文档内容
2013 年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）．
1．（4分）﹣7+4的倒数是 ；（﹣2a2b）2= ．
2．（4 分）分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3= ；分式方程 的解
是 ．
3．（2 分）2013 年 4月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达 7805000000
元，该数据用科学记数法表示为 元．
4．（4分）已知实数 a在数轴上的位置如图 1所示，则化简 的结果
是 ；不等式组 的解集是 ．
5．（2分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
6．（2分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF折叠，点 C、D 分别落在点
C′、D′的位置上，EC交 AD 于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG= ．
7．（2分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1个“帅”、5个“兵”、“士、
象、马、车、炮”各 2 个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个
棋子是“兵”的概率为 ．
8．（2分）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则
需添加的条件是 （不添加任何辅助线）．
9．（2分）如图，在⊙O 中直径 CD 垂直弦 AB，垂足为 E，若∠AOD=52°，则
∠DCB= ．10．（2分）如图，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′OB′．若点 A 的
坐标为（a，b），则点A′的坐标为 ．
11．（2分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积
水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离 CD=6
米，他与积水的距离 BC=1米，他的眼睛距离地面 AB=1.5 米，则旗杆的高
度DE=
米．
12．（2 分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案
开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 n个
图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）．
二、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题给出的四个选
项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）．
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．
C． D．
14．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（3分）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 tanB的值为
（ ）
A． B． C． D．
16．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=2x 与 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
17．（3分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前
往青海湖．面包车的租价为 240元，出发时又增加了 4名同学，结果每个同
学比原来少分担了10 元车费．设原有人数为x人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
18．（3分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
19．（3分）数学老师布置了 10道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情
况绘制成如图 10所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数
所组成样本的中位数和众数分别为（ ）
A．8，8 B．9，8 C．8，9 D．9，9
20．（3 分）如图在直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B为圆心，以 的长为半径作圆，将直角△ABC 截去两个扇形，则剩余
（阴影）部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
三、（本大题共 3小题，第 21题 5分，第 22题 7分，第 23题 7分，共 19
分）．
21．（5分）|﹣ |+（ ）﹣1﹣（2013﹣π）0﹣3tan30°．
22．（7分）先化简再求值： ，其中 a=3+ ，b=3﹣
．
23．（7 分）如图，已知▱ABCD，过 A 作 AM⊥BC 于 M，交 BD 于 E，过 C
作 CN⊥AD 于 N，交 BD 于 F，连结 AF、CE．求证：四边形 AECF 为平行
四边形．四、（本大题共 3小题，第 24题 9分，第 25题 8分，第 26题 9分，共 26
分）．
24．（9 分）如图，线段 AB、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，
DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D 点的仰角α为60°，从A 点测得
D 点的仰角 β为 30°，已知甲建筑物的高度 AB=34m，求甲、乙两建筑物之
间的距离BC 和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）
25．（8 分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各
班中随机抽取 50名学生进行 1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘
制出如图表．
表：
组别 次数x 频数 频率
第1组 80≤x＜100 4 0.08
第2组 100≤x＜120 6 0.12
第3组 120≤x＜140 18 0.36
第4组 140≤x＜160 a b
第5组 160≤x＜180 10 0.2
合计 ﹣﹣ 50 1（1）求表中a和b的值：a= ；b= ．
（2）请将频数分布直方图补充完整：
（3）若在 1分钟内跳绳次数大于等于 120次认定为合格，则从全年级任意抽测
一位同学为合格的概率是多少？
（4）今年该校九年级有 320名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约
有多少人？
26．（9分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，D 是 的中
点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB、CA 的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O 的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O 的半径．五、（本大题共 2小题，第 27题 8分，第 28题 13 分，共 21分）．
27．（8分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）探究 1：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 BC、CD 上，AE⊥BF
