文档内容
2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共30分）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的计算方法：负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【详解】∵ ，
∴ 的值是9，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的性质，熟练掌握：正数和0的绝对值
是其本身，负数的绝对值是其相反数．
2．如图是正方体的表面展开图，则“铸”字相对面上的字为（ ）
A．雪 B．松 C．风 D．骨
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，据此解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“就”与“松”是相对面，
“雪”与“风”是相对面，
“铸”与“骨”是相对面．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
3．2024年春节假期，珠溪古镇持续火㩧，成为游客出行热门目的地．截至2月17日，珠溪
古镇春节假期预估接待游客突破50万人次，实现旅游综合营收 元，数据 用
科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同，当原数绝对值大于等于 10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由
此进行求解即可得到答案．
【详解】
解： ，
故选D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂乘法法则、同底数幂除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项
判断即可．
【详解】解：A， ，故运算错误；
B， ，故运算错误；
C， ，故运算正确；D， ，故运算错误；
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各项运
算法则是解题的关键．
5．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的
度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．48°
【答案】D
【分析】由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位
角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故选D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两
直线平行，同位角相等定理的应用．
6．若一次函数 与反比例函数 的图象没有公共点，则k的值可以是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式的意义；联
立解析式得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式 进行计算即可求解．【详解】解：依题意，联立 ，消去 得，
即
∵一次函数 与反比例函数 的图象没有公共点，
∴
解得：
故选：B．
7．如图，在 中， ，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧相交于M，N两点，作直线 ． 分别交 于点D，E，连接 ．若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出 ，然后求出
的度数．
【详解】解：根据题意，MN垂直平分AB，
∴点D是AB的中点，∠BDE=90°，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的
关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
8．读万卷书，行万里路，研学是校园的一部分，某校计划暑假开展研学活动，现有红旗渠风
景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆三个地方供大家选择，每位同学任意选取其中一
个地方研学，则小明和小红选取同一个地方的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注
意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；
画表格，共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，再由
概率公式求解即可；
【详解】设红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆分别为 ．由题意，列
表如下．
由表格，知共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，所
以 (小明和小红选取同一个地方) ，
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，以正六边形 的中心 为原点，顶点 在 轴上，若半径是4，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段 长，再由
含 直角三角形性质及勾股定理求出 长，数形结合即可得到 ．
【详解】解：过点 作 ，连接 ，如图所示：
在正六边形 中， ，
因为 ，
所以 是等边三角形，
， ，
在 中， ，则 ，
则由勾股定理可得 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含 直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含 直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．
10．如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形
ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所
示，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，
从而得出菱形的边长和高，从而得其面积．
【详解】解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，
此时y＝EF＝ ；
直线l向右平移直到点F过点B时，y＝ ；
当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0
∴菱形的边长为a+2﹣a＝2
∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+ ＝4
∴a＝1
∴菱形的高为
∴菱形的面积为2 ．
故选C．
【点睛】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问
题的关键，
二、填空题（共15分）
11．写出一个3到4之间的无理数 ．【答案】π（答案不唯一）．
【详解】考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
12．小明家1至5月份每月用水量的折线统计图如图所示，根据图中的信息，小明家1至5月
份每月用水量的平均数是 吨．
【答案】
【分析】根据平均数定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，进行
求解即可．
【详解】解：（4+3+6+5+3）÷5
＝21÷5
＝4.2（吨），
答：小明家1至5月份每月用水量的平均数是4.2吨．
故答案为：4.2．
【点睛】本题考查折线统计图及平均数的计算，明确折线统计图的特征，熟记平均数计算方
法是解题的关键．
13．已知 ， ，计算 的值为 ．
【答案】7
【分析】将代数式化简，然后直接将 ， 代入即可．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ ，故答案为：7．
【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简 是解题关键．
14．如图，已知双曲线 经过直角三角形 斜边 的中点 ，与直角边 相交于
点 ，若 的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过 点作 轴的垂线交 轴于 点，可得到四边形 ，和三角形 的面积相等，
通过面积转化，可求出 的值．
【详解】解：过 点作 轴的垂线交 轴于 点，
的面积和 的面积相等．
的面积和四边形 的面积相等且为6．
设 点的横坐标为 ，纵坐标就为 ，
为 的中点．
， ，
四边形 的面积可表示为：
．
故答案为：4．【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标
轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出 的值．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB延长线一点，以BE为边做正方形
BEFG，连接AC、AF、CF，那么 的面积为 ．
【答案】
【分析】连接BF，根据正方形的性质推出AC∥BF，得到△ACF的面积=△ACB的面积，再计
算即可．
【详解】解：连接BF，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAC=∠EBF=45°，
∴AC∥BF，
∴点F与点B到AC的距离相等，
∴△ACF的面积=△ACB的面积，
∵AB=BC=1，
∴S ACF=S ACB= = ，
△ △
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线之间的距离，解题的关键是推出△ACF的面
积=△ACB的面积．
三、解答题（共75分）16．（10分）（1）计算 ；
（2）解方程组 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据立方根意义求值，以及绝对值的性质计算；
（2）利用加减消元法，解方程组求出答案即可．
【详解】解：原式＝
．
（2）解方程组 ，
得： ，
将 代入①中，解得 ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了立方根的定义，绝对值，实数的混合运算和解二元一次方程组等知识点，
能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
17．（9分）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖
的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼
