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2024 年中考第三次模拟考试（甘肃卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2024的绝对值是（ ）
1 1
−
A．2024 B． 2024 C．﹣2024 D．2024
【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可．
【解答】解：|﹣2024|＝2024，
故选：A．
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从正面看，所得到的图形即为主视图，据此求解即可．
【解答】解：从正面看，可得选项A的图形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．若a2﹣1＝b，则代数式﹣2a2﹣2+2b的值为（ ）
A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣2
【分析】所求式子第一项和第三项结合提取﹣2变形后，将已知的等式变形后代入计算，即可求出值．
【解答】解：∵a2﹣1＝b，
∴a2﹣b＝1，
∴﹣2a2﹣2+2b＝﹣2（a2﹣b）﹣2
＝﹣2×1﹣2
＝﹣2﹣2
＝﹣4．
故选：C．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
4．关于x一元一次不等式x﹣2≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】先求出x≤m+2，根据数轴得出x≤3，则m+2＝3，即可求解．
【解答】解：∵x﹣2≤m，
∴x≤m+2，
由图可知，该不等式的解集为x≤3，
∴m+2＝3，
解得：m＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解
集的方法．
5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2+4x+4＝x（x+4）+4
C．ax2﹣4a＝a（x2﹣4） D．x2+3﹣4x＝（x﹣1）（x﹣3）
【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，根据定义即可判断．
【解答】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，故选项错误；
B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、还需对括号内的多项式继续分解因式，分解不彻底，故选项错误；
D、是因式分解，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的意义，解题的关键在于牢记因式分解的定义，注意因式分解与整式的乘
法互为逆变形．
6．在平面直角坐标系xOy中，点M（3，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点M（3，﹣4）关于y轴对称的点B的坐标是（﹣3，﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
7．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据概率公式即可求解．
【解答】解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为 ，与次数无关，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
8．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC．
若△AOC的面积为2，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】由C是OB的中点推出S ＝2S ，则 AB•OB＝4，所以AB•OB＝8，因此k＝8．
AOB AOC
△ △
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，
∴△AOB的面积为4，
∵AB⊥x轴，
∴ AB•OB＝4，
∴AB•OB＝8，
∴k＝8．
故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确S ＝2S 是解题的关键．
AOB AOC
△ △
9．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，
CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝30m，CE＝10m，CD＝20m，
则河的宽度为（ ）
A．20m B．30m C．40m D．60m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得河的宽度AB．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴ ＝ ，
∵BE＝30m，CE＝10m，CD＝20m，
∴ ＝ ，
解得：AB＝60，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握“两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边
成比例”是解决问题的关键．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱
形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即
可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝ BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S ＝ AC•BD＝54，
菱形ABCD
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝ AC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关
键．
11．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则：
①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④当y＞0时，﹣1
＜x＜3，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、
b、c满足的关系进行综合判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，过（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，因此①正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴②不正确；
由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④正确，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故③错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系
