文档内容
江苏省盐城市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
2．（3分）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（ ）
A．+30 B．﹣30 C．+80 D．﹣80
3．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a2=a4 B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6 D．3a6÷a2=3a4
6．（3分）某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数
分别是（ ）
工资（元） 2000 2200 2400 2600
人数（人） 1 3 4 2
A．2400元、2400元B．2400元、2300元C．2200元、2200元D．2200元、2300元
7．（3分）如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
8．（3分）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个
图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一
种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接写
在答题卡相应位置上）
19．（3分）16的平方根是 ．
10．（3分）因式分解：a2﹣9= ．
11．（3分）2013年4月20日，四川省雅安市芦山县发生7.0级地震．我市爱心人
士情系灾区，积极捐款，截止到5月6日，市红十字会共收到捐款约1400000元，
这个数据用科学记数法可表示为 元．
12．（3分）使分式 的值为零的条件是x= ．
13．（3分）如图所示是一飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假
设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是
．
14．（3分）若x2﹣2x=3，则代数式2x2﹣4x+3的值为 ．
15．（3分）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数
关系式： ．（填上一个答案即可）
16．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使 经过圆心O，则∠OAB= ．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将△ABC绕顶点
C按顺时针方向旋转45°至△A B C的位置，则线段AB扫过区域（图中的阴影部
1 1
分）的面积为 __ cm2．
18．（3分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数y=﹣ x+1的图
象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC= AB，反比例函
数y= 的图象经过点C，则所有可能的k值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、推理过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：2+|﹣3|+tan45°； （2）解不等式：3（x﹣1）＞2x+2．
220．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．
21．（8分）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式
随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图
中的信息回答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）
22．（8分）一只不透明的袋子，装有分别标有数字1、2、3的三个球，这些球除所
标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再
从中任意摸出1个球，记录下数字，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出
的球上的数字之和为偶数的概率．
323．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且
AE=AB．
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（10分）实践操作
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在
图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；
4（2）以O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用
在你所作的图中，
（1）AB与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案）
（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．
25．（10分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实
际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千
克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x
（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润
最大利润是多少？（利润=销售收入﹣进货金额）
26．（10分）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学
的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地
面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与
水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的
5夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距
离EF的长度．
27．（12分）阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在
AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线
上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
6解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量
关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述
（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD
之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角
∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 的值（用含α的式子表示出来）
28．（12分）如图①，若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B
（3，0）两点，点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为C．
（1）求b、c的值；
7（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y= x的图象于点D，连结AC，交
正比例函数y= x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD
方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以
每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止
运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分
∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(Word 解析版)
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）（2013•盐城）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
考点：有理数大小比较
分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负
数，其绝对值大的反而小）比较即可．
解答：解：﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是﹣3；
故选D．
点评：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都
小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2．（3分）（2013•盐城）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（ ）
A．+30 B．﹣30 C．+80 D．﹣80
考点：正数和负数
分析：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答案．
解答：解：∵收入50元，记作+50元，
8∴支出30元记作﹣30元．
故选B．
点评：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对
具有相反意义的量．
3．（3分）（2013•盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观