控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘
制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)该学校抽样调查的学生人数是__________．
(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
(3)若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和
“待合格”的总人数．
【答案】(1)80人
(2)补全图见图示，
(3)400人
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合题．
（1）由优秀人数36人及占比 可求总人数；
（2）用总人数减去优秀，合格，待合格三者的和即可得出良好的人数，求出合格的占比再乘
即可求出合格部分对应圆心角的度数；
（3）用样本数据取估计总体，先求出合格与待合格的总占比，再乘1600即可．
【详解】（1）解：该学校抽样调查的学生人数是 （人）
故答案为：80；
（2）良好的人数为： （人），补全图如图所示，合格部分对应圆心角为： ；
（3）合格和待合格的总人数为： （人）．
18．（9分）建于明洪武七年（1374年），高度 米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最
古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在 米高的光岳楼顶楼 处，利用
自制测角仪测得正南方向商店 点的俯角为 ，又测得其正前方的海源阁宾馆 点的俯角为
（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．
【答案】商店与海源阁宾馆之间的距离 米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解决本题的关键是借助俯角构造直角三角形，运用
三角函数定义表示与所求线段相关的线段的长度．利用 的正切值可求得 长，利用 的
正切值可求得 长， 即为商店与海源阁宾馆之间的距离．
【详解】解：∵两条水平线是平行的，
∴ ，
∵ 米， ，
∴ （米），
（米），
∴ （米），
答：商店与海源阁宾馆之间的距离 米．
19．（9分）已知一次函数 （a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数 交于
B、C两点，B点的横坐标为 ．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当 时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出 ACD的面积．
△
【答案】(1) ，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当 时， 或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y = 的图象上，可以求得点B的坐标，
2
然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y
1
＜y 时对应自变量x的取值范围；
2
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，
即可计算出 ACD的面积．
△
【详解】（1）解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y = 的图象上，
2
∴y = =-3，
2
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y =ax-1的图象上，
1∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
（2）解：解方程组 ，
解得 或 ，
∵一次函数y =ax-1（a为常数）与反比例函数y = 交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
1 2
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y ＜y 时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
1 2
（3）解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S ACD=S ADE+S DEC= =2，
△ △ △即 ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数
△
形结合的思想解答．
20．（9分）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知
乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多 ，若乙施工队单独修建这项工程，
那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建
时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队
共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米
(2)共需修建费用149000元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）设甲施工队每天修建的长度为 米，则乙施工队每天修建 米，列式代入数值进行
计算，注意验根；
（2）设甲施工队单独修建 天，列式 ，得出 ，结合“甲施工队每
天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建的长度为 米，则乙施工队每天修建 米
依题意，得
解得
经检验， 是原分式方程的解∴ （米）
∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；
（2）解：设甲施工队单独修建 天，
依题意，得
解得
∴甲施工队单独修建5天
则 （元）
∴共需修建费用149000元．
21．（9分）如图，在 中， ，在 上取一点D，以 为直径作 ，与
相交于点E，作线段 的垂直平分线 交 于点N，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为1，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理：
（1）连接 ，根据中垂线的性质，等边对等角，推出 ，进而得到
，即可；
（2）连接 ，设 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
∵ 的半径为1，
∴ ，
∵ 是 的中垂线，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，
即 ，
解得 ，
即 ．
22．（10分）综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
情境素材
素
高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速
材 公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右
行驶．
1
素
据调查，一般的大型货车宽 ，车货总高度从地面
材 算起不超过 ．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部
与隧道的竖直距离不小于 ．
2
某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽
素
度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩
材 形构成（如图）．每条车道的宽为 （其中
），车道两端（ 、 ）与隧道两侧的距
3
离均为 ．
问题解决
问
估计将要修建的隧道宽度
题 确定单向双车道隧道的宽度
的合理范围．
1
问
已知要修建的隧道矩形部分
题 设计隧道的抛物线部分 ， ．求抛物
线的解析式．
2
【答案】 ，【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合 ，即可求解，
问题二： 中点 ，建立坐标系，作 ，求出点 点 的坐标，代入抛物线表达式，
即可求解，
本题考查了，二次函数的应用，解题的关键是：根据题意建立坐标系．
【详解】解：问题1：∵每条车道的宽为 （其中 ）， ， ，
，
∴ ，
∵
∴ ，
问题2：取 中点 ，以 为 轴，建立坐标系，作 交抛物线于点 ，
设抛物线表达式： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
将 、 代入 ，
得： ，
解得： ，∴抛物线表达式为： ，
故答案为： ， ．
23．（10分）（1）观察猜想：如图（1）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分别是
AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ连接CE， 的值是 ．
（2）类比探究：当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（2）位置时，请判断 的值是
否发生变化？若不变，说明理由；若改变，求出新的比值．
（3）解决问题：若将（1）中的矩形ABCD改变为平行四边形ABCD，且AB＝6，AD＝8，
∠B＝60°，P、Q分别是AB、AD边上的点，且AP＝ AB，AQ＝ AD，以AP、AQ为邻边作
平行四边形APEQ．当平行四边形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，连接
CE、DQ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）不变，见解析；（3）
【分析】(1)延长PE交CD于H，则四边形QEHD是矩形，在 中，利用勾股定理即可
解决问题；
(2)连接AE、AC，证明 ，由对应边成比例即可解决问题；
(3)利用已知计算AC的长，同理得 ，通过对应边成比例即可解决问题；
【详解】解：（1）延长PE交CD于H，如图：则四边形QEHD是矩形，
在 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 的值不变，理由如下：
连接AE、AC，如图：
由旋转可知：∠QAD＝∠EAC，
由勾股定理可知：AC＝10，AE＝5，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）过A作 于H，连接AC，如图：∵∠B＝60°，
∴
∵AB＝6，
∴
∴ ,
由勾股定理得： ，
∴ ，
连接AE、AC，如图：
同理 中， ，可得AE＝ ，
∴ ，
由旋转得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属
于中考压轴题．
