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2024 年中考第二次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B C C B A C B D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．1.42×1010．
12．故答案不唯一，k＞0例如：y＝x﹣1．
1
13． ．
x−y
14．49．
15．√26．
16．②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
{2x−1
17．（8分）解不等式组： ≥x−2，并写出它的正整数解．
5
2(x−2)＜3x
2x−1
【解答】解：解不等式 ≥x−2得，
5
x≤3． ……………………2分
解不等式2（x﹣2）＜3x得，
x＞﹣4， ……………………4分
所以不等式组的解集为：﹣4＜x≤3． ……………………6分
正整数解为：1，2，3． ……………………8分18．（8分）如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边▱形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴AF∥EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形． ……………………4分
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
1
∴BE＝AE＝CE= BC＝5． ……………………8分
2
19．（8分）【解答】解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6＝40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C； ……………………2分（每空1
分）
（2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%＝2（人）； ……………………5分
10
（3）840× +820×25%
40
＝210+205
＝415（人），
∴估计身高在C组的学生约有415人． ……………………8分
20．（8分）
【解答】（1）证明：连接OD，
∵点D是^AB的中点，
∴^AD=^BD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴2∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线． ……………………4分
⊙
（2）解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB 10，
=√AC2+BC2=√82+62=
1
∴OD＝OA＝OB= AB＝5，
2
由（1）得∠AOD＝∠BOD＝90°，
1 90×π×52 25 25π
∴S阴影 ＝S△AOD +S扇形BOD =
2
×5×5+
360
=
2
+
4
，
25 25π
∴图中阴影部分的面积是 + ． ……………………8分
2 4
21．（8分）
【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；……………………4分
（2）如图2中，直线kl，点P即为所求．……………………8分22．（10分）
【解答】解：（1）
答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；……………………3分（每空
1分）
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；……………………6分
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．……………………10分23．（10分）
【解答】解：（1）答案为：CM=√2BP； ……………………3分
√5
（2）CM= BP的数量关系不变，理由如下：
2
当n＝2时，AB＝2BC，
PM BC 1
则 = = ，
AP AB 2
1 1
∴BC= AB，PM= AP，
2 2
√ 1 √5
由勾股定理可得：AC=√BC2+AB2= ( AB) 2+AB2= AB，
2 2
√ 1 √5
AM=√PM2+AP2= ( AP) 2+AP2= AP，
2 2
AM AC √5
∴ = = ，
AP AB 2
√5 √5
∴AC= AB，AM= AP，
2 2
√5 √5
∴CM＝AC﹣AM= （AB﹣AP）= BP，
2 2
由旋转得：∠CAB＝∠MAP，
即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAM，
∴△ABP∽△ACM，CM AC √5
∴ = = ，
BP AB 2
√5
∴CM= BP； ………………………6分
2
（3）∵AB＝4，AP＝2，
∴BC＝2，PM＝1，
由勾股定理可得：AC＝2√5，AM=√5，
∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线，
∴∠APM＝90°，PM＝1，
∠APB＝180°﹣90°＝90°，
∴BP 2 ，
=√AB2−AP2=√42−22= √3
当△APM旋转至直线AB上方时，如图，
则BM＝BP+PM＝2√3+1； ………………………8分
当△APM旋转至直线AB下方时，如图，
则BM＝BP﹣PM＝2√3−1；
综上所述，线段BM的长为2√3+1或2√3−1． ……………………10分
24．（12分）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），
且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平
行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图（2），过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间
的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定
值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a
（x+1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3），
∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
则y＝x2+2x﹣3； ………………………4分
（2）设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3，
3
解得k= ，
2
3
那么直线OB的解析式为y= x，
2
设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，
3
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为 (t−s)，
2
3
由MN∥x轴，得t2+2t−3= (t−s)，
22 1 2 1 2 49
解得s=− t2− t+2=− (t+ ) + ，
3 3 3 4 24
1 49
当t=− 时，MN有最大值，最大值为 ； ………………………8分
4 24
（3）EF+EG为定值．理由如下，
如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，
在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1，
故C（﹣3，0），D（1，0），
设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△CEF∽△CQP，
EF CE
∴ = ，
PQ CQ
CE 2
∴EF= ⋅PQ= (−t2−2t+3)
CQ t+3
同理，△EGD∽△QPD，
EG DE
∴ = ，
PQ DQ
DE 2
∴EG= ⋅PQ= (−t2−2t+3)
DQ 1−t
2 2 4
∴ EF+EG= (−t2−2t+3)+ (−t2−2t+3)=2(−t2−2t+3) =8
t+3 1−t −t2−2t+3
，
故EF+EG是定值，且为8． ………………………12分
