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平行四边形问题
一阶 方法突破练
1.如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，在平面内确定一点 P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是
平行四边形.请在图中画出符合要求的点 P，保留作图痕迹并写出作图过程.
2.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请找出两组格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平
行四边形.
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,2),C(0,4)三点，在平面内确定一点D，使得以A，B，C，D为顶
点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点 D 的坐标.4 2
4.如图，平面直角坐标系中，直线 l :y=− x+4与y轴交于点 B，直线 l :y= x−2与y轴交于点 C，且
1 3 2 3
两直线交于x轴上的A点.若点 P 是直线 l₁上的动点，点 Q 是直线. l₂上的动点，当以点O，A，P，Q为顶点的四
边形是平行四边形时，求点 P的坐标.
15
5.如图，抛物线
y=−x2+x+
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC.设抛物线的对称轴与线段
4
BC交于点 M，平面内存在点 N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.
6.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C.点 D为抛物线上一动点，在抛物线的
对称轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点 E 的坐标；若不存
在，请说明理由.二阶 设问进阶练
4
例 如图，抛物线 y=−x²−3x+4与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点 C.直线1 y= x+4经过点 C，与
3
抛物线的对称轴交于点 D，点 E 为抛物线的顶点.
(1)点F为y轴上一点，若四边形 CDEF为平行四边形，求点F 的坐标;
(2)在平面内存在一点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标；
(3)已知点H为直线l与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使
以B，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若直线l与抛物线的另一交点为F，点 P是抛物线上一点，点Q 为平面内一点，当四边形 FCPQ 为平行四
边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，求点 P 的坐标；
(5)如图⑤，将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点 C，与x轴交于J，K两点，且新抛
物线的对称轴与x轴交于点L，平面内是否存在点S，使得以C，L，K，S为顶点的四边形是平行四边形?若存
在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由.三阶 综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 L:y=ax²+bx+c交x轴于A,B(6,0)两点,与y轴交于点
C(0,3),D(2,4)为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点E，点E 关于抛物线L的对称轴直线l的对称点为F，若点 E的横坐标为 −1,,连接
CD,CF,DF,求. △CDF的面积；
(3)创新题·“全等抛物线”解析式定义：对于任意两条抛物线 y₁=a₁x²+b₁x+c₁和 y₂=a₂x²+
b₂x+c₂(a₁≠0,a₂≠0),当 |a₁|=|a₂| 时，我们称这两条抛物线为“全等抛物线”.若点 M 是平面内任意一点，
以点A，B，C，M为顶点作平行四边形，是否存在过该平行四边形中三个顶点且与抛物线L是“全等抛物线”的
抛物线，若存在，请求出所有抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=x²+bx+c与x轴交于A(3,0),C两点,与y轴相交于点. B(0,−3),,点 M 为直线AB 上的点.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若 ∠AOM=∠ABC,,求 AM 的长;
(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点
的四边形为平行四边形?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区9
3.如图，抛物线 y=ax2− x+3(a≠0)与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C,点E为x轴上一动点.
4
(1)求抛物线的解析式；
3
(2)点C关于x轴的对称点为( C',求 C'E+ AE的最小值及此时点 E的坐标；
5
(3)(x轴上的动点+抛物线上的动点)若点F在抛物线上，是否存在点 F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是
以AC为一边的平行四边形?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区4.如图①,抛物线 y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.且( OB=OC=4OA;
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,若D 为线段 BC 上一动点(不与 B,C 重合),将射线DC绕点 D 顺时针旋转 90°交抛物线于点 P，过点
P作. PE‖x轴,交BC于点 E.当. △PDE的周长取得最大值时，求点 P的坐标和 △PDE周长的最大值；
(3)(y轴右侧抛物线上的动点)若点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M 作直线MN∥AC交直线BC于点 N，
是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存
在，请说明理由.作图区
考向1 平行四边形问题
一阶 方法突破练
1. 解:如解图①,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为点 P.点
P₁,P₂,P₃即为所求.
