正方形问题
一阶 方法突破练
1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在网格中确定格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是正
方形.
2.如图，在平面直角坐标系中， A(−√3,0),B(0,1),平面内是否存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点
的四边形为正方形?若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，
连接BP，以BP 为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 P的坐标.设问进阶练
5 13
例 如图，抛物线 y= x2− x+1分别与x轴、y轴交于 B，A两点.
6 6
(1)如图①,连接AB,以AB为边向上作正方形ABCD,求点 C的坐标并判断点 C 是否在抛物线上?
(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为P，点 Q 为平面内一点，若以A，B，P，Q 为顶点的四边形是面
积为5的正方形，求平移后的抛物线解析式；
(3)点M 是抛物线上一点，点H为平面内一点，连接BM，若点G在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，
M，G，H为顶点且BM为边的四边形是正方形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.综合强化练
1.创新题·探究性试题已知抛物线 L₁:y=x²+2kx+k−2的顶点为M.抛物线 L₂:y=ax²+bx+c(a ≠0)的顶
点为
M'.
感知特例：
(1)当k=0 k=0时，抛物线. L₁与抛物线 L₂的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：
x -1 0 1 2
y=x²+2kx+k-2 -1 -2 — 2
y=ax²+ bx+c(a≠0) 1 2 1
①抛物线.L₁的 解析式为 ，抛物线L₂的 解析式为 ；
②补全表格；
形成概念：
我们发现(1)中的抛物线 L₁上的点和抛物线 L₂上的点关于直线 y=kx对称，则称抛物线. L₁与抛线物 L₂是关
于k的反射抛物线.
探究问题：
(2)若抛物线. L₁与抛线物 L₂是关于k的反射抛物线.
①当 k=1时,M'的坐标为 ;
②在①的基础上，请求出抛物线. L₂的解析式，并在如图的网格中画出抛物线 L₂的图象；
③点 B 是抛物线 L₁上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线 L₂于点C，分别作点B，C
关于抛物线L₁ 的对称轴对称的点. B',C',连接BC, CC',B'C',BB',当四边形 BB'C'C 为正方形时，求k的值.
作图区 答题区
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线
l:y=kx+b经过点A,C.
(1)求直线l的解析式；
(2)在第一象限内存在一点 D，使得 △ACD是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，求点 D 的
坐标；
(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点 M旋转 180°得到新
抛物线，其中点A，C的对应点分别是 A',C',，若以A，C，A'，C'为顶点的四边形是正方形，求点M的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点，与y轴相
交于点 C，点 D 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
(2)求 △BCD的面积；
(3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点 N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为
对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.考向4 正方形问题
一阶 方法突破练
1. 解:作正方形ACBD 和正方形ABC'D'如解图.
2.解:存在.
如解图，①当AB为正方形的边时(定线段为边)，当M,N在x轴上方时,过点 M₁作 M₁E⊥y轴于点E,过点 N₁
作N₁D⊥x轴于点 D.
∵∠N₁DA=∠BEM₁=∠AOB=90°,
∴∠DN₁A+∠N₁AD=90°.
∵ ∠BAO+∠N₁AD=90°,∴∠DN₁A=∠BAO.
同理可得. ∠M₁BE=∠BAO,
∴∠DN₁A=∠M₁BE=∠BAO.
又∵ N₁A=M₁B=AB,
∴△N₁AD≅△BM₁E≅△ABO(依托一线三垂直模型构造全等三角形).
∵A(- √3 ,0),B(0,1),
∴N D=BE=OA=√3,AD=M E=OB=1,
1 1
∴M (−1,√3+1),N (−√3−1,√3);
1 1
当M，N在x轴下方时，
同理可得 M (1,1−√3),N (1−√3,−√3);
2 2
②当AB为正方形的对角线时，作M₃G⊥x轴于点G，过点M₃作M₃F⊥y轴于点 F.
