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2024 年中考押题预测卷 01【成都卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要
求）
1． 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，故选：A．
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有
大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境有很大危害， 用科学记数法可表示为（ ）
m．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定
n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： ，故选：B．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘，幂的乘方以及平方差公式，据此相关性质内容进行逐项分
析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项是正确的；
B、 ，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是错误的；
D、 ，故该选项是错误的；
故选：A．
4．2016年5月份，某市测得一周大气的 的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，35，31，33，
30，33，31．对于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．众数是30 B．中位数是31 C．平均数是33 D．方差是32
【答案】B
【分析】本题考查了众数、平均数、方差和中位数的定义，根据定义逐一求解即可．
【详解】解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误；
B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确；
C、这组数据的平均数是： ，故本选项错误；
D、这组数据的方差是： ，故本选项错误；
故选：B．
5．如图， 的对角线 、 相交于点 ，如果添加一个条件使得 是矩形，那么下列添
加的条件中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．则A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．则B不符合题意；∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．则C不符合题意；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．则D正确．故选：D．
6．有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到
黑桃的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10 B．5 C．3 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了用概率公式求概率，根据摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，可得 ，即
可求解，熟知概率公式是解题的关键．
【详解】解： 摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大， ，故 不可能为10，故选：A．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三
家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每
3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为x户，下面所列方程符合题意的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．
设设城中有x户人家，根据题意，列出方程即可．
【详解】设城中有x户人家，根据题意，可列方程为 ．故选A．
8．如图，二次函数 的图象经过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：① ；②
；③ ；④若 两点在该二次函数的图象上，则 ．其
中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与
轴y轴交点情况及对称轴，判断 的情况，可判断①；由 时， 可判断②；结合对称轴为
直线 ，由对称性可求该函数和 轴的另一个交点为 代入 可判断③；由图象开口向上，
得 ，即 ，得到 两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对
称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④．
【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线 ，即 ，
，
，故①正确；
二次函数 的图象经过点 ，对称轴为直线 ，
该函数和 轴的另一个交点为 ，即 ，
时， ，故②错误；
该函数和 轴的另一个交点为 ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即 ，故④正确．故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提取公因式法以及运用完全平方公式分解因式，直接提取公因式 ，再利用完全
平方公式分解因式得出答案．
【详解】解： ，故答案为： ．
10．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，若点A的坐标为 ，则关于x的不
等式 的解集是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据对称性求出 点坐标，进而利用图象法求不等
式的解集即可．
【详解】解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象都关于原点对称，
∴点 关于原点对称，
∵点A的坐标为 ，∴点 的坐标为 ，
由图象可知： 的解集是 或 ；故答案为： 或
11．如图， 中， 是 中点， 平分 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的
一半是解题的关键．延长 交 于 ，证明 ，根据全等三角形的中线得到 ，
，进而求出 ，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，故答案为： ．
12．如图，在平面直角坐标系 中，有三点 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，求正弦，根据点的坐标得出 是等腰直角三角形，进而根据正弦的
定义，即可求解．【详解】解：如图所示，取点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，故答案为： ．
13．如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 和 于点 、
点 ，以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ；分别以
点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 两点，作直线 交边 于点 ，连接
，交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角
形的判定和性质，先由作图得出 平分 ， 垂直平分 ，进而得到 ， ，
再由平行四边形的性质可得 ， ， ，即可得 ，得到
，可得 ， ， ，设 ，可得 ，
，由 ，得到 ，即可得出 ，掌握角平分线和线段垂直平分线的
作法是解题的关键．【详解】解：由作图得， 平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算： ；
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的运算，实数的运算，解题的关键是掌握特殊的锐角三角函数值．先算
锐角三角函数、绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
(2)解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】解集为 ，整数解有 ，0
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找
出其中的整数即可．【详解】解： ，
由①得：
由②得：
不等式组的解集为
∴整数解有 ，0．
15．（本小题满分8分）
某校学生的上学方式分为“A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它”，该校数学兴趣小