【一题多解】如解图②,连接AB,AC,BC,分别以点A,B，C为圆心，BC，AC，AB长为半径画弧，交点即为点
P.点 P₁,P₂,P₃即为所求.
2. 解：以AB 为边的平行四边形ABCD 如解图①所示(答案不唯一)；以AB为对角线的平行四边形ACBD如解
图②所示(答案不唯一).
3. 解:如解图,连接AB,AC,BC,
∵ AB 为平行四边形的一条边，∴过点 C 作AB的平行线,截取CD=AB,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵ 点 B 先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点A，
∴点C先向下平移2个单位长度，再向左平移2个
单位长度即得到点 D₁，∴D₁(-2,2).
同理可得 D₂(2,6).
综上所述，点D的坐标为(-2，2)或(2,6).
( 4 ) ( 2 )
4. 解:∵点A 是直线 l₁ 与直线l₂的交点,且在x轴上,∴A(3,0),设 P p,− p+4 ,Q q, q−2 ,而
3 3
A(3,0),O(0,0),
①当PQ,AO 为平行四边形的对角线时,则PQ,AO的中点重合，
{
p+q=3+0
{p=2
∴ 4 2 , 解得 ,
− p+4+ q−2=0+0 q=1
3 3
( 4)
∴P 2, ;
3
②当PA,QO 为平行四边形的对角线时,则PA,QO的中点重合，
{p=2
,
q=5
解得
( 4)
∴P 2, ;
3
③当PO,QA 为平行四边形的对角线时,则PO,QA的中点重合，
{p=4
,
q=1
解得
( 4) ( 4) ( 4)
∴P 4,− ;综上所述，点P的坐标为 2, 或 4,− .
3 3 3
15
5. 解:∵ 抛物线
y=−x2+x+
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，
4
( 3 ) (5 ) ( 15) 1
∴A − ,0 ,B ,0 ,c 0, ,抛物线的对称轴为直线 x= ,
2 2 4 2
3 15
∴ 直线 BC 的解析式为 y=− x+ ,
2 4
(1 )
∵ 点 M 为 BC 与对称轴的交点, ∴M ,3 ,
2
∵以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴分三种情况讨论，
①如解图①，当CM为平行四边形的对角线时，过点C 作AM的平行线，过点 M作AC 的平行线，交于点
( 27)
N₁，由点 A 平移到点 M 的平移规律得 N 2, ;
1 4②如解图②，当 AC 为平行四边形的对角线时，过点C 作 AM 的平行线，过点 A 作 CM的平行线，交于点N
( 3)
₂，由点 M 平移到点 C 的平移规律得 N −2, ;
2 4
③如解图③，当 AM 为平行四边形的对角线时，过点 M 作AC 的平行线,过点 A 作 CM的平行线，交于点
( 3)
N₃，由点 C平移到点 M 的平移规律得 N₃ −1,− .
4
2 ( 3) ( 3)
综上所述，点 N 的坐标为(2, )或 −2, 或 −1,− .
4 4 4
6.解:存在.
∵ 抛物线y=x²-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)²-4,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
①当BC 为平行四边形的一边时，如解图①，则DE∥BC,且DE=BC,
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ 点 E 的横坐标为1.
∵ 点 B向左平移3个单位再向下平移3个单位到点
C,∴点 D的横坐标为-2或4,
将 D 点横坐标代入抛物线解析式，
∴D₁(-2,5),D₂(4,5),
同理,由平移规律得E₁(1,8),E₂(1,2);
②当BC为平行四边形的对角线时，如解图②，则BE=CD,∴点D的横坐标为2,
∴D₃(2,-3),∴CD∥x轴,
∴点E在x轴上,∴E₃(1,0).