于点 O，小芳看到该图后，发现 AE=BF，这是因为∠EAB和∠FBC 都是
∠ABF 的余角，就会由 ASA 判定得出△ABE≌△BCF．小芳马上联想到正方
形的对角线也是互相垂直且相等的（如图 2），是不是在一般情况下，正方形
内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，
也会相等呢？
很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之
外，还可以通过平移的方法把图 3转化为图 1，得到 GH=EF，该方法更加简
捷；
（2）探究 2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形 ABCD，如图
4所示，GH⊥EF于点 O，她发现GH=2EF，请你替她完成证明；
（3）探究 3：如图 5所示，让 8个全等正方形组成矩形 ABCD，GH⊥EF于点
O，请你猜想GH 和EF 有怎样的数量关系，写在下面： ．28．（13 分）如图，已知抛物线经过点 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点
为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 在抛物线上，点 E在抛物线的对称轴上，且以 A，O，D，E为顶
点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；
（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点 P 作 PM⊥x轴，垂足为 M，是否
存在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出
点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2013 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）．
1．（4分）﹣7+4的倒数是 ；（﹣2a2b）2= 4a4b2 ．
【考点】17：倒数；19：有理数的加法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据倒数和幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：﹣7+4=﹣3，倒数为﹣ ；
（﹣2a2b）2=4a4b2．
故答案为： ；4a4b2．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和
积的乘方的运算法则．
2．（4分）分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3= xy（x﹣y）2 ；分式方程
的解是 x=1 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；B3：解分式方程．
【分析】先提取公因式xy，再根据完全平方公式进行二次分解；
方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，然后求解，再进行验证
即可．
【解答】解：x3y﹣2x2y2+xy3，
=xy（x2﹣2xy+y2），
=xy（x﹣y）2；
方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程转化为整式方程得，
x﹣3+x﹣2=﹣3，
解得x=1，
检验：当x=1时，x﹣2≠0，
所以，x=1 是原方程方程的解．
故答案为：xy（x﹣y）2；x=1．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因
式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻
底，直到不能分解为止．
3．（2 分）2013 年 4月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达 7805000000
元，该数据用科学记数法表示为 7.805×109 元．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整
数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7805000000用科学记数法表示为：7.805×109．
故答案为：7.805×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的
值．
4．（4分）已知实数 a在数轴上的位置如图 1所示，则化简 的结果
是 1 ；不等式组 的解集是 x≤1 ．
【考点】29：实数与数轴；CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据数轴得到 0＜a＜1，由此可以计算绝对值和二次根式；不等组的
解集是两个不等式解集的交集．
【解答】解：如图所示，0＜a＜1，则
=1﹣a+a=1；
，
不等式（1）的解集为：x≤1．
不等式（2）的解集为：x＜6，所以，原不等式组的解集为：x≤1．
故答案是：1；x≤1．
【点评】本题考查了实数与数轴，解一元一次不等式组．根据图示得到 a的取
值范围是解答第一个空的关键．
5．（2分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得，x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从
三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6．（2分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF折叠，点 C、D 分别落在点
C′、D′的位置上，EC交 AD 于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG= 68° ．
【考点】IK：角的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行线的性质求得∠CEF 的度数，然后根据折叠的性质可得
∠FEG=∠CEF，进而求得∠BEG的度数．
【解答】解：∵长方形ABCD 中，AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=56°，
∴∠CEF=∠FEG=56°，
∴∠BEG=180°﹣∠CEF﹣∠FEG=180°﹣56°﹣56°=68°．
故答案是：68°．【点评】本题考查了折叠的性质，正确确定折叠过程中出现的相等的角是关
键．
7．（2分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1个“帅”、5个“兵”、“士、
象、马、车、炮”各 2 个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个
棋子是“兵”的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】让兵的个数除以棋子的总个数即为所求的概率．
【解答】解：∵共有16个棋子，其中有5个兵，
∴抽到兵的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情
况数之比．
8．（2分）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则
需添加的条件是 ∠A=∠D （不添加任何辅助线）．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【专题】26：开放型．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知条件 BC=EC，即可证
明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：∠A=∠D；
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC 和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解
