文档内容
江苏省南通市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，小于﹣3的数是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣4
2．某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×104 B．8.5×105 C．0.85×104 D．0.85×105
3．下列计算，正确的是（ ）
A．x4﹣x3=x B．x6÷x3=x2 C．x•x3=x4 D．（xy3）2=xy6
4．如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
7．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹 是（ ）
A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆
8．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（
）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
9．小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时
间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了20km；
（2）小陆全程共用了1.5h；
（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；
（4）小李在途中停留了0.5h．
其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是 的中点，CD与AB的交点为E，则 等于
（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2.8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应
位置上）
11．若反比例函数y= 的图象经过点A（1，2），则k= 。
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于 度．
13．一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是 ．
15．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ．
16．如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0
的解集为 ．17．如图，在 ▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
BG⊥AE，垂足为G，BG=4 cm，则EF+CF的长为 cm．
18．已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式
x2+4x+6的值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
19．（11分）（1）计算： ；
（2）先化简，再求代数式的值： ，其中m=1．
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ，点C
关于y轴的对称点C的坐标为 ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
21．（8分）某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果制成条形图，已知A等级苹
果的重量占这批苹果总重量的30%．
回答下列问题：
（1）这批苹果总重量为 kg；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形的圆心角为 度．22．（10分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片
游戏．
小明画出树状图如图所示：
小华列出表格如下：
第一次 1 2 3 4
第二次
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） ① （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放
回”），再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？
23．（8分）若关于x的不等式组 恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
24．（8分）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交
于点P，若PA= cm，求AC的长．
26．（8分）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，
y=1.4；当x=3时，y=3.6．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和
最大，最大利润是多少？27．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等
边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为
T．
（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；
（2）若AD= ，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．
28．（13分）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线 相交于点A（x ，y ），B（x ，y ）两点，与x轴正半轴相
1 1 2 2
交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y ，y ）在反比例函数 的图象上；
1 2
（3）求证：x •OB+y •OA=0．
1 2江苏省南通市 2013 年中考数学试卷参考答案
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．C
11．2 12．70 13．球体 14． 15．2.8 16．﹣2＜x＜﹣1 17．5 18．3
19．解：（1）
= ÷ ÷1﹣3
= ﹣3；
（2）
= •
= ，
当m=1时，原式=﹣ ．
20．解：（1）∵A（﹣1，5），
∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．
∵B（4，2），
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．
∵C（﹣1，0），
∴点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．
故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．
（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．
∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，
∴S = A′C′•B′D= ×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．
△A′B′C′
21．解：（1）1200÷30%=4000（kg）．
故这批苹果总重量为4000kg；
（2）4000﹣1200﹣1600﹣200=1000（kg），将条形图补充为：
（3） ×360°=90°．
故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度．
故答案为：4000，90．
22．解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，
∴小明的实验是一个不放回实验，
（2）观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次，
（3）理由如下：
∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为： = ；
∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为： = ，
∵ ＞
∴小明获胜的可能性大．
故答案为不放回；（3，2）．
23．解：解 + ＞0，得x＞﹣ ；
解3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得x＜2a，
∴不等式组的解集为﹣ ＜x＜2a．
∵关于x的不等式组 恰有三个整数解，
∴2＜2a≤3，
解得1＜a≤ ．
24．证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
25．解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，AC=OA，
∵PA是⊙O切线，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，PA=6 cm，∠AOP=60°，
∴OA= = =6，
∴AC=OA=6．
26．解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴ ，
解得 ，
所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，
∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
27．解：（1）由题意得：tanA= = = ，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，
则EH=DE•sin∠CDE=a• = a．
∴点E到AC的距离为一个常数．
（2）若AD= ，当a=2时，如答图2所示．
设AB与DF、EF分别交于点M、N．
∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=AD= ．
过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG为等边三角形，
∴DG=MG=DM= ．
∴GE=DE﹣DG=2﹣ = ．∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四边形MGEN为平行四边形．
∴NE=MG= ，MN=GE= ．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+ + + = ．
（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：
①若0＜a≤ ，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：
∴T=3a；
②若 ＜a≤ ，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：
设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．
与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．
∴DM=DG=NE=AD= ，MN=GE=DE﹣DG=a﹣ ，
∴T=DE+DM+MN+NE=a+ +（a﹣ ）+ =2a+ ；
③若 ＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：
设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．在Rt△PCD中，CD= ，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°= × = ．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，点E到AC的距离为 a，∴PQ= a﹣ ．
∴QE=PQ•tan30°=（ a﹣ ）× = a﹣ ，PE=2QE=a﹣ ．
由②可知，四边形MDEN的周长为2a+ ．
∴T=四边形MDEN的周长﹣PE﹣QE+PQ=（2a+ ）﹣（a﹣ ）﹣（ a﹣ ）+（ a﹣ ）= a+ ﹣
．
综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：
T=
28．（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣ ，
∴△OCD的面积S= （﹣ ）•b=﹣ ．
∵kS+32=0，
∴k（﹣ ）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；
（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x= ，
将x= 代入y= x2，得y= （ ）2，
整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．
∵直线y=kx+8与抛物线 相交于点A（x ，y ），B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴y ，y 是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，
1 2
∴y •y =64，
1 2
∴点（y ，y ）在反比例函数 的图象上；
1 2（3）证明：由勾股定理，得
OA2= + ，OB2= + ，AB2=（x ﹣x ）2+（y ﹣y ）2，
1 2 1 2
由（2）得y •y =64，
1 2
同理，将y=kx+8代入y= x2，
得kx+8= x2，即x2﹣8kx﹣64=0，
∴x •x =﹣64，
1 2
∴AB2= + + + ﹣2x •x ﹣2y •y = + + + ，
1 2 1 2
又∵OA2+OB2= + + + ，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴ = ，
∵OE=﹣x ，BF=y ，
1 2
∴ = ，
∴x •OB+y •OA=0．
1 2
