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2011 年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣3与 B．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| C．5与 D．﹣2与
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．x6÷x2＝x3 C．x•x3＝x4 D．（xy）3＝xy3
3．（3分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．正方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥
4．（3分）一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．4
5．（3分）在反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜x ＜0时，有y
1 1 2 2 1 2 1
＜y ，则m的取值范围是（ ）
2
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞
6．（3分）如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么飞镖落在阴影部分的概率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝56°，∠2＝37°，则∠3的度数为（ ）
第1页（共22页）A．87° B．97° C．86° D．93°
8．（3分）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B＝∠AMD＝∠C＝45°，AB＝8，CD＝
9，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：﹣22﹣4sin45°+ ＝ ．
10．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）随着台湾“塑化剂事件”的曝光，某市为了保护消费者权益，紧急下架275 000瓶
有问题饮料．将275 000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）为了解全国初中生的睡眠状况，比较适合的调查方式是 ．
13．（3分）若函数的图象经过点（2，1），则函数的表达式可能是 （写出一个即可）．
14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4cm，DE垂直平分AB，则菱形的面积是 ．
15．（3分）如图，AB是 O的直径，BD是 O的切线，∠D＝32°，则∠A＝ ．
⊙ ⊙
16．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A（﹣1，1），第四
1
次向右跳动5个单位至点A（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A
4 100
的坐标是 ．
第2页（共22页）三、解答题（每题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（ ）÷（x+1），其中x＝tan60°+1．
18．（8分）如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶
点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将△A B C 向下平移3个单位，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）将△A B C 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A B C ；并直接写出点A 、B 的
2 2 2 2 3 3 2 3 3
坐标．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．（10分）有甲、乙两个不透明口袋，每个口袋里装有四个小球（小球除字母不同外，其余均
相同），甲袋中的四个小球上分别写着字母“g”“o”“o”“d”，乙袋中的四个小球上
分别写着字母“l”“u”“c”“k”，小红从每个口袋中各随机摸出一球．
（1）请用列表法（或画树状图）表示小红摸出的所有可能结果．
（2）求小红刚好摸到“o”和“k”的概率．
20．（10分）如图，在△ABC中，D为AB上一点， O经过B、C、D三点，∠COD＝90°，∠ACD
＝∠BCO+∠BDO． ⊙
（1）求证：直线AC是 O的切线；
（2）若∠BCO＝15°，⊙O的半径为2，求BD的长．
⊙
第3页（共22页）五、解答题（每题10分，共20分）
21．（10分）随着《喜羊羊与灰太狼》这部动画片的热播，剧中的卡通形象深受中小学生的喜
爱．某玩具公司随机抽取部分学生对剧中“我最喜欢的卡通形象”进行了调查，制成了下
列两幅统计图．（两幅统计图均不完整）
（1）在这次调查中一共抽取了多少名学生？
（2）补全两幅统计图；
（3）根据调查结果，该玩具公司准备生产一批毛绒玩具，请你给玩具公司提一条合理化建
议．
22．（10分）今年四、五月份我国西南地区遭遇历史罕见的旱灾，我国最大淡水湖鄱阳湖水位
下降到历史同期最低点．某村有1 200亩稻田急需灌溉，为了提高灌溉效率，当地政府增
派灌溉车辆，使得效率是原来的1.5倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天灌溉稻田
多少亩？
六、解答题（每题10分，共20分）
23．（10分）如图，小明站在窗口向外望去，发现楼下有一棵倾斜的大树，在窗口C处测得大
树顶部A的俯角为45°，若已知∠ABD＝60°，CD＝20m，BD＝16m，请你帮小明计算一下，
如果大树倒在地面上，其顶端A与楼底端D的距离是多少米？（结果保留整数，参考数据：
≈1.414， ≈1.732）．
第4页（共22页）24．（10分）随着私家车拥有量的增加，停车问题已经给人们的生活带来了很多不便．为了缓
解停车矛盾，某小区开发商欲投资16万元，建造若干个停车位，考虑到实际因素，计划露