题的关键．
9．（2分）如图，在⊙O 中直径 CD 垂直弦 AB，垂足为 E，若∠AOD=52°，则
∠DCB= 26° ．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】连接 OB，先根据直径 CD 垂直弦 AB 得出 = ，故可得出
∠BOE=∠AOE，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵直径 CD 垂直弦 AB，
∴ = ，
∴∠BOE=∠AOE=52°，
∴∠DCB= ∠BOE=26°．
答案为：26°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10．（2分）如图，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′OB′．若点 A 的
坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣b，a） ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”以及直角三角形的性
质解题．
【解答】解：由图易知A′B′=AB=b，OB′=OB=a，∠A′B′0=∠ABO=90°，
∵点A'在第二象限，
∴A'的坐标为（﹣b，a）．
【点评】需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变．
11．（2分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积
水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离 CD=6
米，他与积水的距离 BC=1米，他的眼睛距离地面 AB=1.5 米，则旗杆的高
度DE= 9 米．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出 Rt△ACB∽Rt△ECD，
根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD，
∵∠ACB=∠EDC，CD=6 米，AB=1.5 米，BC=1米，
∴Rt△ACB∽Rt△ECD，
∴ = ，即 = ，解得DE=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形
的对应边成比例是解答此题的关键．12．（2 分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案
开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 n个
图案中正三角形的个数为 2n+2 （用含n的代数式表示）．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律
变化的．
【解答】解：由图可知：第一个图案有正三角形 4个为 2×2．第二图案比第一
个图案多 2个为 2×2+2=6个．第三个图案比第二个多 2个为 2×3+2=8
个．那么第n个就有正三角形 2n+2 个．
【点评】本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规
律为：第n个就有正三角形 2n+2 个．这类题型在中考中经常出现．
二、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题给出的四个选
项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题
号的表格内）．
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．
C． D．
【考点】46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；75：二次根式的乘除
法；78：二次根式的加减法．
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除
法、二次根式的乘除法等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a2•a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；B、3 和2 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、a2÷a3=a﹣1= （a≠0），计算正确，故本选项正确；
D、 ÷ = ，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二
次根式的乘除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与
轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可
重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合．
15．（3分）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 tanB的值为
（ ）A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】24：网格型．
【分析】根据锐角三角函数的正切是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：由正切是对边比邻边，得
tanB= = ，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦
为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
16．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=2x 与 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F4：正比例函数的图象；G2：反比例函数的图象．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵y=2x 中的2＞0，
∴直线 y=2x经过第一、三象限．∵ 中的﹣1＜0，
∴双曲线 经过第二、四象限，
综上所述，只有D 选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数，正比例函数的图象．注意，反比例函数中系数与
图象位置之间关系．
17．（3分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前
往青海湖．面包车的租价为 240元，出发时又增加了 4名同学，结果每个同
学比原来少分担了10 元车费．设原有人数为x人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原有人数为 x 人，根据增加之后的人数为（x+4）人，根据增加人数
之后每个同学比原来少分担了 10元车费，列方程．
【解答】解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+4）人，
由题意得， ﹣10= ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题
意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
18．（3分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆
柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同，符合这些条件的只有
C；
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的概念．本题的关键是要考虑到俯视图中圆的直径
与长方形的宽的关系．
