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专项训练八 图形折叠的相关计算
1.(2024·唐山曹妃甸区模拟)如图,在三角形纸片ABC中,∠ADB=90°,把△ABC沿AD翻折180°,若
点B落在点C的位置,则线段AD是 ( )
A.边BC上的中线 B.边BC上的高
C.△ABC的角平分线 D.以上三种都成立
2.(2023·威海)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC
边上,点 A 落在点 H 处,折痕为 DE;使 CB 边落在 CD 边上,点 B 落在点 G 处,折痕为 CF.若矩形
HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为 ( )
A.❑√2-1 B.❑√5-1 C.❑√2+1 D.❑√5+1
3.(2024·廊坊广阳区二模)数学课上,同学们用△ABC纸片进行折纸操作.按照下列各图所示的折叠
过程,线段AD是△ABC中线的是 ( )
A B C D
4.(2023·嘉兴)如图,已知矩形纸片ABCD,其中AB=3,BC=4,现将纸片进行如下操作:第一步,如图1
将纸片对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展开后如图2;第二步,将图2中的纸片沿对角线BD折叠,
展开后如图3;第三步,将图3中的纸片沿过点E的直线折叠,使点C落在对角线BD上的点H处,
如图4,则DH的长为 ( )
⇨ ⇨图1 图2
⇨
图3 图4
3 8 5 9
A. B. C. D.
2 5 3 5
5.(2023·赤峰)如图,把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠,使点C与AB延长线上的点
Q重合,DE交BC于点F,交AB延长线于点E.DQ交BC于点P,DM⊥AB于点M,AM=4.下列结论:
15
①DQ=EQ;②BQ=3;③BP= ;④BD∥FQ.其中正确的是 ( )
8
A.①②③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
6.(2024·唐山玉田县二模)如图1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,将△ADE沿线段DE向下
折叠,得到图2,下列关于图2的结论中,不一定成立的是 ( )
图1 图2
A.DE∥BC
B.△DBA是等腰三角形
C.点A落在BC边的中点
D.∠B+∠C+∠1=180°
7.(2024·邯郸三模)观察发现:在三角形中,大角对大边,小角对小边.猜想证明:
如图1,在△ABC中,∠C>∠B.
求证:AB>AC.
证明:将△ABC沿直线MN(①)折叠,使点B与点C重合,如图2.∴∠ABC=∠MCN,
∴BM=CM(②).
在△ACM中,AM+CM>AC(③),
∴AM+BM>AC(④),
∴AB>AC.
下列说法不正确的是 ( )
图1 图2
A.①处的MN垂直平分BC
B.②表示等角对等边
C.③表示三角形的两边之和大于第三边
D.④表示等式的基本性质
8.(2024·石家庄正定县一模)如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,
将三角形纸片沿AD对折,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,则∠BAD= ( )
A.25°或115° B.35°或125°
C.25°或125° D.35°或115°
9.(2024·牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了如下操作:
第一步,如图1,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.
第二步,如图2,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段
EN的长为 ( )
图1 图2
169
A.8 cm B. cm
24167 55
C. cm D. cm
24 8
10.(2024·唐山三模)四边形ABCD的边长如图所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E为边AD上一动点
(不与A,D两点重合),连接BE,将△ABE沿直线BE折叠,点A的对应点为点F,则点C与点F之间
的距离不可能是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.8
11.(2024·甘孜州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE
与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 .
12.(2024·常州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,
连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE= .
13.(2023·潜江)如图,将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M落在边AD上
(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连
接BM.
(1)求证:∠AMB=∠BMP.
(2)若DP=1,求MD的长.1.(2024·邯郸丛台区模拟)如图,一根直的铁丝AB=20 cm,欲将其弯折成一个三角形,在同一平面内
操作如下:
①量出AP=5 cm;
②在点P右侧取一点Q,使点Q满足PQ>5 cm;
③将AP向右翻折,BQ向左翻折.