是正确判断的前提．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的边BO在x轴上，固定点B、O，把菱形沿箭头方向推，使
点C落在y轴正半轴上点C′处，若∠COC′＝30°，OC′＝2，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3， ） D．（﹣2， ）
【分析】过点C作CD⊥OB于点D，由直角三角形的性质求出 OD和CD的长，由菱形的性质得出
AC∥OB，AC＝OC＝OB＝2，则可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠COC′＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OC'＝OC＝2，
∴OD＝1，
∴CD＝ ＝ ，
∵四边形ABOC为菱形，
∴AC∥OB，AC＝OC＝OB＝2，
∴点A到y轴的距离为1+2＝3，
∴A（﹣3， ）．
故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形
是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反：则分
别叫作正数与负数．若收入60元记作+60元，则支出30元记作 ﹣ 3 0 元．
【分析】由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解．
【解答】解：由题意可知，收入与支出是互为相反意义的量，
∴支出30元记为﹣30元，
故答案为﹣30．
【点评】本题考查正数与负数；理解正数与负数的意义是解题的关键．
14．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则需添加 ∠ ACD ＝ 90 ° （答案不唯一） ．
（只填出一种即可）的条件．
【分析】由平行线的判定，即可得到答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
若∠ACD＝90°，则∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴要使AB∥CD，可添加∠ACD＝90°（答案不唯一）．
故答案为：∠ACD＝90°（答案不唯一）．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
15．制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（ ），
点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中 的长为
cm（结果保留π）．【分析】直接利用弧长公式“ ”求解即可．
【解答】解：∵半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，
∴这段弯管中 的长为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交CD于点E，若DE＝3，CE＝5，对角线AC的长为 4 ．
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC＝5，然后利
用勾股定理先计算出AD，再计算出AC的长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC＝5，
在Rt ADE中，AD＝ ＝ ＝4，
△
在Rt ADC中，AC＝ ＝ ＝4 ．
△
故答案为：4 ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平
分线的性质和矩形的性质．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
【解答】解：原式＝2 ﹣3 +5
＝4 ；
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
18．（4分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中m＝4．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解： ÷ ﹣
＝ ﹣
＝
＝ ，
当m＝4时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值、熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（4分）解不等式组：
【分析】求解各不等式的值，借助数轴求出解集．
【解答】解： ，
解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x≤4，则不等式组的解集为1＜x≤4．
【点评】本题考查了不等式组的解法，解一元一次不等式是解此题的关键．
20．（5分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等
三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）为了测量大树MN的高度，小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°，小华继续向大
树方向走8m到达点D时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，已知A、E、M三点共线，小华的眼睛距地
面的高度不变且距离为1.6m，即AB＝CD＝1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN＝6m，EF⊥BN，
MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．求大树的高 MN（结果精确到1m）．（参考数据：
sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， ≈1.7）【分析】延长AC交EF于P，交MN于Q，则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，由锐角三角函数定义求
出EP＝ CP，设CP＝x m，则EP＝ x m，再由锐角三角函数定义得t ≈0.7，解得x＝5.6，则
AQ＝19.6（m），然后由锐角三角函数定义求出MQ的长，即可解决问题．
【解答】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：
则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，
在Rt ECP中，∠ECP＝60°，tan∠ECP＝ ＝tan60°＝ ，
△
∴EP＝ CP，
设CP＝x m，则EP＝ x m，
∴AP＝AC+CP＝（8+x）m，AQ＝AC+CP+PQ＝8m+x m+6m＝（14+x）m，
∵tan∠EAP＝ ＝tan35°≈0.7，
∴ ≈0.7，
解得：x＝5.6，
∴AQ＝19.6（m），
∵tan∠MAQ＝ ＝tan35°≈0.7，
∴MQ≈0.7AQ＝0.7×19.6＝13.72（m），
∴MN＝MQ+QN＝13.72+1.6≈15（m），
答：大树的高MN约为15m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握锐角
