有1种情况，所以概率
是 ．
故选：C．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结
果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
7．【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．
故选：D．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
8．【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分
解．
【解答】解：原式＝x2﹣（y2+2y+1），
＝x2﹣（y+1）2，
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题
后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．
9．【分析】用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可，重叠部分可看作两个直角三角形，观
第8页（共21页）察两个直角三角形的特点，再求面积．
【解答】解：设CD，C′B′交于E点，连接AE，
由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E，
∵旋转角∠BAB′＝30°，
∴∠B′AD＝90°﹣∠BAB′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，DE＝AD•tan30°＝ ，
S四边形ADEB′ ＝2×S△ADE ＝2× ×1× ＝ ，
∴风筝面积为2﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转角的表示方法，解直角三角形，四边形面积计算的转化方法．
10．【分析】先将 中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
【解答】解：∵ ＝3 ，若 是整数，则 也是整数；
∴n的最小正整数值是15；
故选：C．
【点评】解答此题的关键是能够正确的对 进行开方化简．
11．【分析】首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论．因为截取一个角可
能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果．
【解答】解：∵内角和是1620°的多边形是 边形，
又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即
原多边形为12边形；
另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；
还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边
第9页（共21页）形．
综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况．
12．【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在1≤x≤3和对称轴在
1≤x≤3内两种情况进行解答．
【解答】解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3范围内时，此时，对称轴一定在x≥3的右边，函数方能
在这个区域取得最大值，
x＝ ≥3，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3范围内时，对称轴一定是在x≥ （1+3）＝2的右边，因为如果在中点
的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即：
x＝ ≥ ，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）
综合上所述a≥5．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
13．【分析】根据一元二次方程根的情况与根的判别式△＝b2﹣4ac的关系解答．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程﹣x2+（2m+1）x+1﹣m2＝0的二次项系数a＝﹣1，一
次项系数b＝（2m+1），常数项c＝1﹣m2，
∴△＝（2m+1）2﹣4×（﹣1）（1﹣m2），即△＝4m+5，
又∵原方程无实根，
∴△＜0，即4m+5＜0，
解得，m＜﹣ ；
故答案为：m＜﹣ ．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
第10页（共21页）（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14．【分析】找中⇔位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均
数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；极差是最
大的数与最小的数的差．
【解答】解：在这一组数据中23.6是出现次数最多的，故众数是23.6；
将这组数据从小到大的顺序排列（19.2，20.3，22，23.6，23.6，23.8），处于中间两个数的平
均数为22.8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是22.8；
极差是最大的数与最小的数的差，即23.8﹣19.2＝4.6．
故答案为：22.8；23.6；4.6．
【点评】本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．
15．【分析】根据“第一排40人，后面每一排都比前一排都多站一人”可列出y与x之间的关
系式y＝40+（x﹣1）×1，整理即可求解，注意x的取值范围是1到60的整数．
【解答】解：根据题意得
y＝40+（x﹣1）×1＝x+39（x为1≤x≤60的整数）．
故答案为：y＝x+39（x为1≤x≤60的整数）．
【点评】读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．
16．【分析】根据垂线段最短，即可求得Q的坐标．