察能力，属于基础题．
4．（3分）（2013•盐城）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
考点：二次根式有意义的条件
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选A．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）（2013•盐城）下列运算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a2=a4 B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6 D．3a6÷a2=3a4
考点：整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式
分析：根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利
用排除法求解．
解答：解：A、2a2+3a2=5a2，故本选项错误；
B、5a2﹣2a2=3a2，故本选项错误；
C、a3×2a2=2a5，故本选项错误；
D、3a6÷a2=3a4，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式，记准法则是解题的关键．
6．（3分）（2013•盐城）某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的
众数和中位数分别是（ ）
工资（元） 2000 2200 2400 2600
人数（人） 1 3 4 2
9A．2400元、2400元 B．2400元、2300元 C．2200元、2200元 D．2200元、2300元
考点：众数；中位数
分析：根据中位数和众数的定义求解即可；中位数是将一组数据从小到大重新排列，找出最
中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
解答：解：∵2400出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是2400；
∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（2400+2400）÷2=2400；
故选A．
点评：此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．（3分）（2013•盐城）如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
考点：平行线的性质
专题：计算题．
分析：由a∥b，根据平行线的性质得∠1=∠4=120°，再根据三角形外角性质得∠4=∠2+∠3，所
以∠3=∠4﹣∠2=80°．
解答：解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=120°，
∵∠4=∠2+∠3，
而∠2=40°，
∴120°=40°+∠3，
∴∠3=80°．
故选C．
点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质．
8．（3分）（2013•盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整
个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例
如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）
10A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
考 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案
点：
分 根据轴对称的定义，及题意要求画出所有图案后即可得出答案．
析：
解 解：得到的不同图案有：
答：
，
共6种．
故选C．
点 本题考查了学生实际操作能力，用到了图形的旋转及轴对称的知识，需要灵活掌握．
评：
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）（2013•盐城）16的平方根是 ± 4 ．
考点：平方根
专题：计算题．
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方
根，由此即可解决问题．
解答：解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根．
10．（3分）（2013•盐城）因式分解：a2﹣9= （ a+ 3 ）（ a﹣ 3 ） ．
考点：因式分解-运用公式法
分析：a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
11．（3分）（2013•盐城）2013年4月20日，四川省雅安市芦山县发生7.0级地震．我市爱心人
士情系灾区，积极捐款，截止到5月6日，市红十字会共收到捐款约1400000元，这个数据用
科学记数法可表示为 1.4×1 0 6 元．
11考点：科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：1 400 000=1.4×106，
故答案为：1.4×106．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2013•盐城）使分式 的值为零的条件是x= ﹣ 1 ．
考点：分式的值为零的条件．
分析：分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
解答：解：由题意，得
x+1=0，
解得，x=﹣1．
经检验，x=﹣1时， =0．
故答案是：﹣1．
点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为
0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．（3分）（2013•盐城）如图所示是一飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假
设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．
考点：几何概率．
分析：首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部
分的概率．
解答：
解：∵观察发现：阴影部分面积= 圆的面积，
∴镖落在黑色区域的概率是 ，
故答案为： ．
点评：此题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积与大圆的面积之间的关系是解题的关
键．
14．（3分）（2013•盐城）若x2﹣2x=3，则代数式2x2﹣4x+3的值为 9 ．
考点：代数式求值．
专题：计算题．
分析：所求式子前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
12解答：解：∵x2﹣2x=3，
∴2x2﹣4x+3=2（x2﹣2x）+3=6+3=9．
故答案为：9
点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
15．（3分）（2013•盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函
数关系式： y=﹣x+ 3 ．（填上一个答案即可）
考点：一次函数的性质．
专题：开放型．
分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b
应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
解答：解：设此一次函数关系式是：y=kx+b．
把x=0，y=3代入得：b=3，
又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．
故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=﹣x+3．（答案不唯一）
故答案是：y=﹣x+3．
点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的
关系式，再根据条件进行分析即可．
16．（3分）（2013•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使 经过圆心O，则∠OAB= 30 ° ．
考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
专题：探究型．
分析：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，再由将⊙O沿弦AB折叠，使 经过圆心O
可知，OD= OC，故可得出OD= OA，再由OC⊥AB即可得出结论．
解答：解：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，
∵将⊙O沿弦AB折叠，使 经过圆心O，
∴OD= OC，
∴OD= OA，
∵OC⊥AB，
∴∠OAB=30°．
故答案为；30°．
点评：本题考查的是垂径定理及图形的反折变换，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的
关键．
1317．（3分）（2013•盐城）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将△ABC绕顶
点C按顺时针方向旋转45°至△A B C的位置，则线段AB扫过区域（图中的阴影部分）的面
1 1
积为 cm2．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质
分析：根据阴影部分的面积是：S扇形BCB1 +S
△CB1A1
﹣S
△ABC
﹣S扇形CAA1 ，分别求得：扇形BCB
1
的面积，S ，S 以及扇形CAA 的面积，即可求解．
△CB1A1 △ABC 1
解答：解：在Rt△ABC中，BC= = ，
扇形BCB 的面积是= = ，
1
S = ×5×2=5；
△CB1A1
S扇形CAA1 = = ．
故S阴影部分=S扇形BCB1 +S
△CB1A1
﹣S
△ABC
﹣S扇形CAA1 = +5﹣5﹣ = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=S扇形BCB1 +S