三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（6分）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收
取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设y ＝kx，
甲 1
根据题意得4k＝80，解得k＝20，
1 1
∴y ＝20x；
甲
设y ＝kx+80，
乙 2
根据题意得：12k+80＝200，
2解得k＝10，
2
∴y ＝10x+80；
乙
（2）解方程组
解得： ，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y ＝20x＝240，
甲
∴x＝12；
当y＝240时，y ＝10x+80＝240，
乙
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得
出正确信息是解题关键．
23．（6分）甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图 1、图2
的统计图．
（1）已知甲队五场比赛成绩的平均分 ＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分 ；
（2）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（3）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走
势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
【分析】（1）根据平均数＝总成绩÷次数计算；
（2）找到各组数据的最大值和最小值，计算它们的差即是极差；（3）结合平均分、折线的走势、获胜场数和极差四方面进行分析即可．
【解答】解：（1） ＝（110+90+83+87+80）÷5＝90（分）；
（2）甲队成绩的极差是98﹣80＝18分，
乙队成绩的极差是110﹣80＝30分；
（3）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；
从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；
从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；
从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．
【点评】本题考查了统计图的有关知识，条形统计图是反映具体的数据，折线统计图是反映数据的变化
情况．解答本题的关键是熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算．要理解极差的概念，能够根据计算
的数据进行综合分析．
24．（6分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点
E，在BC延长线上取点D，使得AD＝AE．
（1）求证：AD是⊙O切线；
（2）若∠OEB＝45°，求sin∠ABD的值．
【分析】（1）先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CBA+∠CAB＝90°，AC⊥BD，再由等腰三角形的性
质得∠CAD＝∠CAE，然后由圆周角定理得∠CAF＝∠CBA，则∠CAD＝∠CBA，证出∠DAB＝90°，即
可得出结论；
（2）由圆周角定理得∠CBF＝∠CBA，∠AFB＝90°，设∠CBF＝∠CBA＝x，∠EAB＝y，则y＝90°﹣
2x，再证∠AEO＝∠AOE，得AE＝AO，然后证△CEA∽△CAB，得 ＝ ＝ ＝ ，则CB＝
2CA，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠CBA+∠CAB＝90°，AC⊥BD，
∵AD＝AE，
∴∠CAD＝∠CAE，
∵C是弧AF的中点，
∴ ，
∴∠CAF＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
即∠DAB＝90°，
∴AD⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O切线；
（2）解：∵C是弧AF的中点，
∴ ，
∴∠CBF＝∠CBA，
设∠CBF＝∠CBA＝x，∠EAB＝y，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠FBA＝90°，
即y+2x＝90°，
∴y＝90°﹣2x，
∵∠FEB＝∠EAB+∠EBA＝y+x，
∴∠AEO＝180°﹣∠OEB﹣∠FEB＝180°﹣45°﹣y﹣x＝135°﹣x﹣y＝135°﹣x﹣（90°﹣2x）＝45°+x，
∵∠AOE＝∠OEB+∠OBE＝45°+x，
∴∠AEO＝∠AOE，
∴AE＝AO，
∵∠ACB＝∠ACB，∠CAE＝∠CBA，
∴△CEA∽△CAB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CB＝2CA，
∴AB＝ ＝ ＝ CA，
∴sin∠ABD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与
性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
25.（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐
1
标为（﹣2，3），点B的横坐标为6．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足 的x的取值范围；
（3）连接OA，OB，点P在直线AB上，且 ，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，可求点 B坐标，将点A、
点B坐标代入一次函数解析式，可求解；
（2）利用图象可直接求解；
（3）根据 ，求得点P的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A（﹣2，3），
1
∴k＝﹣2×3＝﹣6，3＝﹣2k+b①，
2 1
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，∵点B的横坐标为6，
∴点B（6，﹣1），
∴﹣1＝6k+b②，
1
①﹣②得：k＝﹣ ，
1
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣ x+2；
（2）由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即kx+b﹣ ＞
1
0；
（3）当x＝0时，y＝2，
∴S ＝S +S ＝ ×2×2+ ×2×6＝8，
AOB ACO BCO
△ △ △
S ＝ ×2×2＝2，
AOC
△
分两种情况：
①如图1，当P在线段AB上时，
∵ ，
∴S ＝ ×8＝ ，S ＝2﹣ ＝ ，
AOP POC
△ △
∴ ×2×|x |＝ ，
P
∴x ＝﹣ ，
P∴点P的坐标为（﹣ ， ）；
②如图2，当点P在线段BA的延长线上时，
∵ ，
∴S ＝ ×8＝ ，S ＝2+ ＝ ，
AOP POC
△ △
∴ ×2×|x |＝ ，
P
∴x ＝﹣ ，
P
∴点P的坐标为（﹣ ， ）；
综上所述，点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象