【解答】解：作AB⊥直线y＝﹣x于B，
AQ最短时，Q点在B点，过B作BC⊥x轴于C．
∵直线y＝﹣x与x轴的夹角为45°，即△OAB为等腰直角三角形，
∴OC＝CB＝ OA＝ ，
则Q的坐标是（ ，﹣ ）．
故答案为：（ ，﹣ ）．
第11页（共21页）【点评】把线段最短的问题转化为函数问题是解决本题的关键．转化为函数问题也是常用
的解题方法．
17．【分析】因为点P ，P ，P ，…，P 在反比例函数y＝ 图象上，根据P ，P ，P 的纵坐标，
1 2 3 2010 1 2 3
推出P 的纵坐标，再根据y＝ 和y＝ 的关系，求出y 的值．
2010 2010
【解答】解：P ，P ，P 的纵坐标为1，3，5，是连续奇数，
1 2 3
于是可推出P 的纵坐标为：2n﹣1；
n
则P 的纵坐标为2×2010﹣1＝4019．
2010
因为y＝ 与y＝ 在横坐标相同时，y＝ 的纵坐标是y＝ 的纵坐标的2倍，
故y ＝ ×4019＝2009.5．
2010
故答案为：2009.5．
【点评】此题是一道规律探索题，先根据y＝ 在第一象限内的图象探索出一般规律，求出
P 的纵坐标，再根据y＝ 和y＝ 的关系解题．
2010
三、解答题（共11小题，满分89分）
18．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值三个考点．在计算时，需要针
对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1+3﹣3 •
＝4﹣ （5分）
＝﹣ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
第12页（共21页）的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点的运算．
19．【分析】用加减法解不等式组即可．
【解答】解：原不等式组化简为 ，
由 得x＞5
由①得x≤﹣4
∴②原不等式组无解．
【点评】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，通过把x，y的值用k代，再根据
x、y的取值判断k的值．
解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
20．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意看得到的棱画实线，看不到
的棱画虚线．
21．【分析】（1）首先利用所有频率之和为1即可求出n，然后利用一组已知数据的频数和频
率即可求出所有的同学数，再乘以未知人数的频率就可以求出m；
（2）根据（1）中计算出的m值即可补全频数分布直方图；
（3）由于知道所有的同学数，利用表格信息和中位数的定义即可求出中位数落在哪个金额
段．
【解答】解：（1）总人数＝40÷0.1＝400，m＝400×0.4＝160，
n＝100÷400＝0.25；
（2）如图．
第13页（共21页）（3）∵总人数为400人，
依题意得捐款金额的中位数落在30元～40元这个金额段．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位
数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；
如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数
的，但中位数不一定是这组数据里的数．
22．【分析】先根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出Rt△OCD∽Rt△OAE，再根据相
似三角形的对应边成比例及勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：作出示意图，
连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，
因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，
∴OE⊥AB，AE＝BE，
∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴ ＝ ，
而OC＝ ＝ ＝26，
即 ＝ ，∴AE＝ ＝15，
∴AB＝2AE＝30（mm）．
答：AB两点间的距离为30mm．
第14页（共21页）【点评】此题是相似三角形在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，
由相似三角形的性质解答．
23．【分析】作AF⊥l ，交l 于E，交l 于F．在Rt△ABE中根据三角函数即可求得AB的长；在
4 2 4
直角△AFD中，根据三角函数即可求得AD的长，从而求得矩形的周长．
【解答】解：作AF⊥l ，交l 于E，交l 于F．
4 2 4
则△ABE和△AFD均为直角三角形．
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ ＝32°，
sin∠ABE＝ ，（3分） α
∴AB＝ ＝ ＝40．
∵∠FAD＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠BAE＝∠ ，
∴∠FAD＝∠ ＝32°． α
在Rt△AFD中α，cos∠FAD＝ ，
AD＝ ＝ ＝50．
∴长方形卡片ABCD的周长为（40+50）×2＝180（mm）．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，构造直角三角形是解决本题的关键．
24．【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于90°，再利用平行四边形
的性质，对角相等，那么可证△BAE∽△BCF；（2）由BG＝BH，可得∠3＝∠4，那么∠AGE
＝∠CHF，利用等量减等量差相等，可证∠DAC＝∠DCA，等角对等边，那么AD＝DC，那
第15页（共21页）么 是菱形．
▱
【解答】证明：
（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°．
又ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCF．
∴△BAE∽△BCF．
（2）∵△BAE∽△BCF，
∴∠1＝∠2．
又BG＝BH，
∴∠3＝∠4．