综上所述,点E的坐标为(1,8)或(1,2)或(1,0).二阶 设问进阶练
4
例 解:(1)∵ 直线
l:y= x+4经过点C,∴C(0,4),
3
∵抛物线 y=−x2−3x+4=− ( x+ 3) 2 + 25 ,
2 4
( 3 25) 3
∴E − , ,抛物线的对称轴为直线 x=− ,
2 4 2
∵ 点 D 为抛物线的对称轴与直线l的交点，
3 4
∴将
x=−
代入
y= x+4得,y=2,
2 3
( 3 ) 17
∴D − ,2 ,∴DE= ,
2 4
由平行四边形的性质得DE=CF，
∵C(0,4),且四边形CDEF是平行四边形,
∴点 F 只能在直线 CD 的上方,
( 33)
∴点F 的坐标为 0, ;
4
3
(2)∵平行四边形以AC 为边,A(1,0),C(0,4),D(- ,2),∴AC∥DG,AC=DG,
2
①由点 C向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 A,
( 1 )
得点 D 向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 G − ,−2 ;
2
②由点A向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 C,
( 5 )
得点 D 向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 G − ,6 ,
2
( 1 ) ( 5 )
∴ 点 G 的坐标为 − ,−2 或 − ,6 ;
2 2
(3)存在,
设点 N的坐标为((n,-n²-3n+4),B(-4,0),H(-3,0).
①当BH为平行四边形的一边时，BH∥MN，
∴M ( − 3 ,−n2−3n+4 ) ,
2
3 5 1
∵MN=BH,∴|n+ |=1,解得 n=− 或 n=− ,
2 2 2
( 5 21) ( 1 21)
∴N − , 或 N − , ;
2 4 2 4
②当BH为平行四边形的对角线时，∵平行四边形的对角线互相平分，. ∴x +x =x +x ,
B H M N
3 11 (11 39) ( 5 21) ( 1 21)
∴−4+(−3)= +n,解得 n= ,∴N , ;综上所述，点N的坐标为 − , 或 − , 或
2 2 2 4 2 4 2 4
( 11 39)
− , ;
2 4
(4)∵四边形 FCPQ 为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，如解图①，
∴直线 PQ 与 CF 上方的抛物线只有一个交点，4
∵P₁Q₁∥CF,设直线 P₁Q₁ 的解析式为
y= x+
4+a,
3
{ 4
y= x+4+a 13
联立 3 , 得 x2+ x+a=0,
3
y=−x2−3x+4
169 169
∴Δ= −4a=0,解得 a= ,
9 36
13 169 13
∴x2+ x+ =0,解得 x =x =− ,
3 36 1 2 6
209 ( 13 209)
∴y = y = ,∴P − , ,
1 2 36 1 6 36
当 PQ 在 CF 下方时，PQ 与抛物线有两个交点，
169 4 25
由题意知,直线 P₂Q₂可由 CF 向下平移 个单位得到，故直线 P₂Q₂的解析式为 y= x− ,
36 3 36
{ 4 25
y= x−
联立 3 36 ,
y=−x2−3x+4
解得 ¿
(13√2 13 26√2 43) 13√2 13 26√2 43
∴P − , − ,P (− − , − − ).
2 6 6 9 12 3 6 6 9 12
( 13 209) (13√2 13) 26√2 43 (13√2 13 26√2 43)
综上所述，点P的坐标为 − , 或 − − )或 − , − ;
6 36 6 6 9 12 6 6 9 12
(5)存在.
∵y=−x2−3x+4=− ( x+ 3) 2 + 25 ,
2 4
( 3 ) 2 25
∴设平移后的抛物线解析式为 y=− x+ −t + (t>0),
2 4
( 3) 2 25
∵新抛物线经过点C,∴将C(0,4)代入,得t=3, ∴y=− x− + ,
2 4
∵新抛物线与x轴交于 J，K两
点，对称轴与x轴交于点 L，
3
∴L( ,0),K(4,0),
2
分三种情况讨论，如解图②.