的解析式是本题的关键．
26．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝13，CD＝9，若AD：AC＝4：5．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动，设点P运动的时间为t秒，求当t
为何值时，△PAB为轴对称图形？【分析】（1）根据题意，可设AD＝4x，AC＝5x，在Rt ACD中，由勾股定理，可得x＝3，从而得到
AD＝12，AC＝5，然后在Rt ABD中，由勾股定理求出B△C＝14，即可求解；
（2）根据题意可得△PAB为△等腰三角形，然后分四种情况讨论：当 AB＝BP＝13时；当AB＝AP＝13
时，点P只能在线段CD上；当BP＝AP，且点P在线段CD上时；当BP＝AP，且点P在线段AD上时，
即可求解．
【解答】解：（1）∵AD：AC＝4：5．
∴可设AD＝4x，AC＝5x，
在Rt ACD中，CD＝9，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
∴（5△x）2＝（4x）2+92，解得：x＝3或x＝﹣3（舍去）
∴AD＝4x＝12，AC＝5x＝15，
在Rt ABD中，AB＝13，由勾股定理得：
△
∴BD＝ ＝ ＝5，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14，
∴△ABC的面积为 AD× ＝84；
（2）由△PAB为轴对称图形，得：△PAB是等腰三角形，
如图，当AB＝BP＝13时，
∴PC＝BC﹣BP＝14﹣13＝1，此时t＝ （秒）；
如图，当AB＝AP＝13时，点P只能在线段CD上，
∵AD⊥BC，
∴PD＝BD＝5，
∴BP＝10，
∴PC＝BC﹣BP＝4，
∴t＝ ＝2（秒）；
如图，当BP＝AP，且点P在线段CD上时，
设DP＝a，则BP＝AP＝5+a，
在Rt ADP中，由勾股定理得：AP2＝AD2+DP2，
∴（5△+a）2＝122+a2，
解得：a＝ ，
即DP＞DC，故此情况不成立；
如图，当BP＝AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M，设PD＝m，则BP＝AP＝12﹣m，
在Rt BDP中，由勾股定理得：BP2＝BD2+DP2，
△
∴（12﹣m）2＝52+m2，解得：m＝ ，
∴PD+CD＝9+ ，
∴此时t＝ （秒）；
综上所述，当t为 秒或2秒或 秒时，△PAB为轴对称图形．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质及分类讨论，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，
与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当 的值最大时，求点P的坐标及 的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′
恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求
得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，
﹣t2﹣2t+3），则 E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得 PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由 PE∥x 轴，得
△EPD∽△ABD，进而得出 ＝ ＝ ＝﹣ （t+ ）2+ ，再运用二次函数的性质即可求得
答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即
可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C
（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝﹣ （t+ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当t＝﹣ 时， 的值最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝ ＝ |m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝ |m|，
当m2+3m＝ m时，
解得：m＝0（舍去），m＝ ﹣3，
1 2
此时点M（ ﹣3， ）；
当m2+3m＝﹣ m时，
解得：m＝0（舍去），m＝﹣ ﹣3，
1 2
此时点M（﹣ ﹣3，﹣ ）；
综上，点M的坐标为（ ﹣3， ）或（﹣ ﹣3，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形
与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解
题关键．
28．（9分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE
（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 BP ＝ CE ，BC与CE的位置关系是 BC ⊥ CE ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，
请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2 ，BE＝2 ，请直接写出△APE
的面积．
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点
O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形
APE的边长可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝ ∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；∵AD∥BC，
∴CE⊥BC．
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2 ，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝ AB＝ ，OB＝ AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2 ，BC＝AB＝2 ，
∴CE＝ ＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝ ＝ ＝2 ，
∵△APE是等边三角形，
∴S ＝ ×（2 ）2＝7 ，
AEP
△如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝ ＝ ＝2 ，
∴S ＝ ×（2 ）2＝31 ，
AEP
△
综上所述，△AEP的面积为7 或31 ．
【点评】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、
勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件
联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