19．（3分）数学老师布置了 10道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情
况绘制成如图 10所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数
所组成样本的中位数和众数分别为（ ）
A．8，8 B．9，8 C．8，9 D．9，9
【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：由图可得，答对8道题的人数最多，
故众数为8，
∵共有 50名同学，
∴第25 和26人答对题目数的平均数为中位数，
即中位数为： =2．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫
做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的
个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．20．（3 分）如图在直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以
A、B 为圆心，以 的长为半径作圆，将直角△ABC 截去两个扇形，则剩余
（阴影）部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】根据勾股定理求出 AB，则得出圆的半径，分别求出三角形 ACB 和扇
形AEF 和扇形BEM 的面积和，即可得出答案．
【解答】解：∵在 Rt△ACB 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得：
AB=10，
即两圆的半径是5，
∴阴影部分的面积是S=S ﹣S ﹣S
△ACB 扇形AEF 扇形BEM
= ×6×8﹣
=24﹣ π．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，扇形的面积的应用，注意：圆心
角是n度，半径是r 的扇形的面积 S= ．三、（本大题共 3小题，第 21题 5分，第 22题 7分，第 23题 7分，共 19
分）．
21．（5分）|﹣ |+（ ）﹣1﹣（2013﹣π）0﹣3tan30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的
三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计
算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算
即可得到结果．
【解答】解：原式= +5﹣1﹣ =4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）先化简再求值： ，其中 a=3+ ，b=3﹣
．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法
运算后约分得到原式= ，再把 a和 b的值代入后进行二次根式的混合运
算．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当a=3+ ，b=3﹣ ，原式= = ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对
应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化
简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分
式或整式．23．（7 分）如图，已知▱ABCD，过 A 作 AM⊥BC 于 M，交 BD 于 E，过 C
作 CN⊥AD 于 N，交 BD 于 F，连结 AF、CE．求证：四边形 AECF 为平行
四边形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】14：证明题．
【分析】由条件可证明△ABE≌△CDF，可证得 AE=CF，且 AE∥CF，由平行四
边形的判定可证得四边形 AECF 为平行四边形．
【解答】证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠ABD=∠CDB，
又∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性
质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组
对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平
行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平
分⇔四边形为平行四边形．
四、（本大题共 3小题，第 24题 9分，第 25题 8分，第 26题 9分，共 26分）．
24．（9 分）如图，线段 AB、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，
DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D 点的仰角α为60°，从A 点测得
D 点的仰角 β为 30°，已知甲建筑物的高度 AB=34m，求甲、乙两建筑物之
间的距离BC 和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作 AE⊥CD，用 BC 可以分别表示 DE，CD 的长，根据 CD﹣DE=AB，
即可求得BC 的长，即可解题．
【解答】解：作AE⊥CD，
∵CD=BC•tanα= BC，DE=BC•tanβ= BC，
∴AB=CD﹣DE= BC，
∴BC=17 m，
CD=BC•tanα= BC=51m．
答：甲、乙两建筑物之间的距离BC为17 m，乙建筑物的高度DC 为51m．
【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数
值，本题中求的BC 的长是解题的关键．
25．（8 分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各
班中随机抽取 50名学生进行 1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘
制出如图表．表：
组别 次数x 频数 频率
第1组 80≤x＜100 4 0.08
第2组 100≤x＜120 6 0.12
第3组 120≤x＜140 18 0.36
第4组 140≤x＜160 a b
第5组 160≤x＜180 10 0.2
合计 ﹣﹣ 50 1
（1）求表中a和b的值：a= 12 ；b= 0.24 ．
（2）请将频数分布直方图补充完整：
（3）若在 1分钟内跳绳次数大于等于 120次认定为合格，则从全年级任意抽测
一位同学为合格的概率是多少？
（4）今年该校九年级有 320名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约
有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分
布直方图；X4：概率公式．
【分析】（1）用总数减去其他小组的频数即可求得 a的值，用频数除以样本容
量即可求得频数b；
（2）根据求得的第四小组的频数补全统计图即可；
（3）用合格的人数除以总人数即可求得合格的概率；
（4）用学生总数乘以不合格的频率即可求得不合格的人数．【解答】解：（1）a=50﹣4﹣6﹣18﹣10=12；
b=12÷50=0.24．
（2）直方图为：
（3）全年级任意抽测一位同学为合格的概率为：P ）=1﹣0.08﹣0.12=0.80；
（合格
（4）九年级跳绳项目不合格的学生约有320×（0.08+0.12）=64（人）．
【点评】此题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，能从统计图中获得
有关信息，列出算式．
26．（9分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，D 是 的中