天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍．据测算，建造费用及年
租金如下表：
类别 室内车位 露天车位
建造费用（元/个） 5 000 1 000
年租金（元/个） 2 000 800
（1）该开发商有哪几种符合题意的建造方案？写出解答过程．
（2）若按表中的价格将两种车位全部出租，哪种方案获得的年租金最多？并求出此种方案
的年租金．（不考虑其他费用）
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线
OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB＝ （0°＜ ＜180°），∠CPD＝ ．
（1）如图（1），当 ＝ ＝90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与α∠AOBα的数量关系（不用说β明
理由）； α β
（2）如图（2），当 ＝60°， ＝120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+ ＝180β°时，
你认为（1）中的两个α 猜β想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理
①由．
若 ＝2，求 的值．
②
八、解答题（本题14分）
第5页（共22页）26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+ （a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线
的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动
时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．
当t为何值时，线段MN最长；
①在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯
②形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是 ．
第6页（共22页）2011 年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【分析】首先根据绝对值的定义化简，然后根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：A、﹣3与 不符合相反数的定义，故选项错误；
B、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2只有符号相反，故是相反数，故选项正确．
C、 无意义，故选项错误；
D、﹣2与 ＝﹣2相等，不符合相反数的定义，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数，0的相反数是其
本身．
2．【分析】根据同底数幂的除法法则、合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与
积的乘方法则对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故本选项错误；
B、x6÷x2＝x4，故本选项错误；
C、x•x3＝x4，正确；
D、（xy）3＝x3y3，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法法则、合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂
的乘方与积的乘方法则，熟练掌握上述法则是解答本题的关键．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应
该是圆柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
4．【分析】半径为10的半圆的弧长是10 ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因
而圆锥的底面周长是10 ，利用弧长公π式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可．
π
第7页（共22页）【解答】解：设圆锥的底面半径是r，
则得到2 r＝10 ，
解得：r＝π5， π
这个圆锥的底面半径是5，
∴圆锥的高为 ＝5 ．
故选：B．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓
住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的
底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
5．【分析】根据当x ＜x ＜0时，有y ＜y ，可得双曲线在第二象限，k＜0，列出不等式求解即
1 2 1 2
可．
【解答】解：根据题意，1﹣2m＜0，解得m＞ ．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单．
6．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的
比值．
【解答】解：观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数36个的 ，故其概率是 ．
故选：A．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
7．【分析】根据对顶角相等得∠4＝∠1＝56°，再利用三角形内角和定理计算出∠5，然后根据
两直线平行，同位角相等即可得到∠3的度数．
【解答】解：如图，
∵∠4＝∠1＝56°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣37°﹣56°＝87°，
又∵a∥b，
∴∠3＝∠5＝87°．
故选：A．
第8页（共22页）【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；也考查了三角形内角和定理．
8．【分析】由∠BMD＝∠BMA+∠AMD＝∠C+∠CDM，∠B＝∠AMD＝∠C＝45°，可证得