△CB1A1
﹣S
△ABC
﹣S扇形CAA1 是关键．
18．（3分）（2013•盐城）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数y=﹣ x+1的
图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC= AB，反比例函数y= 的
图象经过点C，则所有可能的k值为 或﹣ ． ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：首先求出点A、B的坐标，然后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”确定
点C是线段AB的中点，据此可以求得点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数解
14析式即可求得k的值．
另外，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与直线AB有另外一个交点C′，点C′也符合
要求，不要遗漏．
解答：
解：在y=﹣ x+1中，令y=0，则x=2；令x=0，得x=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= ．
设∠BAO=θ，则sinθ= ，cosθ= ．
当点C为线段AB中点时，有OC= AB，
∵A（2，0），B（0，1），
∴C（1， ）．
以点O为圆心，OC长为半径作圆，与直线AB的另外一个交点是C′，则点C、点C′均
符合条件．
如图，过点O作OE⊥AB于点E，则AE=OA•cosθ=2× = ，
∴EC=AE﹣AC= ﹣ = ．
∵OC=OC′，∴EC′=EC= ，∴AC′=AE+EC′= + = ．
过点C′作CF⊥x轴于点F，则C′F=AC′•sinθ= × = ，
AF=AC′•cosθ= × = ，
∴OF=AF﹣OA= ﹣2= ．
∴C′（﹣ ， ）．
∵反比例函数y= 的图象经过点C或C′，1× = ，﹣ × =﹣ ，
∴k= 或﹣ ．
故答案为： 或﹣ ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意符合条件的点C有两个，需要分
别计算，不要遗漏．
15三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、推理过程或演算步骤）
19．（8分）（2013•盐城）（1）计算：2+|﹣3|+tan45°；
（2）解不等式：3（x﹣1）＞2x+2．
考点：解一元一次不等式；实数的运算；特殊角的三角函数值．
分析：（1）此题涉及到绝对值和特殊角的三角函数，首先根据各知识进行计算，再计算有理
数的加减即可；
（2）首先利用乘法分配律去括号，再移项、合并同类项即可．
解答：解：（1）2+|﹣3|+tan45°
=2+3+1
=6；
（2）去括号得：3x﹣3＞2x+2，
移项得：3x﹣2x＞2+3，
合并同类项得：x＞5．
点评：此题主要考查了绝对值和特殊角的三角函数，以及解一元一次不等式，关键是注意利
用乘法分配律时，不要漏乘．
20．（8分）（2013•盐城）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．
考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
专题：分类讨论．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=（x﹣1）÷
=（x﹣1）÷
=（x﹣1）×
=﹣x﹣1．
由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2．
当x=﹣1时，原式无意义，所以x=﹣1舍去；
当x=﹣2时，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1．
点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
21．（8分）（2013•盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式
随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回
答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）
16考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体
分析：（1）每项的人数的和就是总人数；
（2）1500乘以经常闯红灯的人数所占的比例即可求解；
（3）根据实际情况说一下自己的认识即可，答案不唯一．
解答：解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）；
（2）经常闯红灯的人数是：1500× =225（人）；
（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）（2013•盐城）一只不透明的袋子，装有分别标有数字1、2、3的三个球，这些球除所
标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从中任意摸
出1个球，记录下数字，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球上的数字之和为偶
数的概率．
考点：列表法与树状图法
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球上的
数字之和为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球上的数字之和为偶数的有5种情况，
∴两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率为： ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
1723．（10分）（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD
且AE=AB．
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质
专题：证明题．
分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可
得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根
据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠EAD；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB，
∴∠ABD=∠ABE﹣∠DBE=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等边对等角的性质，等角
对等边的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．
24．（10分）（2013•盐城）实践操作
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明
相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；
（2）以O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用
在你所作的图中，
（1）AB与⊙O的位置关系是 相切 ；（直接写出答案）
（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．
18考点：作图—复杂作图；角平分线的性质；勾股定理；切线的判定
分析：实践操作：根据题意画出图形即可；
综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系
是相切；
（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，再设半径为xcm，则OC=OD=xcm，BO=（12﹣
x）cm再次利用勾股定理可得方程x2+82=（12﹣x）2，再解方程即可．
解答：解：实践操作，如图所示：
综合运用：
（1）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，AB= =13，
∴DB=13﹣5=7，
设半径为xcm，则OC=OD=xcm，BO=（12﹣x）cm，
x2+82=（12﹣x）2，
解得：x= ．
答：⊙O的半径为 ．
点评：此题主要考查了复杂作图，以及切线的判定、勾股定理的应用，关键是掌握角平分线的
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
25．（10分）（2013•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，
实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
19（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满
足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润
是多少？（利润=销售收入﹣进货金额）
考点：一次函数的应用
分析：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可
买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系
数法即可求出y与x之间的函数关系式；
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润=销售收入﹣进货金额
得到w关于x的函数关系式为w=﹣11（x﹣30）2+1100，再根据二次函数的性质即可求
解．
解答：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，
由题意，得
80（x+2）=88x，
解得x=20．
答：现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（25，165），（35，55）代入，