①当CK 为平行四边形的对角线时，由点 L平移到点 C 的平移规律得点 K 平移到点 S₁的平移规律，即
(5 )
S ,4 ;
1 2
②当LK 为平行四边形的对角线时，由点 C 平移到点 L 的平移规律得点 K 平移到点 S₂的平移规律，即
(11 )
S ,−4 ;
2 2
③当CL为平行四边形的对角线时，
( 5 )
由点 K平移到点 L的平移规律得点 C 平移到点 S₃的平移规律，即 S − ,4 ,
3 2
5 (11 ) ( 5 )
综上所述，点S 的坐标为( ,4):或 ,−4 或 − ,4 .
2 2 2三阶 综合强化练
1
1.解：(1)抛物线的解析式为
y=− x2+x+3;
4
(2)【思路点拨】要求△CDF 的面积，可将其分成两个同底的三角形，再利用抛物线的对称性，得到F点到y
轴的距离，即可求得△CDF的面积.
如解图①，设直线l与线段 CF交于点 G，
∵ 点 E 的横坐标为-1，点 E 关于直线l的对称点为点 F,
由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点F的横坐标为5，
7
∴F(5, ),
4
{ p=3 { 1
7 k=− ,
设直线 CF的解析式为y=kx+p,把(C(0,3)和F(5, ).代入，得 7解得 4
4 5k+p=
4 p=3
1 5 ( 5)
∴ 直线CF的解析式为 y=− x+3,当x=2时, y= ,∴G 2, .
4 2 2
1 1 ( 5) 15
∴S =S +S = DG⋅x = × 4− × 5= ;
CDF CDG DGF 2 F 2 2 4
(3)存在.
如解图②，当四边形ACBM₁为平行四边形时，由点 C平移到点A的平移规律，得点 M₁的坐标为(4，-3)；
当四边形ABM₂C 为平行四边形时，由点 A 平移到点C的平移规律，得点M₂的坐标为(8，3)；
当四边形ABCM₃为平行四边形时，由点 B 平移到点C的平移规律,得点 M₃的坐标为(-8,3),
1
过点A，B，M₁的抛物线解析式 L :y = x2−x−3,
1 1 4
1
过点 B，C，M₂的抛物线解析式 L :y = x2−2x+3,
2 2 4
1
过点A，C，M₃的抛物线解析式 L :y = x2+2x+3,
3 3 4
1
∵ 抛物线 L 的解析式为
y=− x2+x+3,
4
1 1 1
∴抛物线 L :y = x2−x−3和抛物线 L₂:y₂= x2−2x+3和抛物线 L :y = x2+2x+3与抛物线L是
1 1 4 4 3 3 4
“全等抛物线”.
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=x²−2x−3=(x−1)²−4,顶点坐标为(1,-4);
(2)∵抛物线 y=x²−2x−3,
当y=0时,解得x=3或x=-1,∴C(-1,0).
∵B(0,-3),A(3,0),
∴OA=OB=3,OC=1,∴AC=4,AB=3 √2.
∵∠AOM=∠ABC,∠MAO=∠CAB,∴△AMO∽△ACB,
AM AO AM 3
∴ = ,即 = ,
AC AB 4 3√2
∴AM=2√2;
(3)【思路点拨】根据特殊角∠OAB=45°,可得到△OAB为等腰直角三角形，得点M的坐标，分AM 为边和
AM为对角线两种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质及点 M 的坐标可得点 F 的横坐标，代入抛物线解
析式即可得到点 F的坐标.
存在.
由(2)可知AM=2 √2,OA=OB,∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°,如解图①,过点M作
MH⊥x轴于点H,∴MH=AH=2,
∵OA=3,∴OH=1,
∴M(1,-2).