△ABM∽△MCD，然后由相似三角形对应边成比例，即可求得MC与BM的值，然后延长
BA与CD交于点E，由勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：∵∠BMD＝∠BMA+∠AMD＝∠C+∠CDM，
∵∠B＝∠AMD＝∠C＝45°，
∴∠BMA＝∠CDM，
∴△ABM∽△MCD，
∴ ，
∵M为BC边的中点，
∴MC＝BM，
∵AB＝8，CD＝9，
∴BM＝MC＝6 ，
∴BC＝12 ，
延长BA与CD交于点E，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠E＝90°，BE＝CE，
∴BE＝CE＝12，
∴AE＝BE﹣AB＝4，DE＝CE﹣CD＝3，
在Rt△AED中，AD＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质．此题难
度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
第9页（共22页）二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据乘方、特殊角的三角函数值以及二次根式的化简可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4﹣4× +2
＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握乘方、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．
10．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数
【解答】解：将275000用科学记数法表示为2.75×105．故答案为2.75×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】利用普查和抽样调查的特点即可作出判断．
【解答】解：为了解全国初中生的睡眠状况，考查的对象很多，普查的意义或价值不大，应
选择抽样调查．
【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽
样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相
对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对
象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽
样调查．
13．【分析】本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二
次函数的表达式．答案不唯一．
第10页（共22页）【解答】解：因为函数的图象过点（2，1），
所以可设 （k≠0），
所以k＝2×1＝2，即k＝2，
所以 ．
故答案为：如： 等．
【点评】考查了待定系数法求函数解析式，此题为开放性试题，只需写出适合（2，1）的一次
函数或反比例函数或二次函数均可．
14．【分析】连接BD，则三角形ABD为等边三角形，根据直角三角形的性质得DE的长，再由
面积公式进行计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADE＝30°，
∵AD＝4cm，
∴DE＝2 cm，
∴S菱形ABCD ＝4×2 ＝8 cm2．
【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，是基础知识要熟
练掌握．
15．【分析】根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再根据∠D的度数，利用三角形内角和定理求
出∠BOD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角度数的一半，可得∠A＝
∠BOD，由∠BOD的度数即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵BD是 O的切线，
∴∠OBD＝90°，又∠D⊙＝32°，
∴∠BOD＝180°﹣∠OBD﹣∠D＝58°，
第11页（共22页）又∠BOD与∠A分别为 所对的圆心角和圆周角，
则∠A＝ ∠BOD＝ ×58°＝29°．
故答案为：29°
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及三角形的内角和定理，运用切线的性质
来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关
问题．本题利用了圆的切线垂直于过切点的直径，来构造直角三角形解决问题．
16．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐
标是次数的一半，然后写出即可．
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．
故答案为：（51，50）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动
的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
三、解答题（每题8分，共16分）
17．【分析】把所求式子被除数第一项分子利用提公因式法分解因式，后两项提取﹣1，找出两
分母的最简公分母，通分后利用同分母分式的减法法则计算，分子去括号合并，同时利用
除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后把所求式子化为最
简，最后把x的值代入，利用特殊角的三角函数值及分母有理化后即可得到结果．
【解答】解：原式＝[ ﹣（x+1）]• （3分）
＝ •
＝ • （4分）
＝ ，（5分）
第12页（共22页）当x＝tan60°+1时，原式＝ ＝ ＝ ＝ ．（8分）
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时遇到多项式要将多
项式分解因式后再约分，分式的化简求值题，要将原式化为最简再代值．
18．【分析】（1）找出△ABC各顶点关于y轴对称的对应点，然后顺次连接即可；