设AG=x,则 OG=√3−x,
∵AB=√OA2+OB2=2,同①可证得 △AGM₃≅△BFM₃,
∴M F=M G=OG=√3−x,
3 3
√2
∴AM = AB=√2,AM2= AG²+M₃G²,
3 2 3
∴2=x2+(√3−x) 2 ,
√3+1 √3−1
解得 x = 舍去), x = ,
1 2 2 2
( √3+1 √3+1) (1−√3 1−√3)
∴M − , ,同理可得 N , ,综上所述，符合条件的M，N的坐标为M(-1， √3
3 2 2 3 2 2
( √3+1 √3+1) (1−√3 1−√3)
+1) ,N(−√3−1,√3)或 M(1,1−√3),N(1−√3,−√3)或 M − , ,N , (M,N两点
2 2 2 2
的坐标可互换).3.解：∵抛物线的解析式为 y=x²−2x−3,∴B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
①如解图①，当点 M在对称轴上时，过点 P 作PE 垂直直线x=1于点E,过点 B作BF⊥EP交EP的延长线于
点F,
∵ ∠BPM = 90°,∴ ∠MPE +∠BPF = 90°,又∵∠PBF+∠BPF=90°,∴∠MPE=∠PBF,
∵BP=MP,∠PBF=∠MPE,∠PFB=∠MEP=90°,
∴△PFB≌△MEP,∴PF=ME,BF=PE,
设点P(m,m²-2m-3)(0<m<3),
则 PE=m−1,BF=−m²+2m+3,
∴m−1=−m²+2m+3,
1+√17 1−√17
解得 m = ,m = 舍去),
1 2 2 2
(1+√17 1−√17)
∴点 P 的坐标为 , ;
2 2
②如解图②,当点 N在对称轴上时,过点 P 作 PF⊥x轴于点 F，设对称轴交x轴于点 G，
∵∠NGB=∠PFB=∠PBN=90°,
∴∠GNB+∠NBG=90°,∠PBF+∠NBG=90°.
∴∠GNB=∠PBF.
∵BN=PB,∴△PBF≌△BNG,∴PF=BG.
∵ B(3,0),对称轴为直线x=1,
∴BG=2,∴PF=2.
将y=-2代入. y=x²−2x−3,可得 x²−2x−3=−2,解得 x =1+√2,x =1−√2(舍去),
1 2
∴点 P 的坐标为 (1+√2,−2).
(1+√17 1−√17)
综上所述，点 P 的坐标为 , 或 (1+√2,−2).
2 2
二阶 设问进阶练
5 13
例 解:
(1)∵y= x2− x+1,
6 6
∴A(0,1),B(2,0).
如解图①，以AB 为边向上作正方形ABCD，过点 C作CH⊥x轴于点 H.
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBH=90°.
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠CBH.
∵∠AOB=∠BHC=90°,
∴△ABO≌△BCH(AAS).
∴BH=AO=1,CH=BO=2,
∴ 点C的坐标为(3,2);
将C(3，2)代入抛物线解析式验证，满足点C在抛物线上；(2)∵OA=1,OB=2,∴AB= √5.
∵以A，B，P，Q 为顶点的四边形是面积为5 的正方形，∴AB 为正方形的一条边.
分AP⊥AB 和 BP⊥AB 两种情况讨论:
①当AP⊥AB 时,如解图②,过点 P₁ 作 P₁N⊥y轴于点 N,
∵∠NAP₁+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠NAP₁=∠OBA.
∵∠ANP₁=∠BOA,AP₁=BA,
∴△AP₁N≌△BAO,
∴AN=OB=2,P₁N=OA=1,∴P₁(1,3).
易得点 P₁，P₂关于点A对称，则P₂(-1,-1);
②当BP⊥AB时,如解图②,同①可得点 P₃ 的坐标为(3,2),点 P₃ 关于点 B 对称的点 P₄的坐标为(1,-2).
综上所述，点 P 的坐标 为 ( 1, 3 ) 或(-1,-1)或(3,2)或(1,-2),
5 5 5 5
∴平移后的抛物线解析式为 y= (x−1) 2+3或y= (x+1) 2−1或 y= (x−3) 2+2或 y= (x− 1)²−2;
6 6 6 6
(3)存在.
5 13
∵抛物线
y= x2− x+1,
6 6
13
∴抛物线的对称轴为直线 x= .
10
13
如解图③④⑤⑥,过点 M 作 MK⊥直线
x=
于点K,过点 B 作BZ⊥直线 MK 于点 Z.
10
设 M ( m, 5 m2− 13 m+1 ) ,则 K (13 , 5 m2− 13 m+1 ) , Z ( 2, 5 m2− 13 m+1 ) .
6 6 10 6 6 6 6
13 5 13
①如解图③④,易得△MKG≌△BZM,∴MK=BZ,即 m− = m2− m+1,化简得 25m²−95m+69=0,解得
10 6 6
19±√85
m= .
10
(19+√85 6+√85) (19−√85 6−√85)
∴M , ,M , ;
1 10 10 2 10 10
13 5 13
②如解图⑤⑥,易得△GMK≌△MBZ,∴MK=BZ,即 −m= m2− m+1,化简得 25m²−35m−9=0,解得
10 6 6
7±√85 (7+√85 6−√85) (7−√85 6+√85)
m= . ∴M , ,M , .
10 3 10 10 4 10 10(19+√85 6+√85) (19−√85 6−√85)
综上所述，存在满足题意的点 M，其坐标为 , 或 , 或
10 10 10 10
(7+√85 6−√85) (7−√85 6+√85)
, 或 , .
