文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（扬州卷）
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意知， ， ， ，
∴ ，即 ，
最小的数是 ，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A项， ，计算正确，故本项符合题意；
B项， ，原计算错误，故本项不符合题意；C项， ，原计算错误，故本项不符合题意；
D项， ，原计算错误，故本项不符合题意；
故选：A．
3．下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得： ，所以 ，
∴ ，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；故选：D.
5．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校 名学
生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比
较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统
计图信息，下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量是 B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为 D．估计全校学生A等级大约有 人
【答案】C
【解析】解：A．∵ ，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意；
B．样本中C等级所占百分比是 ，故选项正确，不符合题意；
C．样本中C等级所占百分比是 ，D等级所在扇形的圆心角为
，故选项错误，符合题意；
D．估计全校学生A等级大约有 （人），故选项正确，不符合题意．
故选：C．
6．如图，等腰直角三角形 中， 将 绕点B顺时针旋转 ），得到
，连接 ，过点A作 交 的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】解：根据旋转的性质，结合 有 ，
， ，故A项正确；
， ，
，
四点共圆，
，
， ，
，故B正确；
若 ，即有 ，则 是等边三角形，
显然，在旋转时， 无法总是等边三角形，故C错误；
，
，
，
，故D正确，
故选：C．
7．安安同学在正三角形中放入正方形 和正方形 （两个正方形不重叠），使得 在边
AB上，点P，N分别在边 上．下列说法正确的是（ ）
A．两个正方形边长和的最小值为
B．两个正方形的边长差为3
C．两个正方形面积和的最小值为
D．两个正方形面积和的最大值为
【答案】D
【解析】解：如图，连接 ，则 ．设正方形 、正方形 的边长分别为 ，它们的面积和为S，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
延长 交 于点G，则 ，
在 中，由勾股定理， ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项A、B不正确；
∴ ．
①当 时，即 时，S最小．
∴ ；故选项C不正确；
②当 最大时，S最大．
即当a最大且b最小时，S最大．
∵ ，
由（2）知， ， ．
∴
．故选项D正确；故选：D．
8．如图，在 中， ， ，点 分别为 的中点，点P从A点向D点
运动，点Q在 上，且 ，连接 ，过点Q作 交AB与点F，设点P运动的路程为x，
的面积为 ，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，如图，
点 、 分别为 ， 的中点，
， ，
，
，
，
四边形 为矩形，．
， ，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设 ，
由题意得： ，则 ，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得： ，
．
．
，，
，
抛物线的开口方向向上，顶点为
由题意： 的取值范围为： ，
当 时， ，当 时， ，
与 的函数图象是以点 和 为端点的抛物线 上的一部分，
故选： ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．计算： ．
【答案】2.5
【解析】解：
．
故答案为： ．
10．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖
总人口约为 人，这个数用科学记数法表示为 .
【答案】
【解析】解： 用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
11．若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵ ，∴
，
故答案为：1．
12．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到
，则 的值是 ．
【答案】
【解析】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，
∵正六边形对边互相平行，且内角为 ，
∴
过点 作 于 ，
∴
设正六边形的边长为1，则 ， ，∴
故答案为： ．
13．如图所示，扇形 中， ，点 为 中点， ， 交 于 ，以 为
半径画 交 于 ，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】解：如图，连接
， ，
， ，
，
，
故答案为： ．14．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为 的平
行线，用一根长度为 的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为 ，可以通过这一试验
来估计 的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取 ，得到试验数据如下表：
试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
相交频率
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到 ），由此估计 的近似值为 （精确到
）．
【答案】
【解析】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318，
相交的概率为0.318；
，
，
，
解得： ，
故答案为：0.318；3.14
15． 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航班抵达
北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的
一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此
时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状及
喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面 米．【答案】
【解析】解：由题意可知：
、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且 ，连接EF
交边AD于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边CD于点N．若 ， ，则线段AN的
长为【答案】
【解析】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a， ，
在 与 中，
，
，
是等腰三角形，
又 ，
垂直平分EF，
，
又 ，
，
在 中， ，
，
解得a=20，
， ，
在 中， ，，
故答案为： ．
17．如图，菱形 的边 在y轴，点B在第一象限，且 ，将这个菱形向右平移2个单位得到
菱形 （点 和A对应）．若反比例函数 的图象恰好经过点 ，B，则k的值为
．
【答案】
【解析】解：延长 交x轴于点M，过点B作 轴，垂足为N，如图所示：
在 和 中，
，
，
，
，
，
，设菱形 的边长为m，则 ，
∴点B的坐标为 ，
∵菱形向右平移2个单位得到菱形 ，
，
∵ 的图象恰好经过点 ，B，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
18．如图， 为直角三角形， ， ， ， 是 边上的中点，将 绕着
点 逆时针旋转，使点 落在线段 上的点 处，点 的对应点为 ，边 与边 交于点 ，则
的长是 ．
【答案】
【解析】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，， ， ，
，
是 边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将 绕着点 逆时针旋转，
， ，
， ，
，
，
，
又 ，
，，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）
（1）计算： ；（2）解方程： ．
【解析】解：（1）原式 ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，∴ ．
20．（8分）先化简： ，再从 的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
【解析】解：
在 范围内的整数为 ,
∵当 或 时，分式无意义，
∴ 或 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
21．（8分）课间休息，数学李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的