分两种情况：①当AM为平行四边形的边时，由点 A 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为2或-2,
如解图②,当x=2时,y=-3,∴F₁(2,-3);
当x=-2时,y=5,∴F₂(-2,5);
②当AM为平行四边形的对角线时，由点 E 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为4，如解图③,当x=4
时,y=5,∴F₃(4,5).
综上所述,点F的坐标为(2,-3)或(-2,5)或(4,5).
3 9
3.解：(1)抛物线的解析式为
y=− x2− x+3;
4 4
(2)【思路点拨】一般求线段和的最小值问题时，考虑用对称性，找到点C关于x轴的对称点C'，通过构造直
3
角三角形，并结合三角函数得到 C'E+ AE的最小值，进而求得点E 坐标.
5
∵抛物线与y轴交于点 C,∴C(0,3),
∵ 点 C'与点 C 关于 x 轴对称,∴ 点 C'的坐标为(0,-3),
如解图①,过点 E 作 EM⊥AC 于点 M,过点 C'作 C'H⊥AC于点 H,交OA 于点E',
3 9
在 y=− x2− x+3中,令y=0,则 x₁=−4,x₂=1,令x=0,则y=3.
4 4
∴A(-4,0),C(0,3),∴AC=5,
OC 3 3
∴sin∠CAB= = ,∴EM=AE⋅sin∠CAB= AE,
AC 5 53
∴C'E+ AE=C'E+EM≥C'H,
5
∵∠CAB+∠ACC'=∠HC'C+∠ACC'=90°,
∴∠CAB=∠HC'C,∴cos∠CAB=cos∠HC'C.
∵CC'=6,
4 24 24 3
∴C'H=CC' ⋅cos∠HC'C=CC' ⋅cos∠CAB=6× = 即 的最小值为 , , C'E+ AE此时点
5 5 5 5
E 与点 E'重合,
3 9
∴OE'=OC' ⋅tan∠E'C'O=OC' ⋅tan∠CAB=3× = ,
4 4
( 9 )
∴ 点 E 的坐标为 − ,0 ;
4
(3)【思路点拨】可通过作平行线，得到交点，联立解析式求点F坐标，也可以平移直线AC，平移后的直线与
抛物线的交点即为所求点 F.
存在.
如解图②,①过点 C 作CF₁∥x轴交抛物线于点 F₁,过点 F₁ 作 F₁E₁∥AC 交 x 轴于点 E₁,此时四边形ACF₁E₁为
平行四边形.
∵C(0,3),∴点 F₁的纵坐标为3,
3 9
令y=3得 − x2− x+3=3,
4 4
解得x=0(舍去)或x=-3,
∴F₁(−3,3);
②平移直线AC交x轴于点E₂，E₃，交x轴下方的抛物线于点 F₂,F₃连接AF₂,CE₂,CE₃,AF₃,E₂F₂,E₃F₃.
当 AC=F₂E₂时，此时四边形ACE₂F₂为平行四边形，当 AC=F₃E₃时，此时四边形ACE₃F₃为平行四边形.
∵ C(0,3),∴F₂,F₃|的纵坐标都是-3.
3 9
令y=-3,得 − x2− x+3=−3,
4 4
−3−√41 −3+√41
解得 x= 或 x= ,
2 2
(−3−√41 ) (−3+√41 )
∴F ,−3 ,F ,−3 .
2 2 3 2
(−3−√41 ) (−3+√41 )
综上所述，点F 的坐标为(-3，3)或 ,−3 或 ,−3 .
2 2
4. 解:(1)抛物线的解析式为y=-(x+1) (x-4)= −x²+3x+4;
(2)【思路点拨】根据点的坐标可得到直线 BC的解析式，设出点E 的坐标，用字母表示PE 的长，再根据角相
等得到△PDE∽△COB，三角形周长比即为相似比，通过列方程求出△PDE 周长的最大值.
∵OB=OC=4,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°,∵B(4,0),C(0,4),
∴ 直线 BC的解析式为y=-x+4,设 P(t,−t²+3t+4),其中0