10 10 10 10
三阶 综合强化练
1. 解: (1)① y=x²−2;y=−x²+2;
②-1;-2;(2)①(-1,4);【解法提示】∵ L₁:y=x²+2kx+k−2= (x+k)²−k²+k−2,.顶点.. M(−k,−k²+k−2),∴ 顶点
M'(-k,k²+k+2),∵k=1,∴M'(-1,4).
②∵抛物线 L₁ 与抛线物 L₂ 是关于 y=1 的反射抛物线，
∴由(2)①得抛物线L₂的解析式为 y=−(x+1)²+4,画出函数图象如解图所示；
③当x=1时,y=1+2k+k-2,即B(1,3k-1),
∴C(1,1-k),即BC=|2-4k|;
2k
∵ 抛物线 L₁ 的对称轴为直线
x=− =−k;
2
∴B'(-2k-1,3k-1),∴BB'=1-2-2kl,
∵ 四边形 BB'C'C 是正方形,
∴BC=BB',即|-2-2k|=|2-4k|,解得 k₁=2,k₂=0.
2. 解:(1)直线l的解析式为y=-3x-3;
(2)如解图①,当∠DAC=90°时,过点 D 作DE⊥x轴于点 E,
∵A(-1,0),C(0,-3),∴OA=1,OC=3.
∵ ∠DAE+∠CAO=∠DAE+∠ADE = 90°,
∴∠ADE=∠CAO.
又∵AD=AC,∠AOC=∠AED=90°,
∴△ADE≌△CAO,∴OA=DE=1,OC=AE=3,
∴OE=2,∴D(2,1);
当∠ACD=90°，此时点 D在第四象限不符合题意，
∴ 点D 的坐标为(2,1);
(3)【思路点拨】构造一线三垂直模型，利用三角形全等即可求得点M的坐标.
如解图②,由题意得A',C',过点 C'作C'F⊥x轴于点F,
∵ 四边形A'C'AC 是正方形,
∴AC'=AC,∠C'AC=∠AOC=90°,
∴∠C'AF+∠CAO=∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠C'AF=∠ACO,∴△ACO≌△C'AF,∴AO=C'F=1,AF=CO=3,∴C'(-4,-1).
∵点 M 是CC'的中点,
∴M(-2,-2).
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=− 2 x2+ 12 x−2=− 2 (x−3) 2+ 8 ;D ( 3, 8) ;
5 5 5 5 5
(2)如解图①，设抛物线的对称轴与 BC的交点为 H.∵B(5,0),C(0,-2),
2
∴ 直线 BC 的解析式为
y=
x-2,
5
2 4
由(1)得抛物线对称轴为直线x=3,将x=3 代入 y= x−2,得 y=− ,
5 5
( 4)
∴H 3,− ,
5
8 4 12
∴DH= + = ,
5 5 5
1 12
∴S =S +S = × ×5=6;
BCD DHB DHC 2 5
(3)【思路点拨】由题意作以A，M，I，N为顶点的正方形，设出M点坐标构造全等三角形，得对应边相等，
列方程求解M点坐标即可.
存在.
设点 M的坐标为 ( x,− 2 x2+ 12 x−2 ) ,
5 5
分以下两种情况：
①如解图②③，过点 M 作AM 的垂线，交对称轴于点I，过点A作AM的垂线，过点I作MI的垂线，交于点
N，过点M作x轴的平行线交对称轴于点 H，过点A作y轴的平行线交 MH于点 G，
∵AG⊥MH,∠AMI=90°,
∴ ∠MAG + ∠AMG = 90°,∠HMI+∠AMG=90°.
∴∠MAG=∠HMI.
∵ AM = MI, ∠AGM = ∠MHI=90°,
∴△GAM≌△HMI,
∴AG=MH,
2 12
即
x2− x+2=3−x,
5 5
7+√89 7−√89
解得 x = ,x = ,
1 4 2 4
(7+√89 −5+√89) (7−√89) −5−√89
∴ 点 M 的坐标为 , 或 );
4 4 4 4
②如解图④⑤，过点 M 作AM 的垂线，交对称轴于点I，过点A作AM的垂线，过点I作MI的垂线，交于点
N，过点M作x轴的垂线交x轴于点 P，过点 M作对称轴的垂线交对称轴于点 Q，同①可证得△MAP≌△MIQ,
2 12
∴MP=MQ,即 − x2+ x−2=3−x,
5 5
17+√89 17−√89
解得 x = ,x = ,
1 4 2 4(17+√89 −5−√89) (17−√89) −5+√89
∴点M的坐标为 , 或 ).
4 4 4 4
(7+√89 −5+√89) (7−√89 −5−√89) (17+√89 −5−√89)
综上所述，点 M 的坐标为 , 或 , 或 , 或
4 4 4 4 4 4
(17−√89 −5+√89)
, .
4 4