（2）找出△ABC各顶点向下平移3个单位后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出旋转后各顶点的对应点，然后顺次连接，点A 、B 的坐标可观察
3 3
坐标系直接写出．
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所求．（2分）
1 1 1
（2）如图，△A B C 为所求．（4分）
2 2 2
（3）如图，△A B C 为所求．（6分）
3 3 2
A （2，﹣2）B （0，﹣3）．（8分）
3 3
【点评】此题主要考查了图形的对称、平移与旋转变换作图的问题，无论对称、旋转与平移
准确找出变换后的对应点是解决问题的关键．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．【分析】（1）列表求出所有的情况数即可解答．
（2）根据上题得到的情况数结合概率公式计算即可解答．
【解答】解：（1）列表如下：
乙
甲 l u c k
g （g，l） （g，u） （g，c） （g，k）
o （o，l） （o，u） （o，c） （o，k）
o （o，l） （o，u） （o，c） （o，k）
d （d，l） （d，u） （d，c） （d，k）
由列表可知，共有16种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同．（7分）
第13页（共22页）（2）共有16种可能的结果，其中刚好能摸到“o”“k”的有2种．
P（摸到“o”“k”） ＝ ＝ ．（10分）
【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到所有的情况数是解决本题的关键；用
到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】（1）连接OB，首先根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半求出
∠CBD，即为∠OBC+∠OBD的度数，然后根据等边对等角分别得到∠OBC＝∠BCO，
∠OBD＝∠BDO两对角的相等，等量代换可得到∠BCO+∠BDO的度数，由已知的
∠ACD＝∠BCO+∠BDO，即可求出∠ACD＝45°，再由△OCD为等腰直角三角形可求出
∠OCD＝45°，从而得到∠OCA＝90°，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线
是圆的切线可得证；
（2）由（1）中的∠BCO+∠BDD＝45°，且∠BCO＝15°，求出∠BDO＝30°，然后在直角三角
形ODE中，根据半径的长及∠BDO的度数，利用30°的余弦值即可求出DE的长，最后根
据垂径定理可得BD＝2DE求出结果．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵∠COD＝90°，且∠COD与∠CBD是 分别所对的圆心角和圆周角，
∴∠CBD＝ ∠COD＝45°，
∵OB＝OC，OB＝OD，
∴∠OBC＝∠BCO，∠OBD＝∠BDO，
∵∠CBD＝∠OBC+∠OBD＝45°，（3分）
∴∠BCO+∠BDO＝45°，
∵∠ACD＝∠BCO+∠BDO，
∴∠ACD＝45°，（5分）
在Rt△COD中，OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴∠OCA＝90°，
∴直线AC是 O的切线；（6分）
⊙
（2）解：过O作OE⊥BD，垂足为E．
∴BD＝2DE，
第14页（共22页）∵∠BCO+∠BDO＝45°，∠BCO＝15°，
∴∠BDO＝30°，
在Rt△DOE中，
DE＝OD•cos30°＝2× ＝ ．
∴BD＝2DE＝2 ．（10分）
【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，以及锐角三
角函数的定义，是一道多知识的综合题，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用，注
意利用转化的数学思想．其中证明切线的方法一般有以下两种： 有点连接证明半径（或
直径）与所证的直线垂直； 无点作垂线，证明圆心到直线的距①离等于半径．
五、解答题（每题10分，共20②分）
21．【分析】（1）总数＝喜欢红太郎的人数÷喜欢红太郎的人数所占的百分比即可；
（2）根据人数＝总数×百分比计算出喜欢美羊羊的人数，再计算出喜欢喜羊羊的人数及所
占百分比直接画出图即可；
（3）根据上面调查的喜欢各种动物的人数所占的百分比，多生产同学们喜欢的动物玩具，
少生产同学们比喜欢的动物玩具．
【解答】解：（1）2÷4%＝50（名）．
答：在这次调查中一共抽取了50名学生．（2分）
（2）喜欢美羊羊的人数：10%×50＝5．（3分）
喜欢喜羊羊的人数：50﹣15﹣5﹣8﹣2＝20．（4分）
喜欢喜羊羊的人数占被调查学生的百分比： ×100%＝40%．（5分）
喜欢懒羊羊的人数占被调查学生的百分比： ×100%＝30%．（6分）
（3） 多生产喜羊羊和懒羊羊玩具．
少生①产红太狼玩具．
②（答案不唯一，合理即得分）（10分）
第15页（共22页）【点评】此题主要考查了扇形统计图与条形图，关键是根据图形能得到正确的信息，同学
们在学习过程中要注意培养自己的读图能力．
22．【分析】根据增派灌溉车辆，使得效率是原来的1.5倍，结果提前10天完成任务，得出等式
方程求出即可．
【解答】解：设原计划每天灌溉稻田x亩．
根据题意，得 ﹣ ＝10．
解得x＝40．
经检验：x＝40是原方程的解．
答：原计划每天灌溉稻田40亩．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据已知得出提高效率后与提前完成的天数得
出等式方程是解题关键．
六、解答题（每题10分，共20分）
23．【分析】作AF⊥CD于F，AH⊥DB于H，由大树顶部A的俯角为45°可知AF＝CF，设大树
高为x米，在Rt△AHB中利用特殊角的三角函数值可用x表示出BH的值，再由CD＝
CF+FD即可得出x的值，进而得出顶端A与楼底端D的距离．
【解答】解：作AF⊥CD于F，AH⊥DB于H．（1分）
∴四边形AFDH为矩形．
∴AF＝DH，AH＝DF．
由题意可知∠FCA＝45°．
∴AF＝CF．（3分）
设大树高为x米，即AB＝x．
在Rt△AHB中，AH＝ABsin60°＝ x，