点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB、CA 的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O 的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O 的半径．
【考点】KQ：勾股定理；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）要证EF是⊙O 的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．
（2）先根据勾股定理求出 CF 的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O
的半径．
【解答】（1）证明：连接OD 交于AB 于点G．
∵D 是 的中点，OD 为半径，∴AG=BG．
∵AO=OC，
∴OG 是△ABC 的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O 的切线．
（2）解：在Rt△CEF 中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．
设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴ ，
∴ = ，
∴r= ，
即：⊙O 的半径为 ．
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某
点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形
的判定和性质．
五、（本大题共 2小题，第 27题 8分，第 28题 13 分，共 21分）．
27．（8分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）探究 1：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 BC、CD 上，AE⊥BF
于点 O，小芳看到该图后，发现 AE=BF，这是因为∠EAB和∠FBC 都是
∠ABF 的余角，就会由 ASA 判定得出△ABE≌△BCF．小芳马上联想到正方
形的对角线也是互相垂直且相等的（如图 2），是不是在一般情况下，正方形
内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，
也会相等呢？
很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之
外，还可以通过平移的方法把图 3转化为图 1，得到 GH=EF，该方法更加简
捷；
（2）探究 2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形 ABCD，如图
4所示，GH⊥EF于点 O，她发现GH=2EF，请你替她完成证明；
（3）探究 3：如图 5所示，让 8个全等正方形组成矩形 ABCD，GH⊥EF于点
O，请你猜想GH 和EF 有怎样的数量关系，写在下面： GH=8EF ．
【考点】LO：四边形综合题；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】2B：探究型．
【分析】（2）平移 FE至 DE′，平移 GH 至 AH′，根据平移的性质可得：
FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，易证 Rt△BAH′∽Rt△ADE′，然后运
用相似三角形的性质就可解决问题．
（3）借鉴（2）中的解题经验可得 = = =8，则有GH=8EF．
【解答】（2）证明：平移FE至DE′，平移GH 至AH′，如图4．
根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，∴四边形 OPQR 为平行四边形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四边形OPQR 为矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，
∴ = =2，
∴ = =2，
∴GH=2EF．
（3）猜想：GH=8EF．
解：平移FE至DE′，平移GH 至AH′，如图5．
根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，
∴四边形 OPQR 为平行四边形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四边形OPQR 为矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，
∴ = =8，
∴ = =8，
∴GH=8EF．故答案为：GH=8EF．
【点评】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的
判定与性质等知识，突出了对基本活动经验的考查．
28．（13 分）如图，已知抛物线经过点 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点
为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 在抛物线上，点 E在抛物线的对称轴上，且以 A，O，D，E为顶
点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；
（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点 P 作 PM⊥x轴，垂足为 M，是否
存在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出
点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线过 A（2，0）及原点可设 y=a（x﹣2）x，然后根据抛
物线y=a（x﹣2）x过 B（3，3），求出a的值即可；
（2）首先由 A 的坐标可求出 OA 的长，再根据四边形 AODE是平行四边形，
D 在对称轴直线 x=﹣1右侧，进而可求出 D 横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB 和△PMA∽△BOC 表示出 PM 和 AM，从而表示出点 P
的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得 t的值，从而确定点 P 的坐
标．
【解答】解：（1）根据抛物线过 A（2，0）及原点，可设 y=a（x﹣2）
（x﹣0），
又∵抛物线 y=a（x﹣2）x 过B（3，3），
∴3（3﹣2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）x=x2﹣2x；
（2）①若OA 为对角线，则 D 点与C点重合，点D 的坐标应为D（1，﹣1）；
②若 OA 为平行四边形的一边，则 DE=OA，∵点 E在抛物线的对称轴上，
∴点E横坐标为1，
∴点D 的横坐标为3或﹣1，代入y=x2﹣2x得D（3，3）和D（﹣1，3），
综上点D 坐标为（1，﹣1），（3，3），（﹣1，3）．
（3）∵点B（3，3）C（1，﹣1），
∴△BOC 为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图 1，若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（2﹣3t，t），
代入y=x2﹣2x得（2﹣3t）2﹣2（2﹣3t）=t，
解得t =0（舍）， ，
1
∴ ；
②如图 2，若△PMA∽△BOC，
设 PM=3t，则 AM=t，点 P（2﹣t，3t），代入 y=x2﹣2x得（2﹣t）2﹣2（2﹣t）
=3t，
解得t =0（舍），t =5，
1 2
∴P（﹣3，15）综上所述，点P 的坐标为 或（﹣3，15）．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、
相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨
论，数形结合的数学思想方法．