组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的人数为______人，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“A步行”上学方式所对的圆心角是______度；
(3)若该校共2000名学生，请估计该校“B骑车”上学的人数约是______人；
(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．
如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地．
请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．
【答案】(1)150；补全条形统计图见详解；(2)36；(3)680；(4)为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐
私家车（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了扇形图与条形图的综合应用以及抽样调查的随机性，根据扇形图得出各部分所占
比例是解题关键．
（1）由 方式人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以 方式对应百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用 乘以 方式人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以 方式人数所占比例即可；
（4）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：（1）本次抽样调查的人数为 （人 ，
方式人数未 （人
补全图形如下：故答案为：150；
（2）扇形统计图中“ 步行”上学方式所对的圆心角是 ，故答案为：36；
（3）估计该校“ 骑车”上学的人数约是 （人 ，故答案为：680；
（4）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．
16．（本小题满分8分）
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测
量一座砖塔 的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡走 到达斜坡
上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为 ．若斜坡 的坡比 ，，且点B，C，E在同一水
平线上．．
(1)求点D到水平线 的距离；
(2)求砖塔 的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线 的距离为 ；(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角
三角形是解此题的关键．
（1）作 于 ，则 ，根据斜坡 的坡比 ， ，结合勾股定理求出
的长即可得解；
（2）作 于 ，则四边形 为矩形，设 ，则 ，则 ，
，根据 ，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作 于 ，则 ，斜坡 的坡比 ，
，
设 ，则 ，
由题意得： ， ，
，解得： ，
，
点 到水平线 的距离为 ；
（2）解：如图2，作 于 ，
则 ，
四边形 为矩形，
， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，解得： ，
，
砖塔 的高度为 ．
17．（本小题满分10分）
已知 是 的直径，且 ，点 是 上一点，过点 作 的切线，与 的延长线交于点 ，
连接 ．(1)如图①，若 ，求 的大小和 的长；
(2)如图②，若 ，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的长．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识，
（1）连接 ，根据 切 于点 得 ，由 是 的直径， 得 ，根据
得 ，即 ，在 中，根据勾股定理 即
可求解；
（2）连接 ，根据 ， 得 是等边三角形，由 ，
得 ，根据 是等边三角形， ， 得 ，根据勾股定理
即可求解．
【详解】（1）解：连接 ．
切 于点 ，
，即 ．
是 的直径， ，
．
．
．
．
．
．
在 中， ．
（2）解：连接 ．， ，
是等边三角形．
．
同（1）可得 ，
，
．
，
．即 ，
又 是 的直径，
．
是等边三角形， ，
．
在 中， ．
．
18．（本小题满分10分）
如图，一次函数 的图象与两坐标轴分别交于 ，B两点，与反比例函数 交于点C，D，
且点C的坐标为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点M在y轴上，且使得 ，求点M的坐标；(3)点P在第二象限的反比例函数图象上，若 ，求点P的坐标．
【答案】(1) ， ；(2) 或 ；(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求出b的值，即可得到一次函数解析式，再利用一次函数
解析式求出点C的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，设点M的坐标为 ，则 ，利用 解得 或
，即可得到答案；
（3）直线 与x轴交于M，过M作 于N，过C作 于H，设 ，则 ，
根据面积相等，结合 ，可求 的值，在 中，根据勾股定理可求a的值，进
一步求出直线 的解析式，然后再求出直线 与反比例函数的交点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把 代入一次函数 得，
，解得 ，∴一次函数解析式为 ；
把 代入 得到 ，解得 ，
∴点C的坐标是 ，
把点C 代入 得到 ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，∴点B的坐标是 ，
设点M的坐标为 ，则 ，
∵
∴ ，解得 或 ，∴点M的坐标为 或
（3）解：如图，直线 与x轴交于M，过M作 于N，过C作 于H，设 ，则
，设直线 的解析式为 ，将M、C的坐标代入得：
， 解得 ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，即
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
整理得： ， 解得 或 ，
∵P在第二象限，
∴当 时， ，应舍去，
∴ ，
当 时，设直线 的解析式为： ，
则 ；解得
直线 的解析式为： ，
∴ ， 解得 ，
∵ 与 重合，∴点P的坐标为 ．
B 卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得出 ，即 ，再将要求的分式进行化简，然
后代入求值即可．熟练掌握分式的化简是解题的关键．
【详解】解：∵ ，∴ ，即 ，
则 ，故答案为： ．
20．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面
积是 ．（结果保留根号）
【答案】32 +96
【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为4 的等边三角形，三棱柱高为
4，求出等边三角形边长，求出表面积即可．
【详解】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱，
作CD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
在Rt BCD中，
△
∴ ．
故答案为：32 +96
21．如图，将半径为4，圆心角为 的扇形 绕弧 的中点 逆时针旋转 ，点 ， 的对应点
分别为点 ，点 落在 上，点 落在 上，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设 与 的交点为 ，连
接 、 、 ，过点 作 于点 ，由 可得 ，再证
， 是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出 ， ，代入计算即可．
【详解】如图，设 与 的交点为 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，
扇形 绕点 逆时针旋转 得到扇形 ，
，扇形 中空白部分的面积 ，
．
，
是等腰三角形，
，
， 为弧 的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，为等腰直角三角形，
，
，
．故答案为： ．
22．如图，点P为矩形 的对角线 上一动点，点E为 的中点，连接 ， ，若 ，
，则 的最小值为_________．
【答案】6
【分析】作点 关于 的对称点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则 的最小值为
的长度；然后求出 和 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则 的最小值为
的长度，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在直角 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由对称的性质，得 ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时 有最小值，最小值为 的长，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