∴∠BGA＝∠BHC，BG＝BH．
∴△BGA≌△BHC（ASA）．
∴AB＝BC．
∴ ▱ABCD为菱形．
【点评】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和
性质、菱形的判定等知识．
25．【分析】（1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求解；
（2）可根据底面圆的周长等于展开图的弧长来求得圆的半径．
【解答】解：（1）连接AB，CO，则AB为 O直径，
⊙
故可得OC＝OA＝ ，
第16页（共21页）∴可得AC＝BC＝ （根据勾股定理得出），
∴S阴影 ＝S
O
﹣S扇形ABC ＝ •（ ）2﹣ • （cm2）．
⊙
π π
（2）设所剪成圆锥的底面圆的半径为rcm，
则2 r＝ ，
π
∴r＝ （cm）．
【点评】这两题主要考查了学生扇形面积公式以及圆锥底面圆的周长等于展开图的弧长这
一关系．
26．【分析】如果从节约时间角度来考虑，我们可以列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即
可，如果从节约经费考虑，求出他们各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解答】解：（1）设工作总量为1，设甲公司单独做需x周，乙公司单独做需y周，
可列出方程组 ，
解得 ，经检验，它们是原方程的根；
∵10＜15，
可见甲公司用时少，所以从时间上考虑选择甲公司．
（2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，可列出方程组 ，
解之得 ；
∴可以得到用甲公司共需 ×10＝ ＝6万元，乙公司共需 ×15＝4万元，4万元＜6万
元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
第17页（共21页）【点评】本题的关键为根据题意列出方程，求出各自单独的时间和费用然后进行比较．
27．【分析】（1）根据圆与切线的位置关系，可知∠BCD＝∠A＝30°，且AB为直径，可推出
AC＝CD，再由三角函数关系可得出 O的直径．
（2）经分析，∠BNM或∠BMN可以为⊙直角，即，此时MN∥AC，有速度关系可列出关系式．
再根据面积公式即可算出．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CD为切线，
∴∠DCO＝90°
∵∠A＝30°，OA＝OC，
∴∠ACO＝30°
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，∠OCB＝60°，
∴∠BCD＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝ ，
在Rt△ABC中，cosA＝
∴AB＝ ＝ ＝6cm．
（2）如图1：当∠BNM＝90°时，MN∥AC，
∴ ，得t＝1，即MN恰为△ACB的中位线，
∴ ＝ cm2，
当∠BMN＝90°时，cos∠MBN＝ ，
即cos60°＝ ，解得t＝1.6，
此时，MN＝ BM＝ （6﹣3t）＝1.2 ，
S＝ ×1.2 ×1.2＝ cm2．
第18页（共21页）【点评】本题主要考查了圆切线的性质及相似三角形的性质，解题的关键是由MN∥AC，
得出两组对应边的比相等从而解决问题．
28．【分析】（1）由题意易求得A、B的坐标，将它们的横坐标代入抛物线的解析式中即可求出
C、D的坐标；
首先求出直线OC的解析式，联立B点的横坐标即可求出M点的坐标；以DM为底，A、
①B横坐标差的绝对值为高，可求出△CMD的面积；同理可根据梯形的面积公式求出梯形
ABMC的面积，进而可判断出所求的结论是否正确；
用待定系数法易求得直线CD的解析式，即可得到H点的坐标，然后再判断所求的结
②论是否正确．
（2）的解法同（1）；
（3）由于二次函数的解析式为y＝ax（2 a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，
at2），点D的坐标为（2t，4at2），然后设直线CD的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可
求出CD的函数解析式，接着得到H的坐标为（0，﹣2at2），也就得到题目的结论．
【解答】（1）证明：由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为
（2，4），且
直线OC的函数解析式为y＝x．
∴点M的坐标为（2，2），易得S△CMD ＝1，S梯形ABMC ＝
∴S△CMD ：S梯形ABMC ＝2：3，即结论 成立．
设直线CD的函数解析式为y＝kx+b，①
则 ，
即 ；
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣2．
由上述可得点H的坐标为（0，﹣2），
第19页（共21页）即y ＝﹣2
H
∴x •x ＝﹣y ．
C D H
即结论 成立
②
（2）解：结论S△CMD ：S梯形ABMC ＝2：3仍成立；
理由如下：∵点A的坐标为（t，0），（t＞0）；
则点B的坐标为（2t，0）
从而点C的坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）；
设直线OC的解析式为y＝kx，则t2＝kt得k＝t
∴直线OC的解析式为y＝tx
又设M的坐标为（2t，y）
∵点M在直线OC上
∴当x＝2t时，y＝2t2
∴点M的坐标为（2t，2t2）
∴S△CMD ：S梯形ABMC ＝ •2t2•t： （t2+2t2）•t
＝t3：（ t3）
＝
（3）解：x ，x 和y 有关数量关系x •x ＝﹣ y
C D H C D H
由题意，当二次函数的解析式为y＝ax2（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为
（t，at2），点D的坐标为（2t，4at2）
设直线CD的解析式为y＝kx+b
则 ，
得 ；
∴CD的解析式为y＝3atx﹣2at2
第20页（共21页）则H的坐标为（0，﹣2at2）
即y ＝﹣2at2
H
∵x •x ＝t•2t＝2t2
C D
∴x •x ＝﹣ y ．
C D H
【点评】此题主要考查了函数图象交点坐标及图形面积的求法，综合性强，能力要求较高．
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