一个电路图（如图所示），就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课
代表：“此电路图下，小灯泡何时发光”，物理课代表回答：“在开关 闭合的情况下，再闭合 ， ，
中的任意一个开关，小灯泡就会发光”，物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提
出了如下的数学问题：(1)在开关 闭合的情况下，随机闭合 ， ， 中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为_______．
(2)当随机闭合 ， ， ， 中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
【解析】（1）所有等可能的情况有3种： ， 闭合； ， 闭合， ， 闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种： ， 闭合，
则 （小灯泡发光） ；
故答案为： ；
（2）解：设 、 、 、 分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为： ，
故答案为： ．
22．（8分）阳光营养餐公司为学生提供的 早餐食品中，蛋白质总含量占 ％，包括一份牛奶，一份
谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为 ，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
谷物（每 牛奶（每 鸡蛋（每
项目
） ） ）蛋白质（ ）
脂肪（ ）
碳水化合物（
）
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有 、 两种套餐（每天只提供一种），见下表：
套餐 主食 肉类 其他
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过 ，
肉类摄入量不超过 ，每个学生一周内午餐可以选择 、 套餐各几天（一周按 天计算）？
【解析】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有 ，牛奶有 ．依题意，列方程组为
，
解得 ，
∴ ， ，
答：每份该种早餐中谷物食品有 ，牛奶 。
（2）解：设每个一周里共有 天选择 套餐，则有 天选择 套餐．
依题意，得 ．
解得 ．
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴每个学生一周内午餐可以选择 套餐 天，选择 套餐 天；或每个学生一周内午餐可以选择 套餐 天，
选择 套餐 天.23．（10分）如图，在 中，以点A为圆心， 的长为半径作弧，交 于点M，N，分别
以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，连接 并延长，交 于点E，在 上
截取 ．
(1)求证： ；
(2)四边形 能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 不能成为矩形，理由如下：
若四边形 为矩形，则 ，
由作图可知， 平分 ，
∴ ，与 矛盾，
∴四边形 不能成为矩形．
24．（10分）如图，已知 中， ，以 为直径的圆 交 于 ，交 于 ．
(1)若 ，求证： 为 的切线．
(2)若 为 的切线， ， ，求 的长．
【解析】（1）解：如图：连接 ， ，
∵ 为圆 直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的切线．
（2）解：如图：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（10分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主
要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点 ， ， 在同一直线上， 可绕着点 旋
转， 为云梯的液压杆，点 ，A， 在同一水平线上，其中 可伸缩，套管 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆 ， ， ．
(1)求 的长．
(2)消防人员在云梯末端点 高空作业时，将 伸长到最大长度 ，云梯 绕着点 顺时针旋转一定的
角度，消防人员发现铅直高度升高了 ，求云梯 旋转了多少度．（参考数据： ，
， ， ， ， ）
【解析】（1）解：如图，过点B作 于点E，
在 中 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ．
答： ．
（2）解：如图，过点D作 于点F，旋转后点D的对应点为 ，过点 作 于点G，过点D作 于点H，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，即云梯 大约旋转了 ．
26．（10分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准
商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个
“神舟”模型成本少 ．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25
元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批
模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个 (元)，
根据题意得： ，
解得 ，经检验， 是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型 个，
则
，
与a的函数关系式为 ；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得 ，
， ，
当 时，
（元）；
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润 元．
27．（12分）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片 对折，使得点
A，D重合，点B，C重合，折痕为 ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折
痕为 ．
(1)如图（1）若 ，则当点 落在 上时， 和 的数量关系是________， 的度数为
________．
思考探究：
(2)在 的条件下进一步进行探究，将 沿 所在的直线折叠，点M的对应点为点 ．当点落在 上时，如图（2），设 ， 分别交 于点J，K．若 ，请求出三角形 的面
积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片 中， ， ，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为 ，点A
的对应点为点N，展开后再将四边形 沿 所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点
为点 ，连接 ， ，若 ，请直接写出 的长．(温馨提示： ，
)
【解析】（1）解：由折叠得： ， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）由折叠得： ，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形 是矩形， ，
矩形 是正方形，
， ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于 ， 于 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
由折叠得： ， ，
中， ，
，
延长 ， 交于 ，
中， ， ，，
中， ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
．
28．（12分）如图1，抛物线 过 两点，动点M从点B出发，以每秒
2个单位长度的速度沿 方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)如图1，过点M作 轴于点D，交抛物线于点E，当 时，求四边形 的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 方向运动，将 绕点M逆时针
旋转 得到 ．
①当点N运动到多少秒时，四边形 是菱形；
②当四边形 是矩形时，将矩形 沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线 的图象过 两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
当 时， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
在 中，令 ，得： ，∴ ；
∴ ；
（3）解：①如图：
根据题意得： ， ．
∵将 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
若四边形 是菱形，只需 ，即 ，
此时 ．
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：当点N运动到 秒时，四边形 是菱形；
②如图：由①得四边形 是平行四边形．
当四边形NBFG是矩形时，只需 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
∴当点N运动1秒时，四边形 是矩形．
∴ ，
∴ ．
将矩形 沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即 ．
当 时，即 ，
解得： ， ，
∴点F的坐标为 或 ．