23．若一个四位正整数 的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个
四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为 ；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数
记为 ，后两位数字组成的两位数 记为 ，规定 ， ，若 、 都
是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为 ．
【答案】 9871 4761
【分析】本题考查了代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键．
①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；
②确定 都能被3整除， 能被3整除，继而得到 ，因此得到
， ，即可求解．
【详解】解：① 为最大的“和平数”，而 ，
但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“和平数” ，当 ， 时， ,
∴最大的“和平数”为 ；
② ，则 ， ，
∵ 、 都是整数，
∴设 ， ， 为正整数，
则 ，
两式相加得： ，两式相减得： ，
∴ 都能被3整除，
∴ 能被3整除，
∵ ，
∴ ，
∴ 或16或25，而 能被3整除，
∴
又∵ 都能被3整除，
∴ 时，M最大， 时，M最小，
∴ ， ，
∴ ．故答案为：9871；4761.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和
50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部
售完的情况下，求总利润的最大值；
(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为 ，为回馈消费者，超市计划
将甲坚果每盒售价降低 元（ 为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第
二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求 的值．
【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为 元和 元；(2)总利润的最大值为 元；(3) 或
【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、
不等式或方程进行求解是解题关键．
（1）设甲坚果每盒的进价为 元，则：乙坚果每盒的进价为 元，根据题意，列出分式方程进行求解
即可；
（2）设购进甲坚果的数量为 盒，总利润为 ，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次
函数的性质，进行求解，即可；
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为 和 ，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次
方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为 元，则：乙坚果每盒的进价为 元，由题意，得：
，
解得： （舍去）或 ，经检验： 是原方程的根；
∴ ；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为 元和 元；
（2）设购进甲坚果的数量为 盒，则购进乙坚果的数量为 盒，
由题意，得： ，解得： ，
∴ 的最大整数解为：35，
设总利润为 ，则： ，
∴当 时， 有最大值： ；
故总利润的最大值为 元．
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为 和 ，
由题意，得： ，解得： ，
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴ ，
整理，得： ，
∵ 均为正整数，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
25．（本小题满分10分）
如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)作射线 ，将射线 绕点A顺时针旋转 交抛物线于另一点D，在射线 上是否存在一点H，使
的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线 与P点，点Q从A点出发，P
点随之运动，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．【答案】(1) ；(2)存在， ；(3) 点的坐标为 或
或
【分析】（1）由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为 ，去括号即得到抛物线
的表达式；
（2）由于点H在射线 上运动，点C、B在射线 的同侧，求 的周长最小即求 最小，
作点C关于直线 的对称点 即有 ，只要点 、H、B在同一直线上时，
最小．求点C坐标，即求直线 解析式，由射线 是由射线 旋转 得
到可求得直线 解析式．由点A为 中点求得点 坐标，即求得直线 解析式，把直线 与直线
解析式联立成方程组，求得的解即为点H坐标．
（3）设 ，由直线 ： 可得 ，则
， ，分两种情况：①当 时，
②当 时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 和 ，
∴交点式为 ，
∴抛物线的表示式为 ；
（2）解：在射线 上存在一点H，使 的周长最小，
如图，延长 到 ，使 ，连接 ， 与 交点即为满足条件的点H，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，直线 解析式为 ，
∵射线 绕点A顺时针旋转 得射线 ，
∴ ，
∴ ，∴直线 解析式为 ，
∵ ，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴当 、H、B在同一直线上时，
最小，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： ，
∵ ，解得： ，
∴点H坐标为 ；
（3）解：设 ，则 ，
∴ ， ，
①当 时， ，
∴ 或 ，
解得 （舍去）或 （舍去），
∴Q点的坐标为 或 ；
②当 时，如图，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，
∴ （舍去）,
∴Q点的坐标为 ．
综上所述，当 是以 为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为 或 或
．
26．（本小题满分12分）
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学
的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形 中，点 为 边上一点，连接 ，过点 作 交 边于点 ，将
沿直线 折叠后，点A落在点 处，当 时， ；
如图2，连接 ，当点 恰好落在 上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形 改成矩形 ，且 ，其他条件不变，请写出
与 之间的数量关系式（用含 的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形 改成菱形 ，且 ， ，其他条件不
变，当 时，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，2；(2) ，理由见详解；(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出 ，再根据相似三角形的性
质，得出 和 的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出 不变，再根据 和 的关系， 和
的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出 和 相等，然后根据相似三角形的性质和勾股
定理求出 的长，即为 的长．
【详解】（1）解：（1） ，，
， ，
由翻折的性质可知， ，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
由翻折的性质可知， ， ，
，
，
四边形 为正方形，
，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
故答案为： ，2；
（2） ，理由如下：
由（1）可知， ， ，
，
；
（3）过 作 ，交 延长线于 ，作 的平分线，交 于 ，如图，
，
， ， ，
，
又 ，，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
设 ，
四边形 为菱形，
，
，
，
， ，
， ，
由勾股定理可得： ，
，解得： ，即 的长为 ．