第16页（共22页）BH＝AB•cos60°＝ x．
∴AF＝DH＝DB﹣BH＝16﹣ x．（5分）
在Rt△ACF中，AF＝CF＝16﹣ x．
又 CD＝CF+FD，
∴20＝16﹣ x+ x．
解得x≈11．（8分）
∴16﹣11＝5（米）．（9分）
∴大树倒下后其顶端A与楼底端D的距离是5米．（10分）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题及特殊角的三角函数值、等腰
三角形的特点，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
24．【分析】（1）首先设建造室内停车位为x个，则建造露天停车位为：（160000﹣5000x）
÷1000个，根据题目中的中的关键语句： 露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不
超过室内车位的3倍列出不等式组，然后①解出解集后取整数解即可；
（2）设年租金为w元，根据题意可得：室内车位的数量×2000+露天车位的数量×800，可得
到w与x的关系表达式，再根据一次函数的增减性确定x的值，求出年租金．
【解答】解：（1）设建造室内停车位为x个，则建造露天停车位为 个．（1
分）
根据题意，得 （3分）
解得20≤x≤ ．（5分）
∵x为整数，
第17页（共22页）∴x取20，21，22．
∴ 取60，55，50．
∴共有三种建造方案．
方案一：室内停车位20个，露天停车位60个；
方案二：室内停车位21个，露天停车位55个；
方案三：室内停车位22个，露天停车位50个．（6分）
（2）设年租金为w元．
根据题意，得
w＝2 000x+800•
＝﹣2 000x+128 000．
∵k＝﹣2 000＜0，
∴w随x的增大而减小．（8分）
∴当x＝20时，
w最大 ＝﹣2 000×20+128 000
＝88 000（元）．
答：当建造室内停车位20个，露天停车位60个时租金最多，最多年租金为88 000元．（10
分）
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是根据题意，找出合适的不等关系，列出不
等式组．
七、解答题（本题12分）
25．【分析】（1）作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，证明△PDF≌△PCE可得PC＝PD；根据四
边形内角和及等腰三角形性质可得∠PDC＝ ∠AOB；
（2）根据（1）的思路可证结论成立；
（3）根据上面思路猜想，成立；根据上面结论可证△PDG∽△POD，从而求解．
【解答】解：（1）PC＝PD，∠PDC＝ ∠AOB．
（2）成立．理由如下：
第18页（共22页）作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB＝60°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF＝120°，即∠EPC+∠CPF＝120°．
又∠CPD＝120°，即∠DPF+∠CPF＝120°．
∴∠EPC＝∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC＝PD，
∴∠PDC＝ ＝30°．
∵∠AOB＝60°，
∴∠PDC＝ ∠AOB，
（3） 成立，
①
∵∠PDC＝ ∠AOB，
②
∠POD＝ ∠AOB，
∴∠PDC＝∠POD．
又∠DPG＝∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴ ＝ ．
又 ＝2，
∴ ＝ ．
第19页（共22页）【点评】此题考查三角形相似（包括全等）的判定和性质，综合性强，难度较大．
八、解答题（本题14分）
26．【分析】（1）利用待定系数法直接将A（﹣3，0）、C（5，0）两点代入抛物线y＝ax2+bx+
（a ≠0）就可以求出抛物线的解析式．
（2） 延长NM交AC于E，根据抛物线的解析式就可以求出顶点坐标B，利用条件得出三
角形①相似，求出MP，再根据矩形的性质求出点E，点N的坐标，把MN的长度表示出来，
在转化 为顶点式就可以求出结论了．
根据等腰梯形的性质连接PD，只要OD＝CE时，就可以求出t值了．
②
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+ 与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）
∴
解得 ．
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣ x2+x+ ．
（2） 延长NM交AC于E，
①
∵B为抛物线y＝﹣ x2+x+ 的顶点，
∴B（1，8）．（5分）
∴BD＝8，OD＝1．
∵C（5，0），
∴CD＝4．
∵PM⊥BD，BD⊥AC，
第20页（共22页）∴PM∥AC．
∴∠BPM＝∠BDC＝90°，∠BMP＝∠BCD．
∴△BPM∽△BDC．
∴ ＝ ．
根据题意可得BP＝t，
∴ ＝ ．
∴PM＝ t．
∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC＝90°，
∴四边形PMED为矩形．
∴DE＝PM＝ t．
∴OE＝OD+DE＝1+ t．
∴E（1+ t，0）．
∵点N在抛物线上，横坐标为1+ t，
∴点N的纵坐标为﹣ （1+ t）2+（1+ t）+ ．
∴NE＝﹣ （1+ t）2+（1+ t）+
＝﹣ t2+8．
∵PB＝t，PD＝ME，
∴EM＝8﹣t．
∴MN＝NE﹣EM＝﹣ t2+8﹣（8﹣t）
＝﹣ （t﹣4）2+2．
当t＝4时，MN最大 ＝2．
存在符合条件的t值．
②连接OP，如图（2）．
第21页（共22页）若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD＝EC．
∵OD＝1，DE＝PM＝ t，
∴EC＝5﹣（ t+1）．
∴5﹣（ t+1）＝1．
解得t＝6．
∴当t＝6时，四边形OPMC是等腰梯形．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的最值，待定系数法求函数的
解析式，等腰梯形的判定及性质，相似三角形的判定及性质．
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