若要使A,B两点能在点M处重合,则PQ的长度可能是 ( )
A.12 cm B.11 cm C.10 cm D.7 cm
2.(2024·沧州一模)如图,E是菱形ABCD的边BC上的点,连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折,点B恰
好落在CD的中点F处,则tan∠ABE的值是 ( )
A.4 B.5 C.❑√13 D.❑√15
3.(2024·河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点
E在边 CD上.将△BCE 沿BE 折叠,点C 落在点 F处.若点 F的坐标为(0,6),则点 E的坐标为
.【详解答案】
基础夯实
1.D 解析:∵把△ABC沿AD翻折180°,点B落在点C的位置,
1
∴AB=AC,BD=CD,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC= ×180°=90°,
2
∴AD⊥BC,
∴线段AD是边BC上的中线,也是边BC上的高,还是△ABC的角平分线.故选D.
2.C 解析:由折叠可得DH=AD,CG=BC.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=1.∴DH=CG=1.设CD的长为x,则
EH HG 1 x-2
HG=x-2.∵四边形HEFG为矩形,∴EH=1,∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似,∴ = ,即 = .解得
CD AD x 1
x=❑√2+1(负值舍去).∴CD=❑√2+1.故选C.
3.C 解析:A.沿AD折叠,点C落在BC边上的点E处,则D是CE的中点,∴AD不是△ABC的中线,故A选项不
符合题意;
B.沿AD折叠,点C落在AB边上的点E处,∴ED=CD,不能得到CD=BD,故B选项不符合题意;
C.沿DE折叠使点C与点B重合,
∴BD=CD,
∴D是BC的中点,
∴AD是△ABC的中线,故C选项符合题意;
D.沿AD折叠,点C落在三角形外的点E处,
∴CD=DE,不能得到CD=BD,
∴D选项不符合题意.故选C.
4.D 解析:如图,连接 CH.由折叠可知 EB=EH=EC.∴点 B,C,H 在以点 E 为圆心,BC 为直径的圆上.
∴ ∠ BHC=90°.∴ CH⊥ BD.∵ 在 矩 形 ABCD 中 ,AB=3,BC=4,∴ CD=AB=3.∴ BD= =5.∴ CH=
❑√BC2+CD2
BC·CD 12 BC CH 9
= .∵tan∠BDC= = ,∴DH= .故选D.
BD 5 CD DH 5
5.A 解析:由折叠性质可知∠CDF=
∠ QDF,CD=DQ=5,∵ CD∥ AB,∴ ∠ CDF=∠ E,∴ ∠ QDF=∠ E,∴ DQ=EQ=5, 故 ① 正 确 ;∵ DQ=CD=AD=5,DM⊥ AB,∴ MQ=AM=4,∵ AB=5,∴ MB=AB-AM=5-4=1,∴ BQ=MQ-MB=4-1=3, 故 ② 正 确 ;
CP CD 5 3 15
∵ CD∥ AB,∴ △ CDP∽ △ BQP,∴ = = ,∵ CP+BP=BC=5,∴ BP= BC= , 故 ③ 正 确 ;
BP BQ 3 8 8
DF CD 5 EF 8 QE 5 EF QE
∵CD∥AB,∴△CDF∽△BEF,∴ = = ,∴ = ,∵ = ,∴ ≠ ,∴BD与FQ不平行,故④
EF BE 8 DE 13 BE 8 DE BE
错误.故选A.
6.C 解析:A.∵在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,故本选项正确;
B.由折叠的性质可得BD=AD,
∴△DBA是等腰三角形,故本选项正确;
C.由折叠的性质可得AD=BD,AE=EC,但不能确定AB=AC,故本选项错误;
D.如题图1,在△ABC中,
∠BAC+∠B+∠C=180°,
如题图2,由折叠的性质可得∠BAC=∠1,
∴∠B+∠C+∠1=180°,故本选项正确.故选C.