得 ，解得 ，
故y与x之间的函数关系式为y=﹣11x+440；
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，
则w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣11x+440）=﹣11x2+660x﹣8800=﹣11（x﹣30）2+1100，
所以当x=30时，w有最大值1100．
答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
点评：本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等
量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质等知识，本题难
度适中．
26．（10分）（2013•盐城）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所
学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，
即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角
∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得
AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．
20考点：解直角三角形的应用
分析：过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长
度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后
根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．
解答：解：过B作BH⊥EF于点H，
∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠AC=30°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BC=1.5m，
∴AB=3m，
∵AD=1m，
∴BD=2m，
在Rt△EDB中，
∵∠EBD=60°，
∴∠BED=90°﹣60°=30°，
∴EB=2BD=2×2=4m，
又∵∠HBA=∠AC=30°，
∴∠EBH=∠EBD﹣囧aHBD=30°，
∴EH= EB=2m，
∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．
答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直
角三角形并解直角三角形，难度适中．
27．（12分）（2013•盐城）阅读材料
21如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，
AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明
△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明
你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论
仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角
∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 的值（用含α的式子表示出来）
考点：几何变换综合题
分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为 ；
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan ．
解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
22（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴ =tan30°= ，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴ =tan30°= ，∠DOF=90°．
∴ = = ．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵ = = ，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ = ．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴ =tan ，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴ =tan ，∠DOF=90°．
∴ = =tan ．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵ = =tan ，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
23∴ =tan ．
点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关
键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或
△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性
质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与
探究．
28．（12分）（2013•盐城）如图①，若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B
（3，0）两点，点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为C．
（1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y= x的图象于点D，连结AC，交正比例函数
y= x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的
速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当
其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否
存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请
说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出b，c的值；
（2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y= x与x轴所夹锐角为
60°，则可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标；
（3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值．
解答：
解：（1）∵点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得：b=﹣ ，c=﹣ ．
24（2）设点F在直线y= x上，且F（2， ）．
如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH= ，OH=2，
∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°．
∴∠AOE=∠FOB=60°．
连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K．
∵点A、C关于y= x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．
∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°．
在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2× = ，OK=OC•cos60°=2× =1．
∴C（1，﹣ ）．
抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣ ，当x=1时，y=﹣ ，
∴点C在所求二次函数的图象上．
（3）假设存在．
如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC= = =
．
如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= = =2 ．
∵点A、C关于y= x对称，
∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ．
连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．
25在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四边形内角和等于360°）
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形内角和定理）
∴∠AEP=∠CQE．
在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴ ，即： ，
整理得：2t2﹣ t+3=0，
解得：t= 或t= （t＞ ，故舍去）
∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t= ．
点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待
定系数法、对称、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识
点．试题的难点在于第（3）问，图形中线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关
系，证明△APE∽△CEQ是解题关键．
26