7.D 解析:①处的MN垂直平分BC;②表示等角对等边;③表示三角形的两边之和大于第三边;都正确,不符合题
意;
④表示等量代换,故④不正确,符合题意.故选D.
8.A 解析:如图1,B'D⊥BC,且点B'与点A在直线BC的异侧,
由折叠得∠ADB'=∠ADB,
∵∠ADB'+∠ADB+∠BDB'=360°,且∠BDB'=90°,
∴2∠ADB+90°=360°,
∴∠ADB=135°,
∵∠B=20°,
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-135°-20°=25°;
图1 图2
如图2,B'D⊥BC,且点B'与点A在直线BC的同侧,
∵∠ADB'=∠ADB,且∠BDB'=90°,
∴∠ADB'+∠ADB=2∠ADB=∠BDB'=90°,
∴∠ADB=45°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-20°=115°.
综上所述,∠BAD=25°或115°.故选A.
9.B 解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=10 cm,
1
由折叠可得AM= AB=5 cm,AD=AD'=12 cm,MN⊥AB,∠DAN=∠D'AN,
2
∴四边形AMND是矩形,
∴MN∥AD,MN=AD=12 cm,
∴∠DAN=∠ANM,
∴∠ANM=∠D'AN,
∴EA=EN,
设EA=EN=x cm,则EM=(12-x) cm,
在Rt△AME中,根据勾股定理可得AM2+ME2=AE2,
169 169
即52+(12-x)2=x2,解得x= ,即EN= cm.故选B.
24 24
10.D 解析:如图1所示,连接CF,
图1
根据折叠的性质,我们可以得到△ABE≌△FBE,
∴BF=AB=3,
∵BC=5,
根据三角形三边关系BC+BF>FC,
可以得到3+5>FC,
∴FC<8,
当折叠后F落在BC上时,如图2,
图2
此时CF为最小值,CF=BC-BF=5-3=2,
故CF的取值范围为2≤CF<8.故选D.
11.3 解析:由折叠的性质,∴AE=BE,
∵AC=8,
∴AE=AC-CE=8-CE,
∴BE=8-CE,
在Rt△BCE中,BC2+CE2=BE2,
∴16+CE2=(8-CE)2,
解得CE=3.
3
12. 解析:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,
2
1
∴CD= AC=3,
2
∴BD= =5,
❑√BC2+CD2
∵将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,
∴CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=90°,
∴BF=BD-DF=2,∠BFE=90°,
设CE=x,则EF=x,BE=BC-CE=4-x,
在Rt△BFE中,由勾股定理,得(4-x)2=x2+22,
3 3
解得x= ,∴CE= .
2 2
13.解:(1)证明:由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°,EM=EB.
∴∠EMB=∠EBM.
∴∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即∠BMP=∠MBC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠AMB=∠MBC.
∴∠AMB=∠BMP.
(2)如图,延长MN,交BC的延长线于点Q.
∵AD∥BC,∴△DMP∽△CQP.
又∵DP=1,正方形ABCD的边长为3,即CD=3,
∴CP=CD-DP=2.MD MP DP 1
∴ = = = .
QC QP CP 2
∴QC=2MD,QP=2MP.
设MD=x,则QC=2x.
∴BQ=3+2x.
由(1)知∠BMP=∠MBC,
即∠BMQ=∠MBQ,
∴MQ=BQ=3+2x.
1 3+2x
∴MP= MQ= .
3 3
在Rt△DMP中,MD2+DP2=MP2,
3+2x
∴x2+12= 2.
3
12
解得x=0(舍去),x= .
1 2
5
12
∴MD= .
5
能力提升
1.D 解析:设PQ=x cm(x>5),
∵AP=5 cm,PQ=x cm,
∴BQ=AB-AP-PQ=20-5-x=(15-x)(cm),
将AP向右翻折,BQ向左翻折,
∴AP=MP,MQ=BQ,
∵△MPQ符合三角形三边关系,
∴|MQ-MP